成都市级高中毕业班摸底测试理科数学.docx
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成都市级高中毕业班摸底测试理科数学
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成都市2017级高中毕业班摸底测试理科数学
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成都市2017级高中毕业班摸底测试
数学试题(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷I(非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,只将答题卡交回.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数为虚数单位)的虚部是A
(A)(B)(C)(D)
解:
,复数为虚数单位)的虚部是,故选A
2.已知集合,,则B
(A)(B)(C)(D)
解:
,,故选B
3.如图是某赛季甲,乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图,则下列说法错误的是D
(A)甲所得分数的极差为22(B)乙所得分数的中位数为18
(C)两人所得分数的众数相等(D)甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
解:
甲所得分数的极差为,A正确;乙所得分数的中位数为,B正确;
甲所得分数的众数为,乙所得分数的众数为,C正确,故选D
4.若实数,满足约束条件,则的最小值为A
(A)0(B)2(C)4(D)6
解:
作出实数,满足表示的平面区域,如图所示.
由可得,则表示直线在轴上的截距,截距越大,越小.
作直线,然后把该直线向可行域平移,当直线经过点时,最大,最小.
由可得,此时,故选A
5.已知等比数列的各项均为正数,若,则D
(A)l(B)3(C)6(D)9
解:
因为等比数列的各项均为正数,且,即,所以,所以,所以,故选D
6.已知函数,则C
(A)(B)(C)(D)
解:
,,,故选C
7.中,角的对边分别为.若向量,,且,则角的大小为B
(A)(B)(C)(D)
解:
由得,,
由正弦定理得,,化为,即,由于,所以,从而,故选B
8.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为B
(A)5(B)6(C)7(D)8
解:
故选B
9.若矩形的对角线交点为,周长为,四个顶点都在球的表面上,且,则球的表面积的最小值为C
(A)(B)(C)(D)
解:
如图,设矩形的两邻边分别为,,则,且外接圆的半径.
由球的性质得,平面,所以球的半径.
由均值不等式得,,所以,
所以,当且仅当时,等号成立.
所以球的表面积的最小值为,选C
10.已知函数,则“”是“函数在处取得极小值”的A
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
解法一:
当时,,由得,或,单调递增;由得,,单调递减.所以函数在处取得极小值,充分条件成立.
当函数在处取得极小值时,
若,由得,或,单调递增;由得,,单调递减.此时不成立
若,,则在上单调递增,不合题意,故必要条件不成立.故选A
解法二:
当时,,则在上单调递增,不合题意;
当时,由得,或,单调递增;由得,,单调递减.此时函数在处取得极小值.可见充分条件成立,而必要条件不成立,故选A
11.已知双曲线,的左,右焦点分别为,,又点.若双曲线左支上的任意一点均满足,则双曲线的离心率的取值范围为C
(A)(B)(C)(D)
解:
由双曲线的定义可得,.
由题意,双曲线左支上的任意一点均满足,即双曲线左支上的任意一点均满足,而,从而,即,不整理得,,即,所以或.
又,所以或,故选C
12.若关于的不等式在内恒成立,则满足条件的整数的最大值为A
(A)2(B)3(C)4(D)5
解:
关于的不等式在内恒成立,即关于的不等式在内恒成立,即函数的图象恒在直线的上方.
当直线与函数相切时,设切点为,则,由①②得,,把③代入得,化简得.由得,.又由③得.即相切时整数.因此函数的图象恒在直线的上方时,整数的最大值为,故选A
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.
13.某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如下表:
已知销售额与宣传费用具有线性相关关系,并求得其回归直线方程为,则的值为__.
解;,,由归直线方程为过点得,,解得,填
14.已知曲线为参数).若点在曲线上运动,点为直线上的动点,则的最小值为__.
解:
设,则点到直线的距离
当时,,填
15.已知是定义在上的奇函数,其导函数为,,且当时,.则不等式的解集为__.
解:
令,则,所以在上为单调递增,且,所以,解得.
由是定义在上的奇函数得,在为偶函数,所以不等式的解集为,填
16.已知抛物线的焦点为,准线为.若位于轴上方的动点在准线上,线段与抛物线相交于点,且,则抛物线的标准方程为__.
解:
如图,设.过点B作与点,由抛物线的定义知,,..
在中,,.从而
又,所以,即,所以.
在中,,,所以.抛物线的标准方程为,填
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数,其导函数的图象关于轴对称,.
(I)求实数,的值;
(Ⅱ)若函数的图象与轴有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解:
(I).……1分
函数的图象关于轴对称,.………2分
又,解得.………3分
,.…………4分
(Ⅱ)问题等价于方程有三个不相等的实根时,求的取值范围.
由(I),得..………..5分
令,解得.…………6分
当或时,,在,上分别单调递增.……7分
又当时,,在上单调递减,..8分
的极大值为,极小值为.………..10分
实数的取值范围为.……….12分
18.(本小题满分12分)
为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位,其考评分数如下
类行业:
85,82,77,78,83,87;
类行业:
76,67,80,85,79,81;
类行业:
87,89,76,86,75,84,90,82.
(I)试估算这三类行业中每类行业的单位个数;
(Ⅱ)若在A类行业抽样的这6个单位中,随机选取3个单位进行交流发言,求选出的3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.
解:
(I)由题意,抽取的三类行业单位个数之比为.…………1分
由分层抽样的定义,有
类行业单位个数为(个);……..2分
类行业单位个数为(个);……..3分
类行业单位个数为(个).……..4分
三类行业单位的个数分别为60,60,80.……….5分
(Ⅱ)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位为事件
在类行业的6个单位中随机选取3个单位的考核数据情形有:
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.共20种.…7分
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有:
,,,.共4种.…………8分
这3个单位都是“非星级”环保单位的考核数据情形有0种,一9分
这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种.…………10分
所求概率.…………12分
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,,分别为,的中点.
(I)证明:
平面平面;
(Ⅱ)若,,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
解:
(I)连接,,,为正三角形.
为的中点,.…………1分
,,平面,.
又平面,平面,平面.……2分
,分别为,的中点,.
又平面,平面,平面.…….3分
又,平面,,平面平面.………5分
(Ⅱ)连接.
平面平面,平面平面,平面,
又,平面.
又,,,两两互相垂直.………6分
以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
,,
则,,,,,.……7分
设平面的一个法向量,平面的一个法向量.
,,
由,得.取.……8分
,,
由,得.取.…………9分
.………11分
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………12分
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的左,右焦点分别为,,且经过点.
(I)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于,两点,记点关于轴对称的点为.若直线与轴相交于点,求面积的最大值.
解:
(I)由椭圆的定义,可知.………1分
解得.…………2分
又.……3分
椭圆的标准方程为.……….4分
(Ⅱ)由题意,设直线的方程为.设,,则.
由,消去,可得.…………5分
,.
,.……….6分
,
直线的方程为.…………7分
令,可得.………8分
,.…………9分
.……10分
令,.
则,当且仅当即时等号成立,
面积的最大值为.……12分
21.(本小题满分12分)
已知函数,其中.
(I)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若函数有唯一零点,求的值.
解:
(I)当时,,.…………1分
.…….2分
又,………3分
曲线在点处的切线方程为,即.…………4分
(Ⅱ)法一:
.………一5分
令,则,
,函数在仅有一个零点,
存在,使得.即存在满足时,……6分
当,即时,.在上单调递减;
当,即时,.在上单调递增,…………7分
又当时,,,;
当时,,.
当时,,当时,.
由题意,函数有唯一零点时,必有.①…………9分
又,②
由①②消去,得.………10分
令.,单调递增,
又,
方程有唯一解.…………11分
将代入,解得.
当函数有唯一零点时,的值为.………12分
法二:
问题等价于关于的方程有唯一解时,求的值.
令,则.
问题等价于关于的方程有唯一的解时,求的值.
令,则.
令,则.
在单调递减,而,当时,,当时,.
当时,,当时,.从而在单调递增,在单调递减.注意到:
,当时,,当时,,的唯一极大值为.结合的图象知,或时,关于的方程有唯一的解,而,所以.
22(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(I)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线相交于,两点,求的最小值.
解:
(I),.………1分
由直角坐标与极坐标的互化关系,.…………2分
曲线的直角坐标方程为.…….4分
(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的方程,并整理得.……..5分
,可设,是方程的两个实数根,则
,.…………6分
…………7分
,当时,等号成立.…………9分
的最小值为.………10分
成都市2017级高中毕业班摸底测试
数学试题(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷(非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5.考试结束后,只将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数为虚数单位的虚部是A
(A)(B)(C)(D)
解:
,复数为虚数单位)的虚部是,故选A
2.已知集合,,则B
(A)(B)(C)(D)
解:
,,故选B
3.如图是某赛季甲,乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图,则下列说法错误的是D
(A)甲所得分数的极差为22(B)乙所得分数的中位数为18
(C)两人所得分数的众数相等(D)甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
解:
甲所得分数的极差为,A正确;乙所得分数的中位数为,B正确;
甲所得分数的众数为,乙所得分数的众数为,C正确,故选D
4.若实数,满足约束条件,则的最小值为A
(A)0(B)2(C)4(D)6
解:
作出实数,满足表示的平面区域,如图所示.
由可得,则表示直线在轴上的截距,截距越大,越小.
作直线,然后把该直线向可行域平移,当直线经过点时,最大,最小.
由可得,此时,故选A
5.已知等比数列的各项均为正数,若,则D
(A)l(B)3(C)6(D)9
解:
因为等比数列的各项均为正数,且,即,所以,所以,所以,故选D
6.设函数的导函数为,若,则C
(A)(B)(C)(D)
解:
,,选C
7.中,角的对边分别为.若向量,,且,则角的大小为B
(A)(B)(C)(D)
解:
由得,,
由正弦定理得,,化为,即,由于,所以,从而,故选B
8.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为B
(A)5(B)6(C)7(D)8
解:
故选B
9.若矩形的对角线交点为,周长为,四个顶点都在球的表面上,且,则球的表面积的最小值为C
(A)(B)(C)(D)
解:
如图,设矩形的两邻边分别为,,则,且外接圆的半径.
由球的性质得,平面,所以球的半径.
由均值不等式得,,所以,
所以,当且仅当时,等号成立.
所以球的表面积的最小值为,选C
10.已知函数,则“在”是“函数在处取得极小值”的A
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
解法一:
当时,,由得,或,单调递增;由得,,单调递减.所以函数在处取得极小值,充分条件成立.
当函数在处取得极小值时,
若,由得,或,单调递增;由得,,单调递减.此时不成立
若,,则在上单调递增,不合题意,故必要条件不成立.故选A
解法二:
当时,,则在上单调递增,不合题意;
当时,由得,或,单调递增;由得,,单调递减.此时函数在处取得极小值.可见充分条件成立,而必要条件不成立,故选A
11.已知双曲线,的左,右焦点分别为,,又点.若双曲线左支上的任意一点均满足,则双曲线的离心率的取值范围为D
(A)(B)(C)(D)
解:
由双曲线的定义可得,.
由题意,双曲线左支上的任意一点均满足,即双曲线左支上的任意一点均满足,而,从而,即,不整理得,,即,所以或.
又,所以或,故选D
12.若关于的不等式在内恒成立,则满足条件的整数的最大值为C
(A)0(B)l(C)2(D)3
解:
关于的不等式在内恒成立,即关于的不等式在内恒成立,即函数的图象恒在直线的上方.
当直线与函数相切时,设切点为,则,由①②得,,把③代入得,化简得.由得,.又由③得.即相切时整数.因此函数的图象恒在直线的上方时,整数的最大值为,故选C
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.
13.某公司一种新产品的销售额与宣传费用之间的关系如下表:
已知销售额与宣传费用具有线性相关关系,并求得其回归直线方程为,则的值为___.
解;,,由归直线方程为过点得,,解得,填
14.已知曲线为参数).若点在曲线上运动,点为直线上的动点,则的最小值为__.
解:
设,则点到直线的距离
当时,,填
15.已知是定义在上的奇函数,其导函数为,,且当时,
.则不等式的解集为___.
解:
令,则,所以在上为单调递增,且,所以,解得.
由是定义在上的奇函数得,在为偶函数,所以不等式的解集为,填
16.已知抛物线的焦点为,准线为.过点作倾斜角为的直线与准线相交于点,线段与抛物线相交于点,且,则抛物线的标准方程为____.
解:
法一(几何法)如图,设.过点B作与点,由抛物线的定义知,,..
在中,,.
从而.
在中,,,所以.抛物线的标准方程为,填.
法二(代数法)直线的方程为,从而.
由消去,得,解得或(舍),从而.
由得,,解得,抛物线的标准方程为,填.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、'证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数,其导函数的图象关于轴对称,.
(I)求实数,的值;
(Ⅱ)若函数的图象与轴有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解:
(I).……1分
函数的图象关于轴对称,.………2分
又,解得.………3分
,.…………4分
(Ⅱ)问题等价于方程有三个不相等的实根时,求的取值范围.
由(I),得..………..5分
令,解得.…………6分
当或时,,在,上分别单调递增.……7分
又当时,,在上单调递减,..8分
的极大值为,极小值为.………..10分
实数的取值范围为.……….12分
18.(本小题满分12分)
为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位,其考评分数如下
类行业:
85,82,77,78,83,87;
类行业:
76,67,80,85,79,81;
类行业:
87,89,76,86,75,84,90,82.
(I)试估算这三类行业中每类行业的单位个数;
(Ⅱ)若在A类行业抽样的这6个单位中,随机选取3个单位进行交流发言,求选出的3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.
解:
(I)由题意,抽取的三类行业单位个数之比为.…………1分
由分层抽样的定义,有
类行业单位个数为(个);……..2分
类行业单位个数为(个);……..3分
类行业单位个数为(个).……..4分
三类行业单位的个数分别为60,60,80.……….5分
(Ⅱ)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位为事件
在类行业的6个单位中随机选取3个单位的考核数据情形有:
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.共20种.…7分
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有:
,,,.共4种.…………8分
这3个单位都是“非星级”环保单位的考核数据情形有0种,一9分
这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种.…………10分
所求概率.…………12分
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,,分别为,的中点.
(I)证明:
平面平面;
(Ⅱ)若,求三棱锥的体积.
解:
(I)连接.,,为正三角形.
为的中点,.…………1分
,,平面,.
又平面,平面,平面……….2分
,分别为,的中点,.
又平面,平面,平面.………3分
又,平面,,平面平面.…………5分
(Ⅱ)在(I)中已证.………6分
平面平面,平面,平面.…………7分
又,,.……..8分
,分别为,的中点,.
的面积.……….10分
三棱锥的体积.…………12分
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的左,右焦点分别为,,且经过点.
(I)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作一条斜率不为的直线与椭圆相交于,两点,记点关于轴对称的点为.证明:
直线经过轴上一定点,并求出定点的坐标.
解:
(I)由椭圆的定义,可知.……….1分
解得.…………2分
又.……..3分
椭圆的标准方程为.…………4分
(Ⅱ)由题意,设直线的方程为.设,,则.
由,消去,可得.……..5分
,.
,.…………7分
.
直线的方程为.…………8分
令,可得.…………9分
..……11分
直线经过轴上定点,其坐标为.…..12分
21.(本小题满分12分)
已知函数,其中.
(I)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若函数有唯一零点,求的值.
解:
(I)当时,,.……..1分
.…………2分
又.…………3分
曲线在点处的切线方程为,即.……….4分
(Ⅱ)问题等价于关于的方程有唯一的解时,求的值.…………5分
令,则.……….6分
令,则
在上单调递减.…..8分
又.
当时,,即,在上单调递增;
当时,,即,在上单调递减.…………9分
的极大值为.………10分
当时,;当时,.…..11分
又,当方程有唯一的解时,.
综上,当函数有唯一零点时,的值为.…………12分
22(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(I)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线相交于,两点,求的最小值.
解:
(I),.………1分
由直角坐标与极坐标的互化关系,.…………2分
曲线的直角坐标方程为.…….4分
(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的方程,并整理得.……..5分
,可设,是方程的两个实数根,则
,.…………6分
…………7分
,当时,等号成立.…………9分
的最小值为.………10分
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- 成都市 高中 毕业班 摸底 测试 理科 数学