立体几何中的截面问题.docx
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立体几何中的截面问题
确定平面的条件.
如果两个不車合的半面有一个公共点,那么它们相交F过此点的•条直线.
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线匕所有的点都在这个平面内.
(2)在侧面勺〃内,连结厶G交A4]TK
(3)在侧面Z%Q内,连结他交巾于底
(4)连结空胡则五边形旳%即为所求的截面.
例2:
A0、彳三点分别在直四棱柱川勺的棱码Z
fr体几何中的截面问题
-截面的定义及作法
用一个平面去截几何体,此平而与几何体的交集,叫做这个几何体的截面・此平面与几何体表而的交集(交线)叫做武线•此平而与几何体的枝的交集(交点)叫做截点.
1.方法(交线法)•该作图矢键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线,从而求得截面-
2•作战线LJ微点的主耍根据有:
⑴
⑵
⑶
如果一条直线IHTf•—个平面-经过这条直线的平面与这个¥而相交,那么这条直线就和交
⑷
线平行.
(5)如果两个平Ifti平行,第三个平面和它们相交'那么两条交线平行.
类型1:
截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上,且其中有两点在同一个面的棱上.
例仁如图,正方体ABCD-A.BGU中、EFG分别在AB.BC.DR上,求作过E.F.G三点的載面.作法:
(1)在底面46•内,过£、尸作直线刃-分别与必、兀的延长线交于厶6
対和勿1±,试画出过只0、斤三点的截面
作法:
⑴连接”、倚并延长,分别交阪CD的延长线于EF・疔交MT•
⑶连接胳、TP.则多边形PgT即为所求截面-
例3:
己知AQ斤分别是四棱柱ABCl>-AiBiCiDi的棱Gh%和M上的点,且0?
与〃不平行:
求作过这三点的截面。
作法:
(1)连接"并延长交场延长线于点人
(2)在平面宓9内连接刃交初于点
⑶连接莎剖久则四边形/W即为所求•
例4:
如图’五棱锥P■肋宓中,三条侧棱上各有一己知点F、G、H,k求作过只〃的截面.
作法:
(1)将侧面加、职;磁伸展得到三棱锥?
-AS7.
⑵在侧面丹S内,连结并延长处,交PSTK
(3)在侧面丹7-内,连结并延长讯交刃于厶
(4)在侧面内,连结应分别交刃、PE干M、N・
(5)连结亦侧则五边形尸6诙即为所求的截面类型2:
截面经过的三个已知点至少有一点在多面体的面上•其余点在棱上
6
例免如图,正方体ABCD-ABCD中,E、尸在两条棱上,
G在底面力Iq内,求过从AG的截面-
P
作法:
(1)过从尸作辅助面,在面廊i内,这F餐用7朋f交坷q于点尸1,则面如为所作的辅助面.
在面如ECD内,连接丹交勺坷于"-并延长交巧勺于‘‘
连结匹并延长与场延长线交于Q连接QF交AD于H.连结购FN・则五边形翻W为所求的截面-
例6:
己知直四棱柱加尸在面DM内,0在面坷磁1内,R在梭BB1上,
D1
画出过只Q、斤三点的載面。
作法:
(1)过尸作彤丄切于点P,过0作00r于6⑵在底面曲⑦内连接〃、甸并交于乩
(3)由平行线00、肪作平面连接QR・
⑷在平面QQBR内过H作KH1MABCD交QR于K。
类型3:
載面经过的三个己知点中,有两个点在同一棱上、第三点在多面体内例7:
试作出过
正三棱柱ABC-AiBiG的底边血及两底中心连线力,中点的截面。
作法:
⑴过力*和加】作平面AooJv交BC于D,交B\C\于Dy则〃、Z%分别为8G坷勺的中
在面血迦内,连接妁,并延长交勿I于S。
例8:
在侧棱和高的夹角为a的正四棱锥中,求作一个过底面顶点且与这点所对侧棱垂直的截面(a<45).
作法:
⑴在平面以6•中,作朋丄SC于点E・
⑵在底面宓9内过'作a//BD・
延长阪少分别交&于点弘N・
连接弘EN,分别交莎弘于点G、H。
连接SG、侧则多边形川蜩即为所求。
类型4:
截面经过的三个己知点两两不在同一面内的棱上-例9/A0、彳三点分别在直四棱柱/C的棱CCvAd);和^5七试画出过AQ、R三点的截面
得到截线宓-连接得到所求截linPOKHR
作法:
⑴先过斤、P两点作辅助平面。
过点*作RW/BBi交仇B15^盾则面瞬心为所
作的辅助平面。
再连接XP交BC于点J
(5)连接也PS.QN.则多边形为所求。
例Uh已知四棱锥V-ABCD.PQR分别在棱丄JJBIQ上.作过P.0.R的啟面
解:
连接啟并延长交2D的延长线瀏•同样-求出PQV面ZIBCD的交点M?
-连接若/ViM不与底%宓9的内部相交,而是交丁-它的延展面上•则可延长De交/ViMP
愿连接M3R得到截线刃;连接©则得到所求SJcrftiPpTT?
J/11:
如图・EF分另iJ.^yh-G在V面DC内.作过Ej&G的%%%iq
与H・遙按口\&平直ABCD内作GK//EH交CG7X;连接肪
任平面Mr内作E?
/处交JiZ)i加•连接RG•
则所求截面为八边形EHFKGA
M图这就回到基本题空,主要是构建辅助平面使所给的三点f而E.G两点分别在这个直四棱柱共面的两条棱L
【注】如果G在屮血\牛G内时.%A%Ci内作077^辅助\
刃彷分割出直四棱柱gPB-DDQC,又回到本題型-任求得A/.N
两点后,易得她ERFKH
若E在棱•厶h匕77・G分別在不经过棱丄古的两个而(共棱的两个面或相对的两个面)内-
则作截面的步骤•仍是先作一个适当的辅助平面,归结为基本题型
则作截面的步骤•仍是先作一个适当的辅助-归结为宰本題
若£住棱JJih>F・G分别在不经过棱丘%的两个面(共棱的两个面或相对的两个面)内.
左图中的辅助VIhl为物-相应的直棱柱为AiQBlPB右图中的辅助平面为40RJ•相应的直棱柱为AQQB-ARCB
例13:
E在平%iJi5内.F/ETifriBiC内.G任平IftIBiDi内•求过ERG的截面
EFG〔点分别任止方体的•:
个面内•三个面分共顶点的和不共顶点两种情况
求过朋7三点的正方体的碱血
刑/伽琏接疋F•则所求战面为四边形FZITN
【总结】:
①若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截线。
2若面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二确定的点•
3若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点。
4若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个己知点,则按平行平面与第三平面相交,那么它们的交线互相平行的性质,可得截面与平面的交线。
5若有一点在面上而不在棱上,则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题;若己知点在体内,则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决。
二、截面的面积问题
例16:
圆锥的母线长为/,轴截面为的顶角/求过此惻锥的母线的截面而积解:
设CD是过関锥母线的异F轴截而的任总截而,其顶角ZCVD=a,轴截面加的而积S=丄/2SinO,截面位的面积S'=/Silla在△匕LB和中'QUS所以a 此时过圆锥母线的截面面积最大为轴哉面面积STTw ⑴当Ov03壬时QVaVOS吕,SinaVSin&nS*vS, *F ⑵当八<0<兀时・0VaV&v;r,此时sinO 综卜•所述•过閲锥母线的截而而积的最人值与轴截而顶角&的范圉有矢Jr1 %Ov6>0时.轴Ifrilfti积最最大值为S=/sin(9 22 cQ"时,过関锥母线的4S%ilfti积最人值为S=I* 例17: 设圆台髙为下底面圆的半径为R-轴强面等腰梯形的底角为&求过此圆台的母线的Iffiffiirfii积的最大值解: 如图,延长母线ZUi与BBI相交T点卩.JP=RtanO,VOi=R\m0-h. OiBi=<7? tail0-h),cox0-R-hCOt0设过圆台的母线的任一截%i位CDDG碍于轴截佃),ZevD二姑则aglO RhR VD=CC=DD•二「9VCx=VD^-=- COS0Sille 0 轴截的面积为 S二*'tail久Mjcote丿&ail夕J/尸IRh-IrCOtO 截面CDDG的面积为S: =SaIQ-SAfrIA Z2R11 17? X2 (2)半兰S&V兰日寸・OVaVJT-20S兰,Sill刀vSin(八-2夕丿=Sin2夕 4—— 故SYsii】2&()=2Rh-IrCOt&=S,即恥 Sin202siir3 综上,过岡台母线所有截面中,英而枳的最人值与轴截面等腰梯形的底角&有矢当OvOv兰时,戏面面积的最人值为二2—胃厂 sin2&2SinP 4 %二八<・时,轴截面面积鍛大,最大值是IRh-IrQO\0 42 例18: 三棱锥力-砲中,MEFGH与对棱MC血都,行,且与川5・BC.CD.DA交干E、FGH ・则E・F・G・Hti・何处时,裁面EFGHrfii积最大 仏;由AC//飞讪EFGH,別C的Mi宓交TtfiiEFGH\EF,EF//AC同理HG〃AC,所以EF//HG.同理可证EH“FG,故EFGH是平行四边形 记ZFEH=O、由EF//AC,W/BD可知异血直线与BD所成角为0或;T一& 4FRF 由于三棱锥A-滋9是给定的•则&是定(ft・£—=.v.vv,则X4-V=I ABAB EFBE =x^ef=vaC ACAB EH〃BDMAEHs,BDn里二兰KnEH=XAB,故 BDAB SEFGH=EF.EH.sin0=(AB.AC.sind)<(ABAC,sin EF〃ACn\BEFS'BACa一二 二丄AB.AC.Shi0 4 当且仅当心y,即F是-购的中点时取等号- 此时册也分别是BC.CD.DA的中点 即近E・F・G・〃分别为中点时・AEFGH[tfi积最大 且最人而枳为^AB.Aasine(AC峙BD所成他为8或 A H E A)2 2 I江一0 例D如图•正耐本加3中,P是线段加的三等分点,P 0是线段肋上靠近刀的三等分点*是线段6P的中点,作截面妙•交线段BCYS>试确定S的具体位斤 £解: 设AB二b・AC=AAD=J•则Pp=%+Ap=-%+4v/ ■—I■-•三三三人三HHm QRAQDADRAQDA・(AC・AD)A・(IA・' _r一 丫一 1R 由截面妙交线段BCT-S,则PS,pQ・0? 共面, 『足存任唯一的实数2使得PS-XPQrlQR■ ABS=宓.则PS二PB+BS二Ab+x(c-b)=(^-x)b+xc 33 所以S是线段BC上的任近点C的五等分点. J84一4— “严严〒干鳧殆=严 V=-// 【引理】: 若梯形的上下底边长分别是eb,它的平行于底的戏线与上下底的距离之比为也, )1 所以— CH 且截线长为/,则/二m-hM m+n 证明: 在梯形ABCD AD//BC〉若AD=a.BC=b-EF//BC宜 分别交摄3于仔FN丄BN交Q的延长线于M,且爵过尸作GH//弘分别交BC及初的延长线FHGEF=BH=AG•社h.DGFSMFH A俨I-aInIInb-na =-n=
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- 立体几何 中的 截面 问题