中考数学复习与三角形平行四边形有关的证明与计算考点突破训练有答案.docx

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中考数学复习与三角形平行四边形有关的证明与计算考点突破训练有答案

2019年中考数学复习

与三角形、平行四边形有关的证明与计算

考点突破训练

一、选择题

1.将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝45°，则∠2为（　　）

A．115°B．120°C．135°D．145°

2.如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是（）

A.B．2C．2D．4

3.如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（　　）

A.B.C.D.

4.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为（　　）

A．1B．2C.D.

5.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是（）

A.B.C.D.

6.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是（）

A．∠ECD＝112.5°B．DE平分∠FDC

C．∠DEC＝30°D．AB＝CD

7.如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　）

A．当E，F，G，H是各边中点时，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形

B．当E，F，G，H是各边中点时，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形

C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

8.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的垂直高度与水平宽度的比称为坡度）把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）

A.B．3C.D．4

9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A．4个B．5个C．6个D．7个

10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别是AB，AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连结BF与DE相交于点G，连结CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：

①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）

A．4B．3C．2D．1

二、填空题

11.将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．

12.如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200m，则A，B间的距离为________m.

13．Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b是关于x的方程x2－7x＋7＝0的两个根，则AB边上的中线长为________．

14.如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为________．

15.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：

①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是____________．

16.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为___________．

17.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为_________米．

18.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为__________nmile.（结果取整数，参考数据：

≈1.7，≈1.4）

19.在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10米．请根据这些数据求出河的宽度为_________米．（结果保留根号）

20.我国古代有这样一道数学问题：

“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？

”题意是：

如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．

三、解答题

21．如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P.

（1）求证：

∠ABE＝∠CAD；

（2）若BH⊥AD于点H，求证：

PB＝2PH.

22．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.

（1）求证：

四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF＝EF，求证：

AE＝AD.

23.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：

水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度i＝1∶1（即DB∶EB＝1∶1），如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.

（参考数据：

sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2）

24.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.

（1）求证：

AE＝CF；

（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．

25.在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.

（1）如图①，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；

（2）如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：

∠BDF＝∠CEF.

26.如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．

（1）求点H到桥左端点P的距离；

（2）若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.

27．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连结EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.

（1）求证：

OE＝OF；

（2）若BC＝2，求AB的长．

28.如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.

（1）求证：

四边形BFEP为菱形；

（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动；

①当点Q与点C重合时（如图②），求菱形BFEP的边长；

②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

参考答案：

1-5CCCAA

6-10CDBDB

11.15°

12.100

13.

14.21

15.①③④

16.7

17.5

18.102

19.30＋10

20.25

21.解：

（1）证明：

易证：

△ABE≌△CAD，∠ABE＝∠CAD.

（2）∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°.

∵BH⊥AD，∴∠EBH＝30°.∴PB＝2PH.

22.解：

（1）证明：

∵∠EFB＝∠B＝60°，∴EF∥BC.

又EF＝DC，∴四边形EFCD是平行四边形．

（2）连结BE，则△EFB为等边三角形．

∴EB＝EF＝DC.∴△AEB≌△ADC（SAS）．∴AE＝AD

23.解：

设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，AB＝≈＝＝x，在Rt△EBD中，∵i＝DB∶EB＝1∶1，∴BD＝BE.∴CD＋BC＝AE＋AB，即2＋x＝4＋x，解得x＝12，即BC＝12.答：

水坝原来的高度为12米．

24.解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，∵BE＝DF，∴OE＝OF，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF　

（2）∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝6，∴AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，BC＝＝6，∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×6＝36

25.解：

（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴AM＝BM＝ABcos45°＝3×＝3，则CM＝BC－BM＝5－3＝2，∴AC＝＝＝　

（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.由DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC＝BD，又CE＝AC，因此BD＝CE，由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE（SAS），故BG＝CE，∠G＝∠E，∴BD＝CE＝BG，因此∠BDG＝∠G＝∠CEF

26.解：

（1）在Rt△AHP中，∵AH＝500，由tan∠APH＝tanα＝＝＝2，可得PH＝250米．∴点H到桥左端点P的距离为250米　

（2）设BC⊥HQ于C.在Rt△BCQ中，∵BC＝AH＝500，∠BQC＝30°，∴CQ＝＝1500米，∵PQ＝1255米，∴CP＝245米，∵HP＝250米，∴AB＝HC＝250－245＝5（米）．∴这架无人机的长度AB为5米

27.解：

（1）证明：

易证△OAE≌△OCF（AAS），∴OE＝OF.

（2）如图，连结OB.∵△OAE≌△OCF，∴AO＝CO，∵BE＝BF，OE＝OF，∴BO⊥EF.∵∠ABC＝90°，AO＝CO，∴AO＝BO＝AC.∴∠BAC＝∠ABO.又∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BC＝2，∴AC＝2BC＝4.∴AB＝6.

28.解：

（1）∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形　

（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，DE＝＝4cm，∴AE＝AD－DE＝1cm；在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3－PB＝3－PE，∴EP2＝12＋（3－EP）2，解得EP＝cm，∴菱形BFEP的边长为cm　②当点Q与点C重合时，如图②：

点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，如图③：

点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm