四川省开江县讲治中学中考第二轮 四边形 分类复习训练试题含答案word版.docx
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四川省开江县讲治中学中考第二轮四边形分类复习训练试题含答案word版
四川省开江县讲治中学2020年中考第二轮四边形分类复习训练试题
1、如图,四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,其中CE=CF,G是CD与EF的交点.
(1)求证:
△BCF≌△DCE;
(2)若BC=5,CF=3,∠BFC=90°,求DG:
GC的值.
2、在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得∠AED
=∠ABC,∠ABF=∠BPF.求证:
(1)△ABF≌△DAE;
(2)DE=BF+EF.
3、如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH∥DG,交BG于点H.连接HF,AF,其中AF交EC于点M.
(1)求证:
△AHF为等腰直角三角形.
(2)若AB=3,EC=5,求EM的长.
4、如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90°,FG⊥AD,垂足为点C.
(1)试判断AG与FG是否相等?
并给出证明;
(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?
若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.
5、如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?
请说明理由.
6、如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作
FG∥CD交BE于点G,连接CG.
(1)求证:
四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.
7、如图,在正方形ABCD中,E是DC边上一点,(与D、C不重合),连接AE,将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GH⊥AG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE是∠DAF的平分线,EA是∠DEF的平分线.仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角平分线),并说明理由.
8、
(1)如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,请直接写出HD:
GC:
EB的结果(不必写计算过程)
(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图2,求HD:
GC:
EB;
(3)把图2中的菱形都换成矩形,如图3,且AD:
AB=AH:
AE=1:
2,此时HD:
GC:
EB的结果与
(2)小题的结果相比有变化吗?
如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化,请说明理由.
9、如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G.
(1)求线段CE的长;
(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合),且∠DMN=∠DAM,设AM=x,DN=y.
①写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小值;
②是否存在这样的点M,使△DMN是等腰三角形?
若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
10、
(1)如图1,以AC为斜边的Rt△ABC和矩形HEFG摆放在直线l上(点B、C、E、F在直线l上),已知BC=EF=1,AB=HE=2.△ABC沿着直线l向右平移,设CE=x,△ABC与矩形HEFG重叠部分
的面积为y(y≠0).当x=
时,求出y的值;
(2)在
(1)的条件下,如图2,将Rt△ABC绕AC的中点旋转180°后与Rt△ABC形成一个新的矩形
ABCD,当点C在点E的左侧,且x=2时,将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角,将矩形HEFG绕着点E逆时针旋转相同的角度.若旋转到顶点D、H重合时,连接AG,求点D到AG的距离;
(3)在
(2)的条件下,如图3,当α=45°时,设AD与GH交于点M,CD与HE交于点N,求证:
四
边形MHND为正方形.
11、如图,边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点E
是OA边上的点(不与点A重合),EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P.
(1)当点E坐标为(3,0)时,试证明CE=EP;
(2)如果将上述条件“点E坐标为(3,0)”改为“点E坐标为(t,0)(t>0),结论CE=EP是否成立,请说明理由;
(3)在y轴上是否存在点M,使得四边形BMEP是平行四边形?
若存在,用t表示点M的坐标;若不存在,说明理由.
12、已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,OD垂直平分AC.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点P作PE⊥AB,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,分别交AD,OD于点F,G.连接OP,EG.设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题:
(1)当t为何值时,点E在∠BAC的平分线上?
(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使四边形PEGO的面积最大?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)连接OE,OQ,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OE⊥OQ?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
13、在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点P是边AD上一点.
(1)若BP平分∠ABD,交AE于点G,PF⊥BD于点F,如图①,证明四边形AGFP是菱形;
(2)若PE⊥EC,如图②,求证:
AE•AB=DE•AP;
(3)在
(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP的长.
14、如图,在正方形ABCD中,AB=10cm,E为对角线BD上一动点,连接AE,CE,过E点作EF⊥AE,交直线BC于点F.E点从B点出发,沿着BD方向以每秒2cm的速度运动,当点E与点D重合时,运动停止.设△BEF的面积为ycm2,E点的运动时间为x秒.
(1)求证:
CE=EF;
(2)求y与x之间关系的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(3)求△BEF面积的最大值.
15、如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形AOCB是梯形,AB∥OC,点A在y轴上,点C
在x轴上,且
,OB=OC.
(1)求点B的坐标;
(2)点P从C点出发,沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动,过点P作PH⊥OB,垂足为H,设△HBP的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,过点P作PM∥CB交线段AB于点M,过点M作MR⊥OC,垂足为R,线段MR分别交直线PH、OB于点E、G,点F为线段PM的中点,连接EF.
①判断EF与PM的位置关系;
②当t为何值时,EG=2?
16、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF
中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍
然成立?
通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
17、如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+b(b>0)分别交x轴,y轴于A,B两点,以OA,OB为边作矩形OACB,D为BC的中点.以M(4,0),N(8,0)为斜边端点作等腰直角三角形PMN,点P
在第一象限,设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S.
(1)求点P的坐标.
(2)当b值由小到大变化时,求S与b的函数关系式.
(3)若在直线y=﹣x+b(b>0)上存在点Q,使∠OQM等于90°,请直接写出b的取值范围.
(4)在b值的变化过程中,若△PCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的b值.
参考答案
1、
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCF+∠FCD=90°,BC=CD.
∵△ECF是等腰直角三角形,CF=CE,
∴∠ECD+∠FCD=90°.
∴∠BCF=∠ECD.
∴△BCF≌△DCE.
(2)解:
在△BFC中,BC=5,CF=3,∠BFC=90°,
∴BF=
∵△BCF≌△DCE,
∴DE=BF=4,∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°.
∴DE∥FC.
∴△DGE∽△CGF.(5分)
∴DG:
GC=DE:
CF=4:
3.
2、证明:
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AD∥BC,
∴∠BOA=∠DAE,
∵∠ABC=∠AED,
∴∠BAF=∠ADE,
∵∠ABF=∠BPF,∠BPA=∠DAE,
∴∠ABF=∠DAE,
∵AB=DA,
∴△ABF≌△DAE(ASA);
(2)∵△ABF≌△DAE,
∴AE=BF,DE=AF,
∵AF=AE+EF=BF+EF,
∴DE=BF+EF.
3、证明:
(1)∵四边形ABCD,四边形ECGF都是正方形
∴DA∥BC,AD=CD,FG=CG,∠B=∠CGF=90°
∵AD∥BC,AH∥DG
∴四边形AHGD是平行四边形
∴AH=DG,AD=HG=CD
∵CD=HG,∠ECG=∠CGF=90°,FG=CG
∴△DCG≌△HGF(SAS)
∴DG=HF,∠HFG=∠HGD
∴AH=HF,
∵∠HGD+∠DGF=90°
∴∠HFG+∠DGF=90°
∴DG⊥HF,且AH∥DG
∴AH⊥HF,且AH=HF
∴△AHF为等腰直角三角形.
(2)∵AB=3,EC=5,
∴AD=CD=3,DE=2,EF=5
∵AD∥EF
∴
=
,且DE=2
∴EM=
4、解:
(1)AG=FG,
理由如下:
如图,过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC,∠B=90°=∠BAD
∵FM⊥AB,∠MAD=90°,FG⊥AD
∴四边形AGFM是矩形
∴AG=MF,AM=FG,
∵∠CEF=90°,
∴∠FEM+∠BEC=90°,∠BEC+∠BCE=90°
∴∠FEM=∠BCE,且∠M=∠B=90°,EF=EC
∴△EFM≌△CEB(AAS)
∴BE=MF,ME=BC
∴ME=AB=BC
∴BE=MA=MF
∴AG=FG,
(2)DH⊥HG
理由如下:
如图,延长GH交CD于点N,
∵FG⊥AD,CD⊥AD
∴FG∥CD
∴
,且CH=FH,
∴GH=HN,NC=FG
∴AG=FG=NC又∵AD=CD,
∴GD=DN,且GH=HN
∴DH⊥GH
5、
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC,
∴∠ABE=∠CDF,
∵点E,F分别为OB,OD的中点,
∴BE=
OB,DF=
OD,
∴BE=DF,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)解:
当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形;理由如下:
∵AC=2OA,AC=2AB,
∴AB=OA,
∵E是OB的中点,
∴AG⊥OB,
∴∠OEG=90°,同理:
CF⊥OD,
∴AG∥CF,
∴EG∥CF,
∵EG=AE,OA=OC,
∴OE是△ACG的中位线,
∴OE∥CG,
∴EF∥CG,
∴四边形EGCF是平行四边形,
∵∠OEG=90°,
∴四边形EGCF是矩形.
6、
(1)证明:
由题意可得,
△BCE≌△BFE,
∴∠BEC=∠BEF,FE=CE,
∵FG∥CE,
∴∠FGE=∠CEB,
∴∠FGE=∠FEG,
∴FG=FE,
∴FG=EC,
∴四边形CEFG是平行四边形,又∵CE=FE,
∴四边形CEFG是菱形;
(2)∵矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF,
∴∠BAF=90°,AD=BC=BF=10,
∴AF=8,
∴DF=2,
设EF=x,则CE=x,DE=6﹣x,
∵FDE=90°,
∴22+(6﹣x)2=x2,
解得,x=,
∴CE=
,
∴四边形CEFG的面积是:
CE•DF=
×2=
.
7、解:
过点H作HN⊥BM于N,则∠HNC=90°,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=AB=BC,∠D=∠DAB=∠B=∠DCB=∠DCM=90°,
①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE,
∴△ADE≌△AFE,
∴∠D=∠AFE=∠AFG=90°,AD=AF,∠DAE=∠FAE,
∴AF=AB,又∵AG=AG,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
∴∠BAG=∠FAG,∠AGB=∠AGF,
∴AG是∠BAF的平分线,GA是∠BGF的平分线;
②由①知,∠DAE=∠FAE,∠BAG=∠FAG,又∵∠BAD=90°,
∴∠GAF+∠EAF=
×90°=45°,即∠GAH=45°,
∵GH⊥AG,
∴∠GHA=90°﹣∠GAH=45°,
∴△AGH为等腰直角三角形,
∴AG=GH,
∵∠AGB+∠BAG=90°,∠AGB+∠HGN=90°,
∴∠BAG=∠NGH,又∵∠B=∠HNG=90°,AG=GH,
∴△ABG≌△GNH(AAS),
∴BG=NH,AB=GN,
∴BC=GN,
∵BC﹣CG=GN﹣CG,
∴BG=CN,
∴CN=HN,
∵∠DCM=90°,
∴∠NCH=∠NHC=
×90°=45°,
∴∠DCH=∠DCM﹣∠NCH=45°,
∴∠DCH=∠NCH,
∴CH是∠DCN的平分线;
③∵∠AGB+∠HGN=90°,∠AGF+∠EGH=90°,由①知,∠AGB=∠AGF,
∴∠HGN=∠EGH,
∴GH是∠EGM的平分线;
综上所述,AG是∠BAF的平分线,GA是∠BGF的平分线,CH是∠DCN的平分线,GH是∠EGM的平分线.
8、解:
(1)连接AG,
∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,
∴∠GAE=∠CAB=30°,AE=AH,AB=AD,
∴A,G,C共线,AB﹣AE=AD﹣AH,
∴HD=EB,
延长HG交BC于点M,延长EG交DC于点N,连接MN,交GC于点O,则GMCN也为菱形,
∴GC⊥MN,∠NGO=∠AGE=30°,
∴
=cos30°=
,
∵GC=2OG,
∴
=
,
∵HGND为平行四边形,
∴HD=GN,
∴HD:
GC:
EB=1:
:
1.
(2)如图2,连接AG,AC,
∵△ADC和△AHG都是等腰三角形,
∴AD:
AC=AH:
AG=1:
,∠DAC=∠HAG=30°,
∴∠DAH=∠CAG,
∴△DAH∽△CAG,
∴HD:
GC=AD:
AC=1:
,
∵∠DAB=∠HAE=60°,
∴∠DAH=∠BAE,在△DAH和△BAE中,
∴△DAH≌△BAE(SAS)
∴HD=EB,
∴HD:
GC:
EB=1:
:
1.
(3)有变化.
如图3,连接AG,AC,
∵AD:
AB=AH:
AE=1:
2,∠ADC=∠AHG=90°,
∴△ADC∽△AHG,
∴AD:
AC=AH:
AG=1:
,
∵∠DAC=∠HAG,
∴∠DAH=∠CAG,
∴△DAH∽△CAG,
∴HD:
GC=AD:
AC=1:
,
∵∠DAB=∠HAE=90°,
∴∠DAH=∠BAE,
∵DA:
AB=HA:
AE=1:
2,
∴△ADH∽△ABE,
∴DH:
BE=AD:
AB=1:
2,
∴HD:
GC:
EB=1:
:
2
9、解:
(1)如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=10,AB=CD=8,
∴∠B=∠BCD=90°,
由翻折可知:
AD=AF=10.DE=EF,设EC=x,则DE=EF=8﹣x.在Rt△ABF中,BF=
=6,
∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4,
在Rt△EFC中,则有:
(8﹣x)2=x2+42,
∴x=3,
∴EC=3.
(2)①如图2中,
∵AD∥CG,
∴=,
∴=,
∴CG=6,
∴BG=BC+CG=16,
在Rt△ABG中,AG=
=8
,
在Rt△DCG中,DG=
=10,
∵AD=DG=10,
∴∠DAG=∠AGD,
∵∠DMG=∠DMN+∠NMG=∠DAM+∠ADM,∠DMN=∠DAM,
∴∠ADM=∠NMG,
∴△ADM∽△GMN,
∴
=
,
∴
=
,
∴y=
x2﹣
x+10.
当x=4
时,y有最小值,最小值=2.
②存在.有两种情形:
如图3﹣1中,当MN=MD时,
∵∠MDN=∠GMD,∠DMN=∠DGM,
∴△DMN∽△DGM,
∴
=
,
∵MN=DM,
∴DG=GM=10,
∴x=AM=8
﹣10.
如图3﹣2中,当MN=DN时,作MH⊥DG于H.
∵MN=DN,
∴∠MDN=∠DMN,
∵∠DMN=∠DGM,
∴∠MDG=∠MGD,
∴MD=MG,
∵BH⊥DG,
∴DH=GH=5,由△GHM∽△GBA,可得
=
,
∴
=,
∴MG=,
∴x=AM=8﹣
=
.
综上所述,满足条件的x的值为8﹣10或
.
10、
(1)解:
如图1,当x=
时,设AC与HE交与点P.
由已知易得∠ABC=∠HEC=90°.
∴tan∠PCE=tan∠ACB.
∴.
∴PE=,
∴
.
(2)解:
如图2,作DK⊥AG于点K,
∵CD=CE=DE=2,
∴△CDE是等边三角形,
∴∠CDE=60°.
∴∠ADG=360°﹣2QUOTE90°﹣60°=120°,
∵AD=DG=1,
∴∠DAG=∠DGA=30°,
∴DK=
DG=
,
∴点D到AG的距离为
.
(3)解:
如图3,
∵α=45°,
∴∠NCE=∠NEC=45°,
∴∠CNE=90°,
∴∠DNH=90°,
∵∠D=∠H=90°,
∴四边形MHND是矩形,
∵CN=NE,CD=HE,
∴DN=NH,
∴矩形MHND是正方形.
11、解:
(1)
(2)方法一:
在OC上截取ON=OE,
则AE=CN,∠EAP=∠CNE=135°
∵CE⊥EP
∴∠CEO+∠PEA=90°
又∵∠OCE+∠OEC=90°,
∴∠NCE=∠AEP
∴△NCE≌△AEP
∴CE=EP,即不论点E的坐标是多少,都存在CE=EP,
(1)
(2)得证;方法二:
(1)过点P作PH⊥x轴,垂足为H
∴∠2=∠1=90°
∵EF⊥CE
∴∠3=∠4
∴△COE∽△EHP
∴
由题意知:
CO=5,OE=3,EH=EA+AH=2+HP
∴
=
即HP=3
∴EH=5
在Rt△COE和Rt△EHP中
∴CE=
,EP=
故CE=EP
(2)CE=EP仍成立,理由如下:
同理△COE∽△EHP,
∴
由题意知:
CO=5,OE=t,EH=5﹣t+HP
∴
=
,整理得(5﹣t)HP=t(5﹣t),
∵点E不与点A重合,A(5,0),
∴5﹣t≠0
∴HP=t,
∴AH=t,
∴EH=5
∴在Rt△COE和Rt△EHP中
CE=
EP=
∴CE=EP
(3)y轴上存在点M,使得四边形BMEP是平行四边形.理由如下:
过点B作BM∥EP交y轴于点M
∴∠5=∠CEP=90°
∴∠4+∠ECB=90°,∠6+∠ECB=90°,
∴∠6=∠4
在△BCM和△COE中
∴△BCM≌△COE(ASA)
∴BM=CE而CE=EP
∴BM=EP由于BM∥EP
∴四边形BMEP是平行四边形,由△BCM≌△COE
可得CM=OE=t
∴OM=CO﹣CM=5﹣t
故点M的坐标为(0,5﹣t).
12、解:
(1)在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,
∴AC=
=6(cm),
∵OD垂直平分线段AC,
∴OC=OA=3(cm),∠DOC=90°,
∵CD∥AB,
∴∠BAC=∠DCO,
∵∠DOC=∠ACB,
∴△DOC∽△BCA,
∴
=
=
,
∴
=
=
,
∴CD=5(cm),OD=4(cm),
∵PB=t,PE⊥AB,易知:
PE=
t,BE=
t,
当点E在∠BAC的平分线上时,
∵EP⊥AB,EC⊥AC,
∴PE=EC,
∴
t=8﹣
t,
∴t=4.
∴当t为4秒时,点E在∠BAC的平分线上.
(2)如图,连接OE,PC.
S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+(S△OPC+S△PCE﹣S△OEC)
=•(4﹣t)•3+[•3•(8﹣t)+•(8﹣t)•t﹣•3•(8﹣t)
=﹣
t2+
t+16(0<t<5).
(3)存在.
∵S=﹣
(t﹣
)2+
(0<t<5),
∴t=
时,四边形OP
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