概率论与数理统计第2章作业题解初稿.docx

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概率论与数理统计第2章作业题解初稿

由表格知X的可能取值为

第二章作业题解：

2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X表示前后两次出现的点数之和，求X的概率分布，并验证

其满足（222）式.

解:

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1。

2

36；

4

36；

分别用Ai,Bi（i1,2）表示甲乙第一、二次投中，则

P（A2）0.3,P（BJP（B2）0.4,P（BjP（B2）0.6,

两人两次都未投中的概率为：

P（A1A2B1B2）0.30.30.60.60.0324，

两人各投中一次的概率为：

p（A1a2瓦b2）p（AX瓦bjp（a2a1B^b2）p（A1a2b2b1）40.70.30.40.60.2016

两人各投中两次的概率为：

P（A1A2B1B2）0.0784。

所以：

（1）两人投中次数相同的概率为0.03240.20160.07840.3124

（2）甲比乙投中的次数多的概率为：

P（AiA2BiB2）P（A1A2B2Bi）P（A1A2B1B2）P（A1A2BiB2）P（A1A2B1B2）

20.490.40.60.490.3620.210.360.5628

1232

解：

（1）P（1X3）

1515155

121

（2）P（0.5X2.5）P（X1）P（X2）

15155

1

2.5设离散型随机变量X的概率分布为P{Xk}r，k1,2,3,,，求

（2）P{X3}1P{X

1}P{X

2}

2k

2.6设事件A在每次试验中发生的概率均为0.4,当A发生3次或3次以上时，指示灯发出

信号，求下列事件的概率：

（1）进行4次独立试验，指示灯发出信号；

（2）进行5次独立试验，指示灯发出信号.

解:

（1）P（X3）P（X3）P（X4）

334

C40.40.60.40.1792

（2）P（X3）P（X3）P（X4）P（X5）

C；0.430.62C；0.440.60.450.31744.

2.7某城市在长度为t（单位：

小时）的时间间隔内发生火灾的次数X服从参数为0.5t的泊

松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率：

（1）某天中午12时至下午15时未发生火灾；

（2）某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.

k

15

解：

（1）P（Xk）e，由题意，0.531.5,k0,所求事件的概率为e..

k!

0

⑵P（X2）1ee1ee,由题意，0.541.5，所求事件

0!

1!

的概率为13e

2.8为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员•现有同类设备180台，且

各台设备工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理，问至少应配备多少名修理人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99?

解：

设应配备m名设备维修人员。

又设发生故障的设备数为X,则X~B（180，0.01）。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即P（Xm）0.99，也即

P（Xm1）0.01

因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为1800.011.8的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。

故应至少配备6名设备维修人员。

f（x）

0，xp1000

解：

一个元件使用1500小时失效的概率为

f（x）

12x（1x）2,0pxp1,

0，其他

2.10设某地区每天的用电量X（单位：

百万千瓦？

时）是一连续型随机变量，概率密度函数为:

假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦？

时，求该地区每天供电量不足的概率.若每天的供

电量上升到90万千瓦？

时，每天供电量不足的概率是多少？

解：

求每天的供电量仅有80万千瓦？

时，该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量X超过80万千瓦？

时（亦即X0.8百万千瓦？

时）的概率：

0.80.82

P（X0.8）=1-P（X0.8）=1-f（x）dx1o12x（1x）dx

1（6x28x33x4）0.80.0272

若每天的供电量上升到90万千瓦？

时，每天供电量不足的概率为:

0.90.92

P（Xf0.9）=1-P（X0.9）=1-f（x）dx1o12x（1x）2dx

1（6x28x33x4）0.90.0037

30有实根的概率

2.11设随机变量K~U（2,4）,求方程x22Kx2K

显然，当K

3K

1时，方程x22Kx2K30有实根；又由于K~U（2,4）,所

求概率为：

-

1

（2）

43

1

4（

2）

。

3

2.12某型号的飞机雷达发射管的寿命X（单位：

小时）服从参数为0.005的指数分布，求下列

事件的概率：

（1）发射管寿命不超过100小时；

⑵发射管的寿命超过300小时；

（3）一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间.

解：

（1）发射管寿命不超过100小时的概率：

xzar\rw100cccl0.005x」0.005x

P（X100）00.005edxe

100

1

0

e°.5=0.39

（2）发射管的寿命超过300小时的概率：

P（X300）1P（x300）1（1e1"）

1.5e

0.223

⑶一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间.

0.50.51.5

（1e）（ee）0.15。

2.13设每人每次打电话的时间（单位：

分钟）服从参数为0.5的指数分布.求282人次所打的电话中，有两次或两次以上超过10分钟的概率.

解：

设每人每次打电话的时间为

X，X~E（0.5）,则一个人打电话超过10分钟的概率为

P（Y2）1P（Y

0）P（Y1）

所求的概率为

1e1.91.9e1.912.9e"90.56625

2.14某高校女生的收缩压X（单位：

毫米汞柱）服N（110,122）,求该校某名女生:

（1）收缩压不超过105的概率；

⑵收缩压在100至120之间的概率

10.66280.3372

（0.83）

（0.83）2（0.83）120.796710.5934。

2.15公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01设计的，设成年男性的

.2

身高X（单位：

厘米）服从正态分布N（170,62）,问车门的最低高度应为多少？

解：

设车门高度分别为x。

则：

x170

P（Xx）10.010.99（）

x170

查表得，（2.33）0.99，因此2.33，由此求得车门的最低高度应为184厘米。

6

2.16已知20件同类型的产品中有2件次品，其余为正品.今从这20件产品中任意抽取4次,每次只取一件，取后不放回.以X表示4次共取出次品的件数，求X的概率分布与分布函数.

因为P（X0）

1817161512

2019181719

P（X

2）C18

C：

0

解：

X的可能取值为0,1,2。

12332

P（X1）1-

199595

所以X的分布律为

X

0

1

2

P

12

32

3

19

95

95

X的分布函数为

0

x0

12

—

0x1

19

F（x）19

92

1x2

95

1

x2

P（X2）10.60.10.3

所以X的分布律为

X

1

2

3

P

0.6

0.3

0.1

0

x1

0.6

1x2

F（x）

2x3

0.9

1

x3

X的分布函数为

2.18设连续型随机变量X的分布函数为:

0,x1,

F（x）Inx,1xe,

1,xe

（2）求X的概率密度函数f（x）。

解：

（1）P（X2）F

（2）ln2

P（0X3）F（3）F（0）101

求随机变量X的概率分布和分布函数

解：

X的可能取值为

1,23

C：

6

因为P（X1）

-4-0.6；

c；10

P（X

3）

出的3只中的最小号码

1

10

表示取

2.17袋中有同型号小球5只，编号分别为1,2,3,4,5.今在袋中任取小球3只,

⑵f（x）F（x）

x11xe

0其它

2.19设连续型随机变量X的分布函数为:

abe2,x0,

F（x）

0,x0.

（1）求常数a,b

（2）求X的概率密度函数f（X）。

（3）求P{、.m刁X..ln16}.

解:

（1）由F（）

1及limF（x）

x0\/

a1

F（0），得，故a=1,b=-1.

ab0

（2）f（x）F

X2

2

（x）xe

0

x0

x0

（3）P（1n4

Xln16）

F（.、ln16）F（..ln4）

ln16ln4

（1e2）（1e2）0.25。

4

2.20设随机变量X的概率分布为:

X

0

2

3

2

Pk

0.3

0.2

0.4

0.1

解：

⑴Y的可能取值为0,2,冗42n

因为P（Y0）P（X）0.2；

2

2

P（Y）P（X0）P（X）0.7；

23

P（Y42）P（X）0.1

2

所以Y的分布律为

Y

0

2n

4t?

P

0.2

0.7

0.1

⑵Y的可能取值为-1,1。

因为P（Y1）P（X0）P（X）0.7；

3

P（Y1）P（X-）P（X）0.3

所以Y的分布律为

Y

-1

1

P

0.7

0.3

2.21设随机变量X的分布函数为

解：

⑴X的可能取值为F（x）的分界点，即-1,1,2。

因为P（X1）0.3；P（X1）0.80.30.5；P（X2）10.80.2

所以X的分布律为

X

-1

1

2

P

0.3

0.5

0.2

⑵Y的可能取值为1,2。

因为P（Y1）P（X1）P（X1）0.8；

P（Y2）P（X2）0.2

所以Y的分布律为

Y

1

2

P

0.8

0.2