概率论计算题.docx
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概率论计算题
计算题:
1.三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为,求
534
(1)将此密码译出的概率,
(2)恰好有一个人译出此密码的概率.
解.:
设A第i人能破译,i1,2,3,则
3
(1)P(UAJ1P瓦瓦入
i=1
1pAP(A>)P(A3)1
0.6(6分)
PA1A2A3PAA2A3
(8分)
PA1P(A2)P(A0PAP(A2)P(A3)
PAP(A2)P(A3)
(10
分)
(12分)
12341342^13
53453453430
2.已知随机变量X的分布律为
-1
令YcosnX,
求:
(1)丫的分布律;
(2)E(丫)。
解:
(1)
P
X
-1
0
1
2
Y
-1
1
-1
1
Y
-1
1
P
从而E(Y)=(-1)*+1*=
故Y的分布分律为
32°
—xy0
3.设(X,Y)的概率密度为:
f(x,y)2
0,
x2,0y1
其它
(1)试求关于X和丫的边缘分布密度,
(2)问X和丫是否相互独立解:
(需说明理由).
fx(X)
132
xydy,0xf(x,y)dy02
0,
其它
1
x,0x22
0,其它
(3分)(为
什么等于二分之一x而不是二分之三x))
fY(y)
f(x,y)dx
0,
0y1
其它
3y2,0y1
0,其它
(这里dy应该是dx)从而:
fx(x)gfY(y)f(x,y),故X和Yffi互独立.(12分)
4.设随机变量X和丫的方差分别为25和36,相关系数为,求D(X+Y及D(X-Y.解:
D(X+Y)=DX+DY2xyDX、DY253620.4,253685(6分)
D(X-Y)=DX+DY-XYiDX;DY
253620.4.253637
(12分)
f(x)=
5.设总体X具有概率密度
其它
X1,X2,
Xn为来自总体X的容量为n的样本,求B的极大似然估计
解:
n
L()f(K,)
i1
n
n
Xi
1,0
Xi
1,i1,2,...n.
n
lnL()nIn
(1)In
i1
(8分)
令dlnL()
d
n
n得
lnxi0,得:
i1
(12分)
lnxi
i1
1.两门高射炮对一架敌机一齐各发一炮,它们的命中率分别为20%,30%
求:
(1)敌机至少中一弹的概率;
(2)敌机恰中一弹的概率
解.设A表示第i门高射炮击中敌机,i1,2,则
(1)
P(A1UA^)PAPAPAAPAPa2
PAgPA0.44
(6分)⑵
P(A1A)P(A1A)PaP(A)P(AJPa0.38
(12分)
2.某射手有3发子弹,射一次命中的概率为
2,如果命中了就停止射击'否则
一直射到子弹用尽。
设X表示耗用的子弹数。
求:
(1)X的分布列;
(2)E(X)解:
X的可能取值为1,2,3,于是
PX1-,PX
3
12
X3(3)2
(6分)
从而X的分布列为
X
1
2
3
P
23
29
1/9
(12分)
从而EX=129
3.设随机向量(X,丫概率密度为
8xy,0x1,0yx
f(x,y)=0,其他
求
(1)关于边缘概率密度
fx(x),fY(y)
X
⑵概率P{YC今}
解:
fx(x)
f(x,y)dy
x
08xydy,
0,
其它
4x3,
0,
0x1
其它
(3分)
fy(y)
f(x,y)dy
1
y8xydy,
0,
0y1
其它
4y(i
2
y
0,
y
其它
(这里
dx)
PY冬
2
应该是
(6分)
f(x,y)dxdy
x
y2
1
dx
0
x
028xydy
1/4.
(12分)
4.两个相互独立的均匀分布的随机
变量X,Y的分布密度分别为:
fX(x);,
1f,y)1,0其它1
0,其它
求ZXY的概率密度.
解:
ZX丫在[0,2]中取值按卷积公式Z的分布密度为
fz(Z)
fX(x)fY(zx)dxofY(zx)dx
dx
0x1,z1xz
乙0z1
2z,1z2
0,,其他
(6分)
(12分)
5.设总体X服从二项分布:
P(Xk)Cmmpk(1p)mk,k0,1,2,,m,其中p是
未知参数,X1,X2,…,xn是总体X的样本。
求参数p的极大似然估计量
解:
n
lcmpxi(1
i1
P)mx
(4分)
n
InLlnCm
i1
n
Inpx
i1
n
(nmxjln(1
i1
p)
(8分)
人dlnLn
令x
dpi1
gp(nm
n1
xi)0得:
i11p
1n
:
px.
nmi1
(12分)
1.在房间里有5个人,分别佩戴从1号到5号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码。
(1)求最小号码为2的概率;
(2)求最大号码为5的概率。
解:
(1)设X表示选出的3人中的最小号码,则P(X
2)
3/10
(6
⑵设丫表示选出的3人中的最大号码,则P(Y5)
g3/5
C;
(12
已知随机变量
X的分布律为
X
-1012
P
令YcosnX,
求:
(1)丫的分布律;
(2)E(Y)
解:
P
X
-1
0
1
2
丫
-1
1
-1
1
Y
-1
1
P
(8分)
从而E(Y)=(-1)*+1*=(12分)
3.随机变量(X,Y)的联合概率密度为
1
(xy)0x2,0y28
P(x,y)
0其它
求
(1)关于X、Y的边缘分布密度;
(2)问X、丫是否相互独立(需说明理由)
21I
解:
(1)当0x2,时fx(x)—(xy)dy-(x1)(2分)
084
1
(x1),0x2
从而:
fx(x)4
0,其它
1
(y1),0y2
同理fY(y)4
0,其它
(2)由上知:
fx(x)gfY(y)f(x,y).故X与丫不是相互独立的.
3x0x10yx
4.设随机变量(X,Y)的分布密度为f(x,y),J宀',试求
0,其它
ZXY的分布函数和分布密度.
解:
当z0,Fz(Z)0,当0z1时
zx1x12
Fz(z)0dx03xdyzdxxz3xdy-z(3z)
1x
当z1时,FZ(z)odx03xdy1
0,z0
1
故Fz(z)z(3z2),0z1,从而由fz(z)Fz(z)知Z的分布密度为
1,z1
fz(Z)
-(1Z2)
2,0
0,其他
5.设随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)=
1|y|x
0
其它
求Cov(X,Y)解:
令Dx,y|y
x,0x
1则
1
x
2
E(X)xf(x,y)dxdy
dx
xdy
D
0
x
3
1
x
E(Y)yf(x,y)dxdy
dx
0
ydy
x
0
D
1x
E(XY)xyf(x,y)dxdyQdxxxydy0
D
故Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)0
1.某年级有10名大学生是1986年出生的,试求这10名大学生中
(1)至少有
两人疋同
解:
•天生日的概率;
(2)至少有一人在十月一日过生日的概率
(1)P11
10
C365g10!
36510
(6分)
⑵P21
36410
36510
(12分)
2.设每次射击击中目标的概率为.如果射击5000次,试求击中两次或两次以上
的概率.(P5(0)=0.006738,P5
(1)=0.033690)
解:
P1(10.001)5000C50000.001(10.001)500010.95957
或p=,n=5000np=5=用泊松分布近似代替(12分)
所以P=1-P5(0)R
(1)=.设随机变量(X、丫)的分布密度为
2
f(x,y)
kxy0x1,0y3
0其它
求
(1)常数k;
(2)关于X,Y的边缘分布密度X(x),Y(y);(3)P(X+Y>1)
解:
(1)
由
dx
(2)由
x(x)
x
(x)
13
f(x,y)dxdy1知°dx°kx2ydy1从而k
f(x,y)dy知,当0x1时
322
x
03
ydy3x2,故关于X的分布密度为:
(6分)
x(x)
3x2,0
0,其他
1
,同理:
v(y)
2
-y,0y3
9
0,其他
(8分)
(3)PX
f(x,y)dxdy1
11
dx
00
ydy
89/90.
(12分)
4.设随机变量X的概率密度为
f(x)=
「2(1
0
x)
0
,其它
1
,试求数学期望
E(X)解:
及方差D(X).
E(X)
1
ox/(1x)dx
(4分)
212
E(X2)0x2c2(1
x)dx
(8分)
从而:
D(X)=E(X2)
(E(X))2
12
(3)
1
18
(12分)
5.设总体X的概率密度为f(x)
x2
2
,其中是未知参
数,
X1,X2,…,
Xn是总体X的样本
求参数
的极大似然估计量
解:
(4分)
1
InLnIn—一
nIn
2
Xi.
i1
(8分)
令
得
1
3
2
xi
(12分)
1.一个盒中装有2枚伍分,3枚贰分,5枚壹分的均匀硬币,现从中任取5枚,
问总值超过一角的概率是多少
解:
(1)取2个五分币,其余的3个可任取,其种数为:
(4分)
C2C3C2C3C5C2C3C5C2C5
(2)取1个五分币,二分币至少要取2个,其种数:
C;C;c5c2cfc2(8分)
故有利于事件发生的基本事件总数为
(10分)
c;c;c;c:
c5c;c3Ccjc^+Wc;c2c;c;=126.
故:
P齐1/2(12分)
C10
2.袋中有5只球,分别编号为1,2,3,4,5,从袋中同时取出3只球,以X表示取出的3只球中的最小号码。
求:
(1)
X的分布律;
(2)E(X)
解:
1.X=1,2,3
PX
1
C30.6
(2分)
PX
2
Hr0.3
(4分)
PX
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