完整版二次函数平行四边形存在性问题例题.docx

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完整版二次函数平行四边形存在性问题例题

二次函数平行四边形存在性问题例题

一．解答题（共9小题）

1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？

若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，

试说明理由．

3．已知：

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点

分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若

（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若把

（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，

4．已知：

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点

分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．

5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=9°0，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：

四边形PEFM的周长是否有最大值？

如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？

若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

1）求抛物线的解析式；

2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求

出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

（3）在

（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

7．如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；

（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．

8．已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两

点．

（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在

（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，设B（m．n）（m<0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．

9．抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．

（1）求抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？

若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；

2017年05月03日1587830199的初中数学组卷

参考答案与试题解析

．解答题（共9小题）

1．（2016?

安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？

若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，

解得

（2）∵抛物线的解析式为：

y=x2﹣2x﹣，

∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，

连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣），

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

3）存在．

②当点N在x轴上方时，

如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，

在△AN2D与△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴x2﹣2x﹣=，

解得x=2+或x=2﹣，

2．（2016?

十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，

试说明理由．

解答】解：

（1）当y=0时，﹣3x﹣3=0，x=﹣1

∴A（﹣1，0）当x=0时，y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴

∴，

抛物线的解析式是：

y=x2﹣2x﹣3．当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：

x1=﹣1，x2=3∴B（3，0）．

（2）由

（1）知B（3，0），C（0，﹣3）直线BC的解析式是：

y=x﹣3，设M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则E（x，x2﹣2x﹣3）∴ME=（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+；

∴当x=时，ME的最大值为．

（3）答：

不存在．

由

（2）知ME取最大值时ME=，E（，∴MF=，BF=OB﹣OF=．

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM．

∴P1（0，﹣）或P2（3，﹣）

当P1（0，﹣）时，由

（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣

∴P1不在抛物线上．

∴P2不在抛物线上．

综上所述：

在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．

3．（2016?

义乌市模拟）已知：

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线

与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若

（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP

为平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若把

（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，

由轴对称得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO

∴在△CHA中由勾股定理，得

AC2=CH2+AH2

∵直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点

∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=8

∴B（0，6），A（8，0）

∴OB=6，OA=8，

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AB=10

由勾股定理，得

设C（a，0），∴OC=a

∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在Rt△AHC中，

（8﹣a）2=a2+42解得

a=3

C（3，0）

设抛物线的解析式为：

y=ax2+bx+c，由题意，

解得：

∴抛物线的解析式为：

2）由

（1）的结论，得

D（

）

设BC的解析式为：

y=kx+b，则有

直线BC的解析式为：

y=﹣2x+6

P（m，n）

设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，作PE⊥OA于E，HD交OA于F．

∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA

∴∠POE=∠DAF

∴△OPE≌△ADF

∴PE=DF=n=

P（）

当x=时，

P．

∴点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点

3）由题意得，平移后的解析式为：

∴对称轴为：

x=2，

当x=0时，y=﹣

当y=0时，0=

解得：

∵F在N的左边

F（，0），E（0，﹣），N（，0）

连接EF交x=2于Q，设EF的解析式为：

y=kx+b，则有

4．（2016?

深圳模拟）已知：

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与

x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

ODAP为平

直接写出

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点|QA﹣QO|的取值范围．

∴点P的坐标为

NE=EG=，ON=OE﹣NE=

．（5分）

∵x=时，，∴点P不在直线BC上．

∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）

（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）

当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，

当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：

y=﹣x+6，直线BC的解析式为：

y=﹣2x+6，联立可得：

交点为（0，6），

∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，

∴|QA﹣QO|的取值范围是：

0≤|QA﹣QO|≤4．

5．（2016?

山西模拟）如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=9°0，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：

四边形PEFM的

周长是否有最大值？

如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？

若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：

（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，

解得

所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；

（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：

由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，

∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，

则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，

∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；

（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：

∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），

∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，

这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4解得x1=2+，x2=2﹣∴N点坐标为N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．

6．（2015?

葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

（3）在

（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），

∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，

∴

解得

∴y=﹣x2+x+3．

2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），

∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，

∴S△BEC=S△BEM+S△MEC

=

=×（﹣x2+x）×4

=﹣x2+3x

=﹣（x﹣2）2+3，

∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．

3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．

由

（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=﹣x+3上，

∴点M的坐标是（2，），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴AM所在的直线的斜率是：

∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），

∵x<0，

∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．

∵点M在直线y=﹣x+3上，

∴点M的坐标是（2，），又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，

∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，

∵x>0，

∴点P的坐标是（5，﹣）．

由

（2），可得点M的横坐标是2，

∵点M在直线y=﹣x+3上，

∴点M的坐标是（2，），

又∵点A的坐标是（﹣2，0），

∴AM==，

x，

解得，

∴点P的坐标是（﹣1，）．

综上，可得

在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．

7．（2015?

梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过

D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接

写出符合要求的M、N两点的横坐标．

C两点在抛物线y=ax2+bx+2上，

∴所求的抛物线为：

（2）抛物线y=，则点A的坐标为（0，2），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴

解得：

∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，

），

设F点的坐标为（x，x+2），则D点的坐标为（x，

∵G点与D点关于F点对称，

∴G点的坐标为（x，），

若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与其中一条坐标轴相切，

①若⊙G与x轴相切则必须由DG=GE，即﹣x2+x+2﹣（）=，

解得：

x=，x=4（舍去）；

②若⊙G与y轴相切则必须由DG=OE，

即

G点的

解得：

x=2，x=0（舍去）．

综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，

横坐标为2或．

（3）M点的横坐标为2±2，N点的横坐标为±2．

（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在

（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（m．n）（m<0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．

），

解答】解：

（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，

又∵直线BC过C、F两点，

故得方程组：

（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，

设M（x，﹣x+1），则D（x，x2），

∵MD∥y轴，

∴MD=﹣x+1﹣x2，

由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x2|=1，

①当﹣x+1﹣x2=1时，

解得x1=0（舍）或x1=﹣3，

所以M（﹣3，），

②当﹣x+1﹣x2，=﹣1时，

解得，x=，

所以M（，）或M（，），

综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，

M点坐标为（﹣3，）或（，）或（，）；

3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，∵点B（m，n）在抛物线上，

∴m2=4n，在Rt△BTF中，

=

=，

∵n>0，

∴BF=n+1，又∵BR=n+1，∴BF=BR．

∴∠BRF=∠BFR，又∵BR⊥l，EF⊥l，∴BR∥EF，

∴∠BRF=∠RFE，∴∠RFE=∠BFR，

同理可得∠EFS=∠CFS，

∴∠RFS=∠BFC=90°，

∴△RFS是直角三角形．

9．（2015?

百色）抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．

（1）求抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？

若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？

【解答】解：

（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，∴，

解得，

∴抛物线的解析式为：

y=x2﹣3x+2，

令y=0，则x2﹣3x+2=0，解得：

x1=1，x2=2，

∴抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）；

（2）存在，由已知条件得AB∥x轴，

∴AB∥CD，

∴当AB=CD时，

以A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形，

设D（m，0），

当C（1，0）时，则CD=m﹣1，

∴m﹣1=3，

∴m=4，

当C（2