七年级数学思维探究23相交线与平行线含答案doc.docx
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七年级数学思维探究23相交线与平行线含答案doc
阿基米德,公元前287年出生在意大利西西里岛的叙拉古,11岁时在被称为“智慧之都”的希腊中心亚历山大城学习,他博阅群书,钻研《儿何原本》.阿基米德通过大量实验发现了杠杆原理,又用儿何演绎方法推出许多杠杆命题,并给岀严格的证明,其中就有著名的“阿基米徳原理”,阿基米徳是兼数学家与力学家的伟大学者,享有“力学之父”的美称。
23.相交线与平行线
解读课标
在我们生活中存在大量的图形,它们为人类带来无穷无尽的直觉源泉,相交线与平行线随处可见,它们构成同一平面内两条直线的基本位置关系,它们的性质和位置关系是认识和学习其他图形性质的基础.
相交线与平行线都与角相关:
两直线相交,对顶角相等;两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.
我们还可以用角之间的关系来判断两直线是否平行.
与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用,有以下两方面应用:
1.角的计算与证明;
2.两直线位置关系的确定.
问题解决
例1如图,已知4B"DE,ZABC=90Q,ZCZ)£=140°,贝ljZBCD=.
试一试乙4BC、乙CDE、ZBCD表面上看很难联系起来,过C点作CF//DE,问题就迎刃而解了.
例2如图,ABIICDIIEFIIGH,AEIIDG,点、C在AE上,点F在DG上,设与Za相等的角的个数为加(不包括本身),与Z0互补的角的个数为戸,若QH0,则m+n的值是().
A.8B.9C.10D.II
GH
试一试略
例3如图,已知Zl=Z2,ZC=ZZ),求证:
Z^=ZF.
试一试从角出发,导出两直线的位置关系,再推出新的角的关系,新的两直线的位置关系是解这类问题的基本思路.
例4如图,人B、CD是两根钉在木板上的平行木条,将一根椽皮筋固定在力、C两点,点E是橡皮筋上一点,拽动E点将橡皮筋拉紧后,请你探索厶、上C、ZAEC之间具有怎样的关系?
并说明理由.
试一试这是一道结论开放的探究性问题,由于E点位置的不确定性,可引起对E点不同位置的分类讨论(如夹在AB.CD之间或之外、内折或外折等),这是解本例的关键.
例5平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点.
(1)你能画出各直线之间的交点个数为〃的图形吗?
其屮〃分别为6,12,15.
(2)请尽可能多地画出各直线之I'可的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律?
分析与解设7条直线交点的个数为",则0;<21.(为什么?
)
(1)如图①,得到的交点个数为6个;如图②,得到的交点个数为21个;如图③、④,得到的交点个数分别为12、15・
(2)〃的大小直接取决于7条直线中互相平行的直线的数量,因为7条直线中可能有:
—-组平行线(2条;3条;4条;5条;6条;7条);
二组平行线(2条,2条;2条,3条;2条,4条;2条,5条;3条,3条;3条,4条);
三组平行线(2条,2条,2条;2条,2条,3条);
没有平行线,
所以当我们探求本题的完整的答案吋,可以分为上述四种情况,分别加以研究.
实际上本题的答案共有15个,即
〃=0,6,8,10,12,14,15,15,16,17,18,18,19,20,21,其中重复数字表示交点
平移变换
例6平面上有六条两两不平行的直线,试证:
在所有的交角中,至少有一个角小于31。
・
分析把平面上的直线平行移动,则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的,这样,我们就可将所有的直线移动后,使它们相交于同一点,此时,情况就相对简单得多.
证明在平面上任取一点O,过O点分别作这6条直线的平行线/;,//,/;,/4\//,/6\则由平行线的特性,知x,vm,k之间互成的角与原来的6条直线/,,/2,/3,/4,/5,/6之间互成的角相等.
现在我们考虑「,F,…,味的情况,我们只考察Q与F,F与『,…,V与C与「所成的角,由图不难发现这6个角成一个平角,即这6个角的和为180。
.
假设这6个角没有一个小于31。
,则这6个角都大于或等于31。
,从而这6个角的和至少为31°x6=186°,这是不可能的,所以,这6个角屮至少有一个小于31。
,不妨设「与F所成的角小于31。
,则原来的直
线厶与<2所成的角也必小于31。
・
数学冲浪
知识技能广场
1.如图,用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时,吸管与易拉罐上部夹角Z1=74°,那么吸管与易拉罐下部夹角Z2=度.
Zl=130°,
Z2=30°,贝ijZC=
3.将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起,在图中标记的角中,与/互余的角是
4.如图,ADllEGllBC,ACIIEF,则图屮与Z1相等的角(不含Z1)有个;若Zl=50°,则
ZAHG=.
5.在力、3两座工厂之间要修建一条笔直的公路,从/地测得B地的走向是南偏东52。
,现/、〃两地要同吋开工,若干天后,公路准确对接,则3地所修公路的走向应该是().
A.北偏西52。
B.南偏东52。
C.西偏北52。
D.北偏西38。
6.如图,直线IIIm,将含有45。
角的三角板的直角顶点C放在直线加上,若Zl=25。
,则Z2的度数为().
A.20°B.25°C.30°D.35°
7.如图,已知ABIICD,那么++(
A.360°B.270°C.200°D.180°
8.如图,D、G是中M边上的任意两点,DEllBC,GHUDC,则图中相等的角共有().
A.4对B.5对C.6对D.7对
9.如图,己矢WFCHABHDE,a:
ZD:
ZB=2:
3.49求Q、乙D、ZB的度数.
10.如图,已知+求证:
AB//CD.
思维方法天地
11.如图,Mm,长方形ABCD的顶点B在直线加上,贝ijZa=
12.如图,已矢WABl/CD,厶4BE=120°,ZDCE=35°,贝ljZBEC=
13.某人在练车场上练习驾驶汽车,两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反,则这两次拐弯的角度
可能是.①第一次向左拐40。
,第二次向右拐40。
;②第一次向右拐50。
,第二次向左拐130°;
③第一次向右拐70。
,第二次向左拐110°;④第一次向左拐70。
,第二次向左拐110°.
14.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40。
,则另一个角的度数为・
15.如图,CDIIBE,则Z2+Z3-Z1的度数等于().
A.90°B.120。
C.150°D・180。
16.如图,已矢UABIICD,BF平分ZABE,社BFIIDE,则Z/3E与ZD的关系是().A.ZABE=3ZDB・ZABE+ZD=\S0°C.厶4BE—ZD=90。
D.ZABE=2ZD
17.探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关,如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出,如果图屮ZABO",ZDCO=0,则ZBOC的度数为().
A.180。
-—0B.Q+0C.*(Q+0)D.90。
(0-4)
18.如图,两直线
A.630°B.720°
CD平行,贝lJZl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=().
C.800°D.900°
19.ABHCD,ZAEC=90°.
(1)如图①,当CE平分时,求证:
/E平分ZBAC;
(2)如图②,移动直角顶点E,使ZMCE=ZECD,求证:
2ZBAE=ZMCG.
图①图②
20.如图,已知CDIIEF,Z1+Z2=ZMBC,求证:
ABHGF.
应用探究乐园
21.
(1)如图①,MA}IINA2,则Z+ZA2=.
如图②,MA}IINA.,则Z4+Z/+Z4二•
如图③,MA{IINA4,则+ZA2+Z/f3+Z.
如图④,MA』N人,则+Z44-Z4-Z^4+Z4=.
从上述结论屮你发现了什么规律?
请在图②,图③,图④屮选一个证明你的结论.
图①
N
图②
A\
彳3
NA4
图③
(2)如图⑤,MAXHNAn,则Z^,+Z^2+ZJ3+---+ZJ=.
(3)利用上述结论解决问题:
如图已知ABIICD,厶BE和ZCDE的平分线相交于F,ZE=140。
求ZBFD的度数.
22.实验证明,平面镜反射光线的规律是:
射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
(1)如图,一束光线〃7射到平面镜a上,被。
反射到平而镜力上,又被b反射,若被力反射出的光线"
与光线加平行,且4=50。
,贝lJZ2=,Z3=.
(2)在
(1)中,若Zl=55°,则Z3二;若Z1=40°,则Z3二:
(3)由
(1)、
(2),请你猜想:
当两平面镜b的夹角Z3=时,可以使任何射到平面镜。
上
的光线加,经过平面镜〃的两次反射后,入射光线加与反射光线"平行.请说明理由.
相交线与平行线
问题解决
例1ZBCF=AABC=80°,ZDCF=180°-ZCDE=40°,ZBCD=乙BCF-ZDCF=40°,例2D
例3先证BDllCE,再证DFI/BC.
例4如图,可分别得到下列关系(证法同①)
®ZAEC=ZA+ZC:
②ZAEC+ZA+ZC=360°:
(S)ZAEC=ZC-ZA:
@ZAEC=ZA-ZC
®ZAEC=ZA-ZC;®ZAEC=ZC-ZA.
数学冲浪
1.106°2.20°3.Z2、上3、Z44.5;130°5.A
6.A7.A8.D
9.a=72。
,ZZ)=108°,Z5=I44°
10.略11.25。
12.95°13.④14.40。
或140。
15.D16.D17.B1&D
19.
(1)略;
(2)证法较多,如过E点作EF//AB或作乙MCG平分线CH等.
20.作CKIIFG,延长GF、CD交于H点,贝QZ1+Z2+ZBCK=180。
,因Zl+Z2=ZABC,故ZMC+,3CK=180。
,即CKHAB,ABIIGF.
21.
(1)180°,360°,540°,720°
(2)(w-l)180°
(3)过F点作FGIIAB,贝\\ABIIFGIICD•
则ZBFD=、0BE+ZCDE),又AABE+ZCDE+=360°,得ZABE+ZCDE=220。
故
2
ZBFD=110。
.
22.
(1)100°:
90°
(2)90°;90°
(3)90。
证明略.
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