运筹学总复习.docx

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运筹学总复习

《运筹学》总复习

第1章线性规划及其对偶问题

●基本概念

基本要素：

决策变量、目标函数、约束条件

线性规划定义：

决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。

标准形式：

目标函数取“max”、约束条件取“=”、约束右端项非负、决策变量非负

解的概念：

凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称为线性规划的可行域,使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。

●数学建模与求解

建模步骤：

科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择

单纯形法与对偶单纯形法：

原规划基本解的检验数小于等于零

计算：

计算：

计算：

计算：

以为中心元素进行迭代

以为中心元素进行迭代

原规划基本解是可行解

所有

所有

所有

所有

得到最优解

停

无界

解

无可行解

解

单纯形法

对偶单纯形法

是

是

是

是

否

否

否

否

两阶段法：

第一阶段：

添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。

在最终单纯形表中如果存在人工变量，由无可行解，否则转第二阶段。

第二阶段：

在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型的目标系数，按单纯形法继续迭代。

●练习题：

1.某厂利用原料A、B生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利润及有关数据如表所示，试建立该问题线性规划模型，并用单纯形法求解。

甲

乙

丙

原料拥有量

A

B

6

3

3

4

5

5

45

30

单件利润

4

1

5

2.某旅馆在不同时段所需服务员数如表所示：

每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员？

（列出该问题线性规划模型，不求解）

时间段

最少服务员数

1

06:

00~10:

00

20

2

10:

00~14:

00

30

3

14:

00~18:

00

25

4

18:

00~22:

00

30

5

22:

00~02:

00

10

6

02:

00~06:

00

10

3.用两阶段法求解线性规划问题：

4.用对偶单纯形法求解线性规划问题：

第2章整数规划与分配问题

●0-1变量的用法及建模

理解0-1变量的9种用途，其中

（1）

（2）（4）（8）重点掌握

（1）多个取1：

（2）n中取k：

n中至少取k，改为

n中最多取k，改为

（3）变量取离散数值：

（4）选甲必须选乙，选乙不一定选甲：

或1

（5）两个约束条件只需满足一个：

或

式中：

M为任意大正数

（6）n个约束条件中满足k个：

（7）若

，则

；否则

，

，

或

（8）选了甲或乙，丙就不能入选，选了丙，甲、乙都不能入选

（9）对

可表述为：

●匈牙利法

步骤：

1.从每行中减去最小数

2.再从每列中减去最小数

3.

（1）先看行,从第一行开始,如该行只有一个0,给该0打Δ,划去该为所在列,如有两个以上0或无0,转下一行,到最后一行;

（2）再看列,如该列只有一个0,给该0打Δ,划去该0所在行,如无0或两个以上0,转下一列;

（3）重复

（1）

（2）,可能出现三种结局:

a.有m个打Δ的0,令对应Δ号的xij=1,即为最优.

b.存在0的闭回路.

对闭回路上的0按顺时针编号,任取单号或双号打Δ,分别对打Δ的0都划去所在行（或都划去所在列）返回3

（1）

C.打Δ的0的数

4.从未被划去的数字中找出最小数字k,对未被划去的行分别减k;对被划去的列加k,回到3

●练习题：

1．某公司有5000万元可用于投资，有6个投资方案，其投资额、安排员工数和年利润额如表所示：

方案

投资额（万元）

可安排员工数（人）

年利润额（万元）

1

2000

50

150

2

2000

60

200

3

3500

100

150

4

1000

20

100

5

4000

100

200

6

1500

50

100

要求：

（1）投资额不超过5000万元；

（2）至少安排150人员就业；

（3）年利润额尽可能地多。

试建立该问题0-1规划数学模型（不求解）

2.某校排球队准备从以下8名预备队员中选拔4名正式队员，并使平均身高尽可能高。

这8名预备队员情况如下表所示。

预备队员

号码

身高（厘米）

位置

A

B

C

D

E

F

G

H

1

2

3

4

5

6

7

8

197

194

189

196

188

180

183

185

主攻

主攻

副攻

副攻

二传

二传

接应

接应

要求：

（1）8名预备队员选4名；

（2）最多补充1名主攻；

（3）最多补充1名副攻；

（4）至少补充1名二传；

（5）至少补充1名接应；

（6）A和E只能入选1名；

（7）无论B或D入选，A都不能入选。

（建立数学模型，不求解）

3.某企业接受订货，产品需求量为6000公斤，可由3种设备进行生产，其成本与产量如下：

设备

设备调整费（元）

生产成本（元/公斤）

生产能力（公斤）

A

B

C

2000

2500

3000

6

5

4

3000

4000

5000

企业如何组织生产才能使总成本最小？

试列出该问题的整数规划数学模型（不求解）。

4.试利用0-1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件。

（1）x1+x2≤2或2x1+3x2≥8

（2）变量x3只能取0、5、9、12

（3）若x2≤4，则x5≥0，否则x5≤3

（4）以下四个约束条件中至少满足两个：

5.用匈牙利法求解分配问题：

（1）

（2）

第3章运输问题

●数学模型

1.产销平衡运输问题数学模型

2.产销不平衡的运输问题转化为产销平衡的运输问题

产>销：

添加一个假想销地，使其销量=∑产量-∑销量

产<销：

添加一个假想产地，使其产量=∑销量-∑产量

3.会将一般的非地理问题转化为运输问题数学模型

●表上作业法

（1）用最小元素法给出初始方案

（2）用位势法求检验数

（3）用闭回路法进行方案调整

重复

（2）（3）步，直到得最优解。

●练习题：

1.某建筑公司6个工地（A、B、C、D、E、F）的物资需要运输，各工地起点、终点及所需车次如表（a）所示，相关工地间路程如表（b）所示。

（a）（b）

线路

从工地

到工地

需车次

A

B

E

1

2

3

4

E

B

A

D

D

C

F

B

9

7

4

6

C

D

F

2

3

4

3

2

4

3

2

1

试求最优调运方案（列出产销平衡表，并用表上作业法求解）。

第4章目标规划

●基本概念

偏差变量：

用以表示实际值与超出或未达到目标值的差距的变量称为偏差变量；

正偏差变量：

超出目标的差距称为正偏差变量；

负偏差变量：

未达到目标值的差距称为负偏差变量；

优先级：

对两个不同目标，如果其重要程度相差悬殊，为达到一个目标甚至可以牺牲另一目标，可将它们划分属不同优先级。

优先级是一个定性概念，规定：

Pk>>Pk+1

权系数：

在同一优先级内，根据重要程度不同，用权系数确定其优先顺序。

权系数是一个具体的数字。

●数学建模

建模步骤：

（1）确定优先因子

（2）列出目标要求（不等式）

（3）约束转换（加减负正偏差变量变为等式）

（4）由目标要求确定目标值偏差（允许超过目标：

负偏差最小；允许不完成：

正偏差最小；要求准确完成：

正、负偏差之和最小）

（5）将目标值偏差组合起来，加上系统约束和目标约束及变量非负约束构成目标规划数学模型

●练习题：

1．某广播电台每天开播12小时，其中广告节目用以赢利，每分钟可收入500元，新闻节目每分钟需支出50元，而音乐节目每分钟支出20元，依据规定：

正常情况下广告节目不超过广播时间的15%，每小时至少安排5分钟的新闻节目，试问该电台每天应如何安排广播节目？

其优先级如下：

P1——满足规定要求，P2——每天的纯收入达到1千元并力争超过。

试建立此问题的目标规划模型（不求解）。

2．某公司计划生产甲、乙两种产品，它们分别要经过设备A和设备B两道工序的加工，其所需工时定额如下表：

产品

工序

甲

（小时/千克）

乙

（小时/千克）

有效工时

（小时）

设备A

设备B

5

2

3

7

80

72

单位盈利

100元/千克

120元/千克

系统约束：

两种设备已满负荷，不能加班。

目标要求：

P1：

盈利达到150元，并尽可能地超过；

P2：

两种产品的产量之和尽可能超过10千克；

P3：

产品乙不少于6千克。

试建立此问题的数学模型（不求解）

第6章图与网络模型

●基本概念

图：

点和连线的集合.

不带箭头的连线称为边（edge）.带箭头的连线称为弧（Arc）.

无向图：

连线不带箭头的图,用为:

G={V,E}

式中：

V={v1,v2,…}，E={e1,e2,…}表示.（如图a）.

有向图：

连线带箭头的图,用D={V,A}表示,（如图b）

边相邻：

两条边有公共的端点

点相邻：

两点有公共的关联边

环：

两端点相重的边.

多重边：

两条以上边所连的端点相重

简单图：

无环、无多重边的图

次（度）：

某一点具有的关联边的数目

孤立点：

次为“0”的点,

悬挂点：

次为“1”的点

悬挂边：

与悬挂点相连的边

奇点：

次为奇数的点

偶点：

次为偶数的点;

链：

点、边的交错序列.

圈（或称路）：

封闭的链

连通图：

任两点至少存在一条链.

基础图：

有向图去掉箭头就变成了无向图,此无向图称为该有向图的基础图.

树：

一个无圈的连通图称为树.

●基本方法

最小支撑树的避圈法与破圈法。

最短路的dijkstra标号算法。

最大流的Ford-Fulkerson标号算法。

中国邮路问题：

结论1:

若无奇点,则邮递员可以走遍所有街道,做到每条街道只走一次而不重复.

结论2:

（1）有奇点的连线的边最多重复一次;

（2）在该网络图的每个回路上,有重复的边的长度不超过回路总长的一半.

●练习题

1.用避圈法或破圈法求下图所示最小支撑树。

4

v4

5

4

3

3

v7

v8

v3

v5

v2

v1

v6

2

4

2

2

2

2

2

8

3

2.用dijkstra标号算法求上图所示从v1到v8的最短路。

3.如图，圆圈代表网络节点，节点间的连线表示它们间有网线相连，连线上的数表示该网线传送10兆字节的信息所用时间（单位：

秒）。

现需从点s向点t传送10兆字节的信息，问至少需多少时间？

2

3

2

2

3

2

4

4

6

2

2

S

A

C

B

D

E

T

4.用Ford-Fulkerson标号算法求上图所示从s到t的网络最大流。

第8章对策论

●对策模型三要素

局中人、策略集、赢得矩阵

●二人零和对策的条件：

（1）有两个局中人；

（2）每个局中人的策略都是有限的；

（3）每一策略组合下，各局中人赢得之和始终为零。

●对策模型的假设前提：

（1）对策双方的行为是理智的；

（2）局中人选取策略的目标是收益最大或损失最小；

（3）局中人同时选取各自的行动策略，且不知道对方选取哪一个策略；

（4）对策中的有关规定和要求，局中人是知道的。

●矩阵对策最优纯策略

求法：

超优原则化简，最大最小原则

●最优混合策略

求法：

线性规划法

●练习题

1．求赢得矩阵A的最优纯策略。

第9章决策分析

●不确定型决策

乐观主义准则（最大最大原则）

悲观主义准则（最小最大原则）

等概率准则

乐观系数法

最小后悔值准则

●风险型决策

期望值法

●练习题

1.根据以往的资料，一家面包店所需要的面包数（即面包当天的需求量）分布如下：

销售量（个）

180

240

300

360

概率

0.2

0.3

0.3

0.2

如果一个面包当天没销售掉，则在当天结束时以0.10元处理给饲养场，新面包的售价为每个1.00元，每个面包的成本为0.50元。

要求：

（1）列出收益矩阵并用期望值法对面包生产量进行决策。

（2）若概率分布未知，试用乐观准则、悲观准则、等概率准则和最小后悔值准则进行决策。