考点10 利用导数研究函数的单调性极值最值高考分类题库.docx
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考点10利用导数研究函数的单调性极值最值高考分类题库
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考点10利用导数研究函数的单调性、极值、最值
1、选择题
1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,1]B.
C.D.
【解析】选C.方法一:
用特殊值法:
取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,
f'(x)=1-cos2x-cosx,
但f'(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D.
方法二:
f'(x)=1-cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立,
故1-(2cos2x-1)+acosx≥0,
即acosx-cos2x+≥0恒成立,
令t=cosx,所以-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,
构造函数f(t)=-t2+at+,
开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,
故只需
解得-≤a≤.
2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ( )
A.(0,1)B.(0,2)
C.(0,+∞)D.(1,+∞)
【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.
【解析】选A.由题设知:
不妨设P1,P2点的坐标分别为:
P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中0 f'(x)=得l1的斜率k1为-,l2的斜率k2为;又l1与l2垂直,且0 k1·k2=-·=-1⇒x1·x2=1,我们写出l1与l2的方程分别为: l1: y=-(x-x1)-lnx1…①,l2: y=(x-x2)+lnx2…②,此时点A的坐标为(0,1-lnx1),点B的坐标为(0,-1+lnx2),由此可得: |AB|=2-lnx1-lnx2=2-ln(x1·x2)=2,①,②两式联立可解得交点P的横坐标为x=,△PAB的面积为: S△PAB=|AB|·|Px|=×2×=≤1,当且仅当x1=即x1=1时等号成立,而0 3.(2016·四川高考文科·T6)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ( ) A.-4B.-2C.4D.2 【解题指南】求出f'(x),解出方程f'(x)=0的根,再根据不等式f'(x)>0,f'(x)<0的解集得出函数的极值点. 【解析】选D.f'(x)=3x2-12=3,令f'(x)=0,得x=-2或x=2,易知f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)的极小值为f,所以a=2. 2、解答题 4.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围. (2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明: x1+x2<2. 【解析】 (1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). ①设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点; ②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 又f (1)=-e,f (2)=a,取b满足b<0且b 则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0, 故f(x)存在两个零点; ③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a). 若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增. 又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0; 当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0. 因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增, 又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点, 综上,a的取值范围为(0,+∞). (2)不妨设x1 (1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)内单调递减, 所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0, 由于f(2-x2)=-x2+a(x2-1)2, 而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0, 所以f(2-x2)=-x2-(x2-2), 设g(x)=-x-(x-2)ex, 则g'(x)=(x-1)(-ex). 所以当x>1时,g'(x)<0,而g (1)=0, 故当x>1时,g(x)<0. 从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2. 5.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T21)(本小题满分12分) 设函数f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A. (1)求f'(x). (2)求A. (3)证明|f'(x)|≤2A. 【解析】 (1)f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx. (2)当a≥1时, 当0 令cosx=t∈,则f(x)=g(t)=2at2+t-1,其对称轴为t=, 当t=∈时,解得a<-或a>, 所以当 (1)=a,g (1)=3a-2, 则g(-1)-g (1)=2-2a>0, 又, 所以A=g. 当0 综上可得: A= (3)由 (1)得. 当0 当 所以<2A. 当a≥1时,≤3a-1≤6a-4=2(3a-2)=2A. 综上所述: ≤2A. 6.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T21)(本小题满分12分) 设函数f(x)=lnx-x+1. (1)讨论f(x)的单调性. (2)证明当x∈(1,+∞)时,1< (3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx. 【解析】 (1)由题设,f(x)的定义域为,f'(x)=-1,令f'(x)=0,解得x=1. 当0 (2)由 (1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f (1)=0. 所以当x 故 (3)由题设c>1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g'(x)=c-1-cxlnc,令g'(x)=0. 解得x0=. 当x 由 (2)知1< (1)=0,故当0 所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx. 7.(2016·浙江高考文科·T20)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明: (1)f(x)≥1-x+x2. (2) 【解题指南】 (1)利用放缩法,得到,从而得到结论. (2)由0≤x≤1得x3≤x,进行放缩,得到f(x)≤,再结合第一问的结论,得到f(x)>,从而得到结论. 【证明】 (1)因为1-x+x2-x3=, 由于0≤x≤1,有,即1-x+x2-x3≤, 所以f(x)≥1-x+x2. (2)由0≤x≤1得x3≤x,故 f(x)=x3+≤x+=x+-+ =, 所以f(x)≤, 由 (1)得f(x)≥1-x+x2=, 又因为f=>,所以f(x)>, 综上, 8.(2016·山东高考理科·T20) 已知f(x)=a,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性. (2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+对于任意的x∈成立. 【解题指南】 (1)求导后,对a分情况讨论. (2)令g(x)=f'(x)+=,对其求导,求其最大值,判断f(x)min与g(x)max的关系,进而可给出证明. 【解析】 (1)由题意,函数f(x)的定义域为,f'(x)=. 1a≤0时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 在x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 2a>0时,f'(x)=, 当01,当x∈或时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 3a=2时,=1,x∈时,f'(x)≥0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 4a>2时,0<<1,当x∈或x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上: 当a≤0时,函数f(x)在(0,1)内单调递增,在内函数f(x)单调递减. 当0 在内函数f(x)单调递减. 当a=2时,函数f(x)在内单调递增, 当a>2时,函数f(x)在和内单调递增,在内函数f(x)单调递减. (2)方法一: 由 (1)知函数f(x)在[1,)内递减,在(,2]内递增.故f(x)min=f()=-ln+, f'(x)+. 若令g(x)=,则有g'(x)=. 故存在x0∈[1,2]使得函数g(x)在[1,x0)递减,在(x0,2]递增, 则g(x)max=max,而g (1)=,g (2)=, 所以g(x)max=. 因为f(x)min-g(x)max=-ln+-=2--ln2>2.82-2.25-ln2>(1-ln2)>0, 所以,f(x)>f'(x)+对于任意的x∈成立. 方法二: 因为lnx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立), G(x)=. 又f(x)≥(当且仅当x=1时等号成立), 即可得f(x)>f'(x)+. 9.(2016·山东高考文科·T20)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R. (1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间. (2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围. 【解题指南】 (1)通过二次求导,研究g(x)的单调性. (2)通过端点分析,找到分界点,再分情况讨论. 【解析】 (1)g(x)=f'(x)=lnx-2ax+2a, 所以g'(x)=-2a=. 当a≤0,x∈时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增. 当a>0,x∈时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增, x∈时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减. 综上: 当a≤0,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞). 当a>0,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为. (2)由 (1)知f' (1)=0. ①当a≤0,f'(x)单调递增,所以 x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈时, f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意. ②当01时,由 (1)知f'(x)在内单调递增, 所以x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意. ③当a=,=1时,f'(x)在内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x∈时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意. ④当a>,0<<1时,x∈,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈时
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