福建省厦门市届高三下学期第一次质量检查数学理试题及答案解析.docx
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福建省厦门市届高三下学期第一次质量检查数学理试题及答案解析
福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查(3月)
数学(理)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则()
A.B.C.D.
2.复数满足,则()
A.B.2C.D.
3.等差数列中,,则()
A.B.C.5D.
4.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()
A.B.C.D.
5.计算机科学的创始人麦卡锡先生发明的“91”函数具有一种独特的情趣,给人的心智活动提供了一种愉悦的体验.执行如图所示的程序框图,输入,则输出()
A.3B.4C.5D.6
6.设满足约束条件则的最大值是()
A.B.1C.D.2
7.双曲线的左焦点为,过右顶点作轴的垂线分別交两渐近线于两点,若为等边三角形,则的离心率是()
A.B.C.2D.
8.如图,某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形,该棱锥的体积为,则该棱锥内切球的表面积是()
A.B.C.D.
9.函数与的图象交点的横坐标之和为,则()
A.B.0C.1D.2
10.圆台的高为2,上底面直,,下底面直径,与不平行,则三棱锥体积的最大值是()
A.B.C.D.
11.定义在上的函数满足,若关于的方程有3个实根,则的取值范围是()
A.B.C.D.
12.函数与(其中)在的图象恰有三个不同的交点,为直角三角形,则的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.的展开式中常数项是.
14.已知三点,若为锐角,则的取值范围是.
15.等比数列的首项为2,数列满足,则.
16.过抛物线焦点的直线与交于两点,在点处的切线分别与轴交于两点,则的最大值是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.的内角的对边分别是,满足.
(1)若,求的面积;
(2)求.
18.如图,四棱锥中,是等边三角形,,分别为的中点.
(1)证明:
平面;
(2)若平面,求直线与平面所成角的正弦值.
19.2018年2月4日,中央一号文件《中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见》发布,对农村电商发展提出新的指导性意见,使得农村电商成为精准扶贫、乡村振兴的新引擎.某电商2018年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃销售,为了解该地区果园的樱桃销售量情况,现从中随机抽取60个樱桃果园,统计各果园2017年的销售量(单位:
万斤).得到下面的频率分布直方图.
(1)从样本中销售量不低于9万斤的果园随机选取3个,求销售量不低于10万斤的果园个数的分布列及其数学期望;
(2)该电商经过6天的试运营,得到销售量(单位:
万斤)情况统计表如下:
根据相关性分析,前天累计总销售量与之间具有较强的线性相关关系,由最小二乘法得回归直线方程.用样本估计总体的思想,预测该电商至少运营多少天可使总销量不低于该地区各果园2017年平均销售量的两倍.
注:
1.前天累计总销售量;
2.在频率分布直方图中,同一组教据用该区间的中点值作代表.
20.在平面直角坐标系中,点,点在直线上,过中点作,交于点,设的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程;
(2)过点的直线与交于两点,直线分别与直线交于两点.线段的中点是否在定直线上,若搓,求出该直线方程;若不是,说明理由.
21.函数(其中).
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求正整数的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在立角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若曲线上一点的极坐标为,且过点,求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)设点,与的交点为,求的最大值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)设关于的不等式的解集为,且,求的取值范围
试卷答案
一、选择题
1-5:
BBDDB6-10:
DCCBB11、12:
AA
二、填空题
13.1514.15.16.8
三、解答题
17.
(1)由余弦定埋,得,
又,得,因为,所以,
由三角形面积公式,
(2)法一:
由,得
结合余弦定理,得
因为,则
结合正弦定理,,得
因为,得
整理得:
因为,
所以,即
法二:
整理得:
由,得
整理得:
.
18.
(1)取的中点,连接,
∵为的中点,∴,
又∵平面
∵,同理平面,
又,∴平面平面,
∵平面,∴平面.
(2)(法—)∵平面,∴,
以为坐标原点,以分别为轴的正方向,过垂直于平面的直线为轴,如图建立空间直角坐标系,
在中,,∴,
∴
∴,
设平面的法向量为,∴∴,
取,∴,即,
设直线与平面所成角为,
∴。
∴直线与平面所成角的正弦值为.
(法二)连接,∴,为的中点,为的中点,
∴∵平面,∴平面,∴两两互相垂直,
∴以为坐标原点,以分别为轴的正方向,如图建立空间直角坐标系,
∵,可得,∴,
∴
∴,
设平面的法向量为,∴∴,
取,∴,即,
设直线与平面所成角为,
∴。
∴直线与平面所成角的正弦值为.
19.
(1)由频率分布直方图可得样本中2017年销将量不低于9万斤的果园有个,销售量不低于10万斤的果园有个.
随机变量的可能取值为0,1,2,3.
,,
,,
所以随机变量的分布列为
∴数学期望.
(2)由运营期间销售量情况统计表可得前天累计总销售量如下:
∴,
将样本中心点代入回归直线方程,得,
∴,
下面用直方图中各区间中点值作为代表,估计该地区2017年平均销售量:
由题意得:
,解得.
∵,∴该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2017年平均销售量的两倍.
20.
(1)法一:
设,因为为中点,故点的坐标为;
当时,点的坐标为;当时,
由三点共线知,,即①
,即②;
得,
化简得曲线的轨迹方程为.
法二:
设,则直线的方程为,
令,得点的坐标为,即,
又及,.即,
化简得,即,
故曲线的轨迹方程为.
(2)法一:
由题意知,直线的斜率恒大于0,且直线不过点,其中;
设直线的方程为,则.
设,
直线的方程为,故,
同理;
所以,
即③
联立,化简得,
所以
代入③得,
所以点都在定直线上.
法二:
设,
设直线的方程分别为,
则,
故①,
联立得,
所以,同理,.
由三点共线知,
即,
②
又,故②式可化为,
代入①式,得.
所以点都在定直线上.
法三:
设,
设直线的方程分别为,
则,
故
设直线方程的统一形式为,
直线的方程为,
联立,得点的统—形式为,
又均在椭圆上,故其坐标满足椭圆的方程,即
,得,
即,
为该二次方程的两根,由韦达定理得,
代入①式,得.
所以点都在定直线上.
21.
(1)函数定义域是,,
(i)当时,,当时,函数的单调递减区间是;
(ⅱ)当,的两根分别是,,
当时.函数的单调递减.当时,函数的单调速递增,当时,函数的单调递减;
综上所述,(i)当时的单调递减区间是,
(ⅱ)当时,的单调递增区间是,单调递减区间是和
(2)当时,,即,
设,∴,
∴当时,,
设,则,∴在递增,
又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线,
且,
∴使得,即,
当时,;当时,;
∴函数在单调递减,在单调递增,
∴,
∵在递减,
∵,∴,
∴当时,不等式对任意恒成立,
∴正整数的最大值是3.
22.
(1)把代入曲线可得
化为直角坐标为,
又过点,得直线的普通方程为;
可化为.
由可得,
即曲线的直角坐标方程为.
(2)把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得,,
化简得,①
可得,故与同号
,
所以时,有最大值.
此时方程①的,故有最大值.
23.
(1)当时,,.
即或或
解得或或,所以或或.
所以原不等式的解集为.
(2)因为,
所以当时,不等式恒成立,
即在上恒成立,
当时,,即,
所以,所以在上恒成立,
所以,即;
当时,,即,即,
所以在上恒成立,
所以,即;
综上,的取值范围为.
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