考研数学一真题及解析.docx
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考研数学一真题及解析
2007年考研数学一真题
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
(1)
当x
0时,与
x
等价的无穷小量是
(
)
A.1
ex
B.ln
1
x
C.
1
x
1
D.1cos
x
1
x
(2)
曲线y=
1
ln(1
ex
),
渐近线的条数为
(
)
x
A.0
B.1
C.2
D.3
(3)如图,连续函数
y=f(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1
的上、下半圆周,在区间
[-2,0],
x
f(t)dt
[0,2]的图形分别是直径为
2
的上、下半圆周,设
F(x)=
.则下列结论正确的是
(
)
0
A.F(3)=
3F(
2)
B.F(3)=
5F
(2)
C.F(3)=
3F
(2)
D.F(3)=
5F(
2)
4
4
4
4
(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是
(
)
A.若lim
f(x)存在,则f(0)=0
B.若lim
f(x)
f(
x)
存在,则f(0)=0
x
0
x
x
0
x
C.若lim
f(x)
存在,则f'
(0)=0
D.若lim
f(x)
f(
x)
存在,则f'(0)=0
x
0
x
x
0
x
(5)设函数(fx)在(0,+
)上具有二阶导数,且f"(x)
o,
令un=f(n)=1,2,..n,
则下列结论正确的是
()
A.若u1
u2,则{un}必收敛
B.若u1
u2,则{un}必发散
C.若u1
u2,则{un}必收敛
D.
若u1
u2,则{un}必发散
(6)设曲线L:
f(x,y)=1(f(x,y)
具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点
M和第Ⅳ象限内的点
N,T为L上
从点M到N的一段弧,则下列小于零的是
(
)
A.
(x,y)dx
B.
f(x,y)dy
C.
f(x,y)ds
D.
f'x(x,y)dx
f'y(x,y)dy
r
r
r
r
(7)设向量组
1
,
2
,
3线形无关,则下列向量组线形相关的是:
(
)
(A)
1
2,
2
3,
3
1
(B)
1
2,
2
3,
3
1
(C)
1
2
2
2
3
2
1
(D)1
2
2
2
2,
3
2
1
2
3
3
2
1
1
10
0
(8)设矩阵A=1
2
1,B=
0
10
1
12
0
0
0
,则A于B()
(A)合同,且相似(B)合同,但不相似
(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p0p1,则此人第4次射击恰好第
2次命中目标的概率为:
(
)
(A)3p(1
p)2
(B)6p(1p)2
(C)3p2(1
p)2
(D)6p2(1
p)2
(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密
度,则在Y=y的条件下,
X的条件概率密度
fX|Y(x|y)为()
(A)fX(x)
(B)
fY(y)
(C)
fX(x)fY(y)
(D)
fX(x)
fY(y)
二.填空题:
11-16
小题,每小题
4分,共
24分,请将答案写在答题纸指定位置上
2
1
1
=_______.
(11)
x3
ex
dx
1
(12)设f(u,v)为二元可微函数,
z
f(xy,yx),则
z=______.
x
(13)二阶常系数非齐次线性方程
y''
4y'
3y
2e2x的通解为y=____________.
(14)设曲面
:
|x|
|y|
|z|
1
,则
ò
(x
|y|)ds=_____________.
010
0
(15)设矩阵A=
0
010
,则A3的秩为________.
0
0
01
0
0
00
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于
1的概率为________.
2
三.解答题:
17~24
小题,共
86分.请将解答写在答题纸指定的位置上
.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
(17)(本题满分11分)求函数f(x,y)
x2
2y2
x2y2在区域D
{(x,y)x2
y2
4,y0}
上的最大值和最小值。
(18)(本题满分10分)
计算曲面积分
I
xzdydz
2xydzdx
3xydxdy,
2
其中为曲面z1x2y(0z1)的上侧.
4
(19)(本题是11分)
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶导数且存在相等的最大值,
f(a)g(a),f(b)g(b)证明:
存在(a,b),使得f''()g''().
(20)(本题满分10分)
设幂级数
anx
n在
(
内收敛,其和函数
y(x)
满足
n
0
)
y''
2xy'
4y
0,y(0)
0,y'(0)
1
(1)证明an
2
n
2
1
an,n
1,2,L;
(2)
求
的表达式.
y(x)
本题满分
分
)
(21)(
11
x1
x2
x3
0
设线性方程组
x1
2x2
ax3
0
(1)
x1
4x2
a2x30
与方程x1
2x2
x3
a
1
(2)
有公共解,求的值及所有公共解.
a
(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值
11,22,3
2,1(1,1,1)T
是A的属于
1的一个特征向量,
记B
A5
4A3
E其中E为3阶单位矩阵
(I)验证
1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量;
(II)求矩阵B.
(23)设二维变量(x,y)的概率密度为
2xy0x1,0y1
f(x,y)
其他
0
(I)求P{X
2Y};
(II)求zX
Y的概率密度.
(24)设总体X的概率密度为
1
0x
2
1
x1
f(x,)
2(1
)
0
其他
X1,X2,Xn是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值
(I)求参数的矩估计量;
(II)判断4X2是否为2的无偏估计量,并说明理由.
2007年考研数学一真题解析
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
(2)
当x
0时,与
x
等价的无穷小量是
(B)
A.1
ex
B.ln
1
x
C.
1
x1
D.1cos
x
1
x
(2)
曲线y=
1
ln(1ex
),
渐近线的条数为
(D)
x
A.0
B.1
C.2
D.3
(3)如图,连续函数
y=f(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1
的上、下半圆周,在区间[-2,0],
x
[0,2]的图形分别是直径为
2
的上、下半圆周,设
F(x)=
f(t)dt
.则下列结论正确的是
(C)
0
A.F(3)=
3F(
2)
B.F(3)=
5F
(2)
C.F(3)=
3F
(2)
D.F(3)=
5F
(2)
4
4
4
4
(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是
(C)
A.若lim
f(x)存在,则f(0)=0
B.若lim
f(x)
f(
x)
存在,则f(0)=0
x
0
x
x
0
x
C.若lim
f(x)
存在,则f'
(0)=0
D.若lim
f(x)
f(
x)
存在,则f'(0)=0
x
0
x
x
0
x
(5)设函数f(x)在(0,+
)上具有二阶导数,且f"(x)
o,令un=f(n)=1,2,..n,则下列结论正确的是(D)
A.若u1
u2,则{un}必收敛
B.若u1
u2,则{un}必发散
C.若u1
u2,则{un}必收敛
D.
若u1
u2,则{un}必发散
(6)设曲线L:
f(x,y)=1(f(x,y)
具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点
M和第Ⅳ象限内的点
N,T为L上
从点M到N的一段弧,则下列小于零的是
(B)
A.
(x,y)dx
B.
f(x,y)dy
C.
f(x,y)ds
D.
f'x(x,y)dx
f'y(x,y)dy
r
r
r
r
(7)设向量组
1
,
2,
3线形无关,则下列向量组线形相关的是:
(A)
(A)
1
2,
2
3,
3
1
(B)
1
2,
2
3,
3
1
(C)
1
2
2
2
3
2
1
(D)
1
2
2
2
2,
3
2
1
2
3
3
2
1
1
10
0
(8)设矩阵A=1
2
1,B=
0
10
1
12
0
0
0
则A于B,(B)
(A)合同,且相似(B)合同,但不相似
(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p0p1,则此人第4次射击恰好第
2次命中目标的概率为:
(C)
(A)3p(1
p)2
(B)6p(1p)2
(C)3p2(1
p)2
(D)6p2(1
p)2
(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密
度,则在Y=y
的条件下,X的条件概率密度
fX|Y(x|y)为
(A)
(A)fX(x)
(B)fY(y)
(C)fX(x)
fY(y)
fX(x)
(D)
fY(y)
二.填空题:
11-16小题,每小题
4分,共
24分,请将答案写在答题纸指定位置上。
2
1
1
1
1
(11)
x
3exdx=
2
e2.
1
(12)设f(u,v)为二元可微函数,
z
f(xy,yx),则
z=f1'(xy,yx)yxy1
yxlnyf2'(xy,yx).
x
(13)二阶常系数非齐次线性方程
y''
4y'
3y
2e2x的通解为y=C1ex
C2e3x
2e2x
.
(14)设曲面
:
|x|
|y|
|z|
1,则ò(x
|y|)ds=4
3
3
.
010
0
0
010
,则A3的秩为1.
(15)设矩阵A=
0
01
0
0
0
00
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于
1的概率为3
.
2
4
三、解答题:
17~24
小题,共
86分.请将解答写在答题纸指定的位置上
.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
(17)(本题满分11分)求函数f(x,y)
x2
2y2
x2y2在区域D
{(x,y)x2
y2
4,y0}
上的最大值和最小值。
【详解】:
求驻点
fx
2xy
2xy3
0
(1)
fy
4xy
2x3y
(x,y)(0,0)(f0)
0
或
(x,y)
(
2,1)(f
;
2)
(2)考察边界y0,此时最大值为4,最小值为0
考察边界
x
2
y
2
4,y
0
(3)
F(x,y)x2
2y2
x2y2
(x2
y2
4)
F
F
F
0
x
y
z
2x
2xy2
2
x
0
5,y2
3,
1
4y2x2
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- 考研 数学 一真题 解析