六年级奥数一至十讲课程教案.docx
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六年级奥数一至十讲课程教案
比较分数的大小01小学六年级奥数教案—同学们从一开始接触数学,就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单,而比较分数的大小就不那么简单了,因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数,有分母相同,分子相同以及分子、分母都不相同三种情况,其中前两种情况判别大小的方法是:
分母相同的两个分数,分子大的那个分数比较大;分子相同的两个分数,分母大的那个分数比较小。
第三种情况,即分子、分母都不同的两个分数,通常是采用通分的方法,使它们的分母相同,化为第一种情况,再比较大小。
由于要比较的分数千差万别,所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
“通分子”。
1.当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大,而分子的最小公倍数比较小时,可以把它们化成同分子的分数,再比较大小,这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”,那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
化为小数。
2.这种方法对任意的分数都适用,因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便,就要看具体情况了。
先约分,后比较。
3.有时已知分数不是最简分数,可以先约分。
根据倒数比较大小。
4.-1-
若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母(子)大的分数较大;若两个假分5.数的分子与分母的差相等,则分母(子)小的分数较大。
也就是说,借助第三个数进行比较。
有以下几种情况:
6.>k,k>m,若n和m)对于分数1(。
n>m,则nm)对于分数2(。
n>m,则n-k>m-k,若n和前一个差比较小,所以。
n<m,则k-n<k-m,若n和m)对于分数3(。
n>m小于原来的两个分数k)中借助的数2)的差别在于,(3)与(2注意,(;n和m。
n和m大于原来的两个分数k)中借助的数3(4()把两个已知分数的分母、分子分别相加,得到一个新分数。
新分数一定介于两个已知分数之间,即比其中一个分数大,比另一个分数小。
利用这一点,当两个已知分数不容易比较大小,新分数与其中一个已知分数容易比较大小时,就可以借助于这个新分数。
-2-
比较分数大小的方法还有很多,同学们可以在学习中不断发现总结,但无论哪种方法,均来源于:
“分母相同,分子大的分数大;分子相同,分母小的分数大”这一基本方法。
1练习比较下列各组分数的大小:
1.1练习答案与提示02小学六年级奥数教案—巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目,例如分子或分母加、减某数,或分子与分母同时加、减某数,或分子、分母分别加、减不同的数,得到一个新分数,求加、减的数,或求原来的分数。
这类题目变化很多,因此解法也不尽相同。
数。
-3-
就变成分子加、1分析:
若把这个分数的分子、分母调换位置,原题中的分母加、减1,这样就可以用例1减求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数,再求倒数即可。
个分数。
因为加上和减去的数不同,所以不能用求平均数的方法求解。
分析与解:
,这个分数是多少?
如果把这个分数的分子与分母调换位置,问题就变为:
分析与解:
这个分数是多少?
类似,可以求出3于是与例-4-
中,两次改变的都是分子,或都是分母,如果分子、分母同时变化,4~例1在例那么会怎样呢?
。
a数分析与解:
。
29+43=72等于分子与分母之和不变,(约分前),a分母加上,a分子减去,所以分子、分母约掉3+5=8约分后的分子与分母之和变为。
45-43=2求这个自然数。
,新分数约分后变45同一个自然数,得到的新分数如果不约分,那么差还是,分母增加23一个分数的分子与分母之和是7例后得到一个新分数,19得到6=7÷42,是由新分数的分子、分母同时除以1+5=6分子与分母的和是-5-
(倍),为保持分数的大小不变,5=2÷10,等于分子增加了10分子加分析与解:
分母也应增加相同的倍数,所以分母应加。
2=16×8中,分母应加的数是8在例中,分子应加的数是9在例这类分数问题的公式:
9、例8由此,我们得到解答例分子应加(减)的数分母所加(减)的数×原分数;=分子所加(减)的数÷原分数。
=分母应加(减)的数这道题的分子、分母分别加、减不同的数,可以说是这类题中最难的,分析与解:
我们用设未知数列方程的方法解答。
)×2x+2(,4)×x+5(3=,6x+6=4x+20,2x=14。
x=72练习-6-
是多少?
2练习答案与提示。
12=5×a=53-4,(4+7)=12÷(53+79)。
解:
5.5。
5-22=13×7,=5)16-7)÷(67-22。
解:
(6.13-7-
,根据分母可列方程x解:
设分子为分数运算技巧03小学六年级奥数教案—对于分数的混合运算,除了掌握常规的四则运算法则外,还应该掌握一些特殊的运算技巧,才能提高运算速度,解答较难的问题。
凑整法1.与整数运算中的“凑整法”相同,在分数运算中,充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律),使部分的和、差、积、商成为整数、整十数„„从而使运算得到简化。
-8-
约分法2.裂项法3.若能将每个分数都分解成两个分数之差,并且使中间的分数相互抵消,则能大大简化运算。
中找出100~1在自然数7例。
1个数的倒数的和等于10个不同的数,使这10,而分母不同的1个分子为10这道题看上去比较复杂,要求分析与解:
-9-
就非常简单了。
,于是做成:
1个数的倒数和为10括号。
此题要求的是6,2个数是10所求的。
10,90,72,56,42,30,20,12,,仍是符合题意的解。
30和10的代数法4.分组法5.的分数之n利用加法交换律和结合律,先将同分母的分数相加。
分母为分析与解:
和为-10-
的分数之和依次为20~2原式中分母为3练习在自然数8.。
1个数的倒数之和等于8个不同的数,使这8中找出60~13练习答案与提示。
1.3-11-
。
56,42,30,20,12,8,6,8.29.5680。
3的有4个,等于2的有3个,等于1的有2解:
从前向后,分子与分母之和等于的有9+99=108个。
分子与分母之和小于(n-1)的有n个人„„一般地,分子与分母之和等于1+2+3+(个),+106=5671„(个)。
5671+9=5680工程问题一05小学六年级奥数教案—顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实,这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。
-12-
在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是:
工作效率×工作时间,=工作量工作量÷工作效率,=工作时间工作量÷工作时间。
=工作效率表示,也可1工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数工作效率指的是干工作的快慢,其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、分、秒等。
时”等。
但/天”,或“工作量/工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。
50天完成。
甲、乙两队合干150天完成,乙队需100单独干某项工程,甲队需1例天后,剩下的工程乙队干还需多少天?
天,甲的工作效100。
甲队单独干需1以全部工程量为单位分析与解:
45天完成,乙单独做需36某项工程,甲单独做需2例天完成。
如果开工时甲、乙天才完成任务。
问:
甲队干了多18两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了少天?
天,后面的工作甲、乙两队合干18将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干分析:
需多少天?
”这样一来,问题就简单多了。
天。
12答:
甲队干了-13-
天。
开始三个队一20天,丙队需15天,乙队需10单独完成某工程,甲队需3例天完成这一工程。
问:
甲队实际工作了6起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了几天?
天的工作量,剩下6天,去掉乙、丙两队6乙、丙两队自始至终工作了分析与解:
的是甲队干的,所以甲队实际工作了时完成。
如果两人同时做,30时完成,王师傅独做20一批零件,张师傅独做4例个零件。
这批零件共有多少个?
60那么完成任务时张师傅比王师傅多做这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间,分析与解:
时可将空池灌满,单开排5一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管5例时后又打开排水管,那么再过1时可将满池水排完。
如果一开始是空池,打开放水管7水管多长时间池内将积有半池水?
分钟。
40乙需分钟,60走完全程甲需相向而行。
乙二人同时从两地出发,甲、6例分钟。
甲再出发后多长时间5分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了5出发后两人相遇?
这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间、分析:
路程、速度三者的关系来解答。
甲出发5分钟,再加上取东西的10分钟后返回,路上耽误5分钟,乙需60分钟。
我们将题目改述一下:
完成一件工作,甲需15分钟,等于比乙晚出发分钟后,甲、乙合干还需多少时间?
由此看出,这道题应该用工程问题15分钟,乙先干40的解法来解答。
分钟两人相遇。
15答:
甲再出发后-14-
5练习天完成,他们合干多少天才可完成工程15天完成,乙单独干10某工程甲单独干1.的一半?
48某工程甲队单独做需2.天后转交给乙队6天。
甲队先干了36天,乙队单独做需天,将工程做完。
求乙队在中间单独工作的天数。
10干,后来甲队重新回来与乙队一起干了天后,剩下的乙队单独又12天完工。
现在合挖30一条水渠,甲、乙两队合挖需3.天挖完。
这条水渠由甲队单独挖需多少天?
24挖了棵。
这批树共有多少棵?
50则完成任务时乙比甲多植40修一段公路,甲队独做要用5.天。
现在两队同时从两端开24天,乙队独做要用米处相遇。
这段公路长多少米?
750工,结果在距中点时注满。
如24时注满,单开乙管需18蓄水池有甲、乙两个进水管,单开甲管需6.12果要求时注满水池,那么甲、乙两管至少要合开多长时间?
时,比快车从8两列火车从甲、乙两地相向而行,慢车从甲地到乙地需7.千米。
求甲、乙两地的距离。
40答案与提示5练习天。
2.143.120天。
棵。
4.350米。
5.6000-15-
时。
6.8时都开着,乙管开12提示:
甲管千米。
7.280工程问题二06小学六年级奥数教案—上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。
在较复杂的工程问题中,工作效率往往隐藏在题目条件里,这时,只要我们灵活运用基本的分析方法,问题也不难解决。
天,20天可完成;如果甲先做20天,那么乙接着做5一项工程,如果甲先做1例天可完成。
如果甲、乙合做,那么多少天可以完成?
8那么乙接着做本题没有直接给出工作效率,为了求出甲、乙的工作效率,我们先画出示意分析与解:
图:
从上图可直观地看出:
甲天的工作5天的工作量相等,即甲12天的工作量和乙15天”这一条件,5天”等量替换题中“甲工作4天的工作量。
于是可用“乙工作4量等于乙(天)20+4=24通过此替换可知乙单独做这一工程需用-16-
甲、乙合做这一工程,需用的时间为天,然后7天完成,现在乙队先做6一项工程,甲、乙两队合作需2例么还要几天才能完成?
题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率,只知道他们合作分析与解:
4天”的过程转化为“甲、乙合做4天,甲再做7们把“乙先做天,乙再单独天完成,乙则要超过规定时间2单独完成一件工作,甲按规定时间可提前3例天3天后,剩下的继续由乙单独做,那么刚好在规定时间完成。
2才能完成。
如果甲、乙二人合做问:
甲、乙二人合做需多少天完成?
天后乙继续做,刚好按时完成,说2天,甲、乙合做3乙单独做要超过分析与解:
明甲做天,即完成这件工作,乙需要的时间是甲的3天等于乙做2(天)。
甲、乙合作需要10+5=15,乙需要分钟可以完成;若同20号阀门,则3,2,1放满一个水池的水,若同时打开4例,3,2时打开分钟可以28号阀门,则4,3,1分钟可以完成;若同时打开21号阀门,则42,1完成;若同时打开号4,3,2,1分钟可以完成。
问:
如果同时打开30号阀门,则4,阀门,那么多少分钟可以完成?
-17-
分钟,1号阀门4,3,2分钟,再同时打开1号阀门3,2,1同时打开分析与解:
1分钟,再同时打开1号阀门4,3,1再同时打开4,3,2,1分钟,这时,1号阀门4,2,分钟,放水量等于一3号阀门各打开了天完成;由二、三、四小队合干,需要8某工程由一、二、三小队合干,需要5例10„„四、三、二、一、四、三、二、如果按一、天完成。
15需四小队合干,由一、天完成;的顺序,每个小队干一天地轮流干,那么工程由哪个队最后完成?
类似,可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是4与例分析与解:
6例甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做,恰好整天做完,并且结束工作的是乙。
若按乙、丙、甲的顺序轮流件工作,要用多少天才能完成?
把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。
在一轮中,无论谁先谁后,完分析与解:
成的总工作量都相同。
所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同(见下图虚线左边),相差的就是最后一轮(见下图虚线右边)。
由最后一轮完成的工作量相同,得到-18-
6练习甲、乙二人同时开始加工一批零件,每人加工零件总数的一半。
甲完成1.有多少个?
需的时间相等。
问:
甲、乙单独做各需多少天?
时李师傅再做6王师傅先做加工一批零件,3.时李师傅8王师傅先做时可完成,12时,剩下的两人合做,还需要多少小时?
2时也可完成。
现在王师傅先做9再做独修各需几天?
,12,10蓄水池有甲、乙、丙三个进水管,甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要5.时。
上午15点水池被灌满。
问:
甲2点三个管同时打开,中间甲管因故关闭,结果到下午8管在何时被关闭?
时。
如果按照甲、乙、甲、乙、„„的顺12时,乙需9单独完成某项工作,甲需6.时,那么完成这项工作需要多长时间?
1序轮流工作,每次天完成。
如果第一天甲干,第二天乙干,这样交替轮流17一项工程,乙单独干要7.干,那么恰好用整天数完成;如果第一天乙干,第二天甲干,这样交替轮流干,那么比上次轮流的做法多用半天完工。
问:
甲单独干需要几天?
答案与提示6练习个。
1.360天。
12天,乙18甲2.-19-
时。
3.7.22÷12+6时,所以单独干李需3时等于李干2解:
由下页图知,王干(时),3=21×(时)。
所求为2=14×3÷21王需时。
9上午5.分。
15时6.10-20-
天。
7.8.5解:
如果两人轮流做完的天数是偶数,那么不论甲先还是乙先,两种轮流做的方式完成的天数必定相同(见左下图)。
甲甲乙甲乙„„甲乙甲乙甲乙„„甲乙现在乙先比甲先要多用半天,所以甲先时,完成的天数一定是奇数,于是得到右上1图,其中虚线左边的工作量相同,右边的工作量也相同,说明乙做天等于甲做半天,所以天。
8.5天等于甲做17乙做”1巧用单位“07小学六年级奥数教案—”。
在许多分数应用题中,都会遇到1在工程问题中,我们往往设工作总量为单位“”的问题,根据题目条件正确使用单位“1单位“”,能使解答的思路更清晰,方法更简捷。
1分析:
因为第一天、第二天都是与全书比较,所以应以全书的页数为单位页。
240答:
这本故事书共有”的量在变化,依次是“全书的页数”、“第一天看1本题条件中单位“分析与解:
”。
按照常规思路,1个不同的单位“3“第二天看后余下的页数”,出现了后余下的页数”、”反而更方便。
我们先把全书1”,转化分率。
但在本题中,不统一单位“1需要统一单位“”,1看成“-21-
”,就可以求出第三天看后余下的部分占全书的1看成“共有多少本图书?
故事书增加了,图书的总数随之增加。
题中出现两个分率,分析与解:
”的一个窍门就是抓“不变1”。
统一单位“1这给计算带来很多不便,需要统一单位“1量”为单位“”。
本题中故事书、图书总数都发生了变化,而其它书的本数没有变,可以以图书室原来共有图书类似,甲、乙组人数都发生了变化,不变量是甲、乙组的总人数,3与例分析与解:
”。
1所以以甲、乙组的总人数为单位“-22-
例在某一时刻,小轿车在后。
货车在中,客车在前,公路上同向行驶着三辆汽车,5分钟,小轿车5分钟,小轿车追上了货车;又过了10货车与客车、小轿车的距离相等;走了追上了客车,再过多少分钟,货车追上客车?
根据“在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离相等”,设这段距离为分析与解:
分钟,小轿车追上了货车”,可知小轿10”。
由“走了1单位“分钟比客车多行了两个这样的距离,每分钟多行这段距离的(10+5)可知小轿车两班各有多少人?
(人)。
84-48=36乙班有7练习-23-
树上原有多少个桃?
筐。
共收西红柿多少千克?
6剩下的部分收完后刚好又装满39人,其中女生有94六年级两个班共有学生7.人,已知一班的女生占本7练习答案与提示个。
1.35个。
2.60吨。
3.64-24-
千克。
4.384人。
21人,女生15男生6.人。
49人,二班45一班7.比和比例08小学六年级奥数教案—比的概念是借助于除法的概念建立的。
÷5两个数相除叫做两个数的比。
例如,。
6∶5可记作6比值。
7=9∶3表示两个比相等的式子叫做比例(式)。
如,。
判断两个比是否成比例,21∶就要看它们的比值是否相等。
两个比的比值相等,这两个比能组成比例,否则不能组成比例。
a,那么d∶b=c∶a在任意一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积。
即:
如果d=b×。
c×。
连比中的“∶”c∶b∶a两个数的比叫做单比,两个以上的数的比叫做连比。
例如不能用“÷”代替,不能把连比看成连除。
把两个比化为连比,关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项,方法是把这两项化成它们的最小公倍数。
例如,,3∶=4,乙∶丙6∶=5甲∶乙-25-
,所以4]=12,[6因为,9∶3=12∶4,12∶6=10∶5得到甲∶乙∶丙。
9∶12∶=10。
x,求9∶(x-1)=7∶3已知1例7解:
,9×(x-1)=3×,7÷9×x-1=3人。
求44名女生后,全班共有4,又来了2∶3六年级一班的男、女生比例为2例现在的男、女生人数之比。
(人),由男、女生人数之比为44-4=40原来共有学生分析与解:
知,如果将2∶3份。
由此求出2份,女生占3份,那么男生占5人数分为∶24(人),男生人数不变,现在男、女生人数之比为16+4=20人变为4女生增加5∶20=6。
中,我们用到了按比例分配的方法。
2在例将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。
按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配,把比的各项相加得到总份数,各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率,由此可求得各个分量。
,现在要配制这12∶2∶1硫磺粉和水的重量比是配制一种农药,其中生石灰、3例2700种农药千克,求各种原料分别需要多少千克。
,1+2+12=15,总份数是12∶2∶1千克,各分量的比是2700总量是分析:
,180答:
生石灰、硫磺粉、水分别需要千克。
2160和360中,总3在按比例分配的问题中,也可以先求出每份的量,再求出各个分量。
如例(千克),然后用每份的量分别乘以各分量的15=180÷2700,每份的量是1+2+12=15份数是,就可以求出各个分量。
12,2,1千克分别乘以180份数,即用-26-
分钟,徒弟加工一个零件9个,师傅加工一个零件用400师徒二人共加工零件4例分钟。
完成任务时,师傅比徒弟多加工多少个零件?
15用解法很多,这里只用按比例分配做。
师傅与徒弟的工作效率分析与解:
有多少学生?
按比例分配得到6例元,小15元,小客车30某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是:
大客车∶4小客车与小轿车之比是,6∶5某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是元。
10轿车210,收取小轿车的通行费比大客车多11元。
求这天这三种车辆通过的数量。
6中的6∶5大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比,如果能将分析与解:
[4统一成4中的11∶4与,就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。
6]=12,,得到33∶11=12∶4和12∶6=10∶5由。
33∶12∶=10大客车∶小客车∶小轿车33辆小客车、12辆大客车、10以辆小轿车为一组。
因为每组中收取小轿车的通行(组)。
这天30=7÷210(元),所以这天通过的车辆共有10=30×33-30×10费比大客车多通过-27-
(辆),7=70×=10大客车(辆),7=84×=12小客车(辆)。
7=231×=33小轿车8练习米,求这块地的面积。
96,周长是3∶5一块长方形的地,长和宽的比是1.。
问:
分米450,体积是4∶5,宽与高的比是3∶4一个长方体,长与宽的比是2.3长方体的长、宽、高各多少厘米?
3.;5∶3那么小明与小强的钱数之比是如果小明买了这把小刀,元。
6一把小刀售价。
问:
两人原来共有多少钱?
11∶9如果小强买了这把小刀,那么小明与小强的钱数之比是只,乙每取走4只乙就取走5只贝壳,甲每取走138甲、乙、丙三人分5.只丙就5只。
问:
最后三人各分到多少只贝壳?
6取走∶2∶1各段路程的长度之比是下坡三段,平路、分成上坡、千米,60一条路全长6.千米5。
已知他走平路的速度是5∶4∶3,某人走各段路程所用的时间之比是3时,他走完/全程用多少时间?
,分为甲、乙、丙三组,甲、乙、丙三组2∶3某俱乐部男、女会员的人数之比是7.,乙组中男、女会员的人1∶3。
如果甲组中男、女会员的人数之比是7∶8∶10的人数之比是,那么丙组中男、女会员的人数之比是多少?
3∶5数之比是答案与提示8练习。
米1.5402厘米。
60厘米,高75厘米,宽100长2.15∶=20解:
长∶宽∶高,12∶。
12)=125=5×15×(20÷45
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