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概率初步全章教案讲解
九年级数学上册第二十五章概率初步单元解读
一、教材分析
1、本单元数学的主要内容
本章在小学了解了随机现象发生的可能性基础上,进一步学习事件的概率,主要内容包括:
随机事件和概率的有关概念,用列举法(包括列表法和画树形图法)求简单随机试验中事件的概率,利用频率估计概率。
2、知识结构图
本章知识结构框图如下:
3、教材的地位及作用
本章内容共分四节:
概念、用列举法求概念、利用频率估计概率、课题学习,其中第一节安排了随机事件的知识及概率的定义,第二、三节主要介绍两种求简单问题的概率的方法,最后一节是相关课题学习,主要是针对本章内容的学习、体会概率的意义及其在实践中的作用。
4、教学重难点
教学重点:
1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的概率。
2.熟练掌握、用列举法计算概念。
3.理解某些事件的概率要用频率来估计。
教学难点:
相关事件的概率。
二、教学目标
1、了解必然事件、不可能事件和随机事件的概念。
2、在具体情境中了解概率的意义,体会概率是描述不确定现象发生可能性大小的数学概念,理解概率的取值范围的意义。
3、能够运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单随机试验中事件发生的概率。
4、能够通过随机试验,获得事件发生的频率;知道通过大量重复试验,可以用频率估计概率,了解频率及概率的区别及联系。
5、通过实例进一步丰富对概率的认识,并能解决一些简单的实际问题。
三、教材编写特点和教学建议
1.重视随机观念的培养
在现实世界中,有许多现象我们是可以事先预言其结果的,如下雨必有云;同性电荷相斥;因为
,所以
;等等。
以上事实的反面则不会出现,如下雨而无云;同性电荷相吸;
,而
;等等。
这种在一定条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象。
确定性现象的特点是:
当条件给定时,其结果可以事先确切地预言或推算。
一般地说,代数、几何中研究的大量问题都具有确定性。
然而,在现实世界中还存在着许多现象,我们无法事先断定其结果。
例如,向上抛出一枚硬币,落地时其结果是“正面向上”,还是“反面向上”?
事先是无法准确断言的。
某一路段,在一定时间段内有多少车辆通过,也是无法事先断定的。
这类事件很多。
它们的共同特点是:
在相同的条件下,重复同一试验(或观察)时,会得到不同的结果,就一次或少数几次试验来看,其发生及否是不确定的,这种事件就是随机事件。
但当大量重复试验(或观察)时,事件发生的可能性就整体来说呈现出一定的规律。
例如,将上述的抛硬币试验大量重复时,就可以发现“正面朝上”或“反面朝上”的频率大致相等。
这种大量重复试验(或观察)时所呈现出的集体规律性,称为统计规律。
这类在个别试验中呈现出不确定性,而在大量重复试验中,又具有某种统计规律的现象,就是研究随机现象时要讨论的问题。
随机观念的培养是第三学段统计及概率学习的一项重要内容。
在统计中,可以通过抽样体会样本及估计结果的随机性。
在概率中,一方面可以列举大量实际例子,通过让学生判断是不是随机现象感受随机性;另一方面,在验证频率及概率之间关系的试验中,除了揭示大量重复试验中频率具有稳定性,还要让学生体会频率的随机性。
2.加强概率意义的理解
在前两个学段,学生对事件发生的可能性大小已经有了初步的认识,但只限于定性的描述。
在本章将学习从定量的角度去刻画随机事件发生可能性大小的概念——概率。
对于结果个数有限且每个结果等可能的随机试验,教科书是从比值的角度给出概率的定义。
由签的无差别和骰子的对称性,以及试验的随机性,得出每个试验中各个结果出现的可能性大小相同,进而用每个试验结果占其全部可能结果总数的比值
和
表示出现的可能性大小。
学生对这种概率的古典定义比较容易接受,但也容易把对概率的理解等同比值,造成对其意义缺乏认识。
为此,教科书第25.3节“用频率估计概率”中一开始,针对掷硬币正反面的概率都是0.5,通过设问“这是否意味着抛掷硬币100次时,就会有50次‘正面向上’和‘反面向上’呢?
”引起学生对概率意义的思考。
通过试验和分析,引导学生从频率的角度进一步理解概率的意义,认识到概率是针对大量重复试验而言的,大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中一定存在。
从而使学生形成对概率意义的正确认识,进而纠正类似“中奖概率为0.001,只要抽1000次,就肯定能中1次奖”的错误认识。
3.紧密联系实际
概率问题是日常生活中经常碰到的问题,人们都在自觉或不自觉地应用概率的思想。
这部分内容及实际联系比较紧密。
在教科书编写时,也充分注意到这一点。
例如,在引入随机事件的概念时,用的是抽签和掷骰子试验,这个是实际生活中用随机性来解决公平性问题的常见方法;在用列举法求概率中,转盘指针落在某个区域的概率,“扫雷”游戏中如何提高准确率等,都是实际生活中的例子;在“阅读及思考概率及中奖”中,用概率的知识解释生活中奖券中奖问题;在频率估计概率中,问题1和问题2都是应用概率知识帮助决策的问题;等等。
教科书的例、习题中也有很多类似“掷硬币决定哪队先开球”“估计鱼塘中鱼的条数”等实际应用的例子。
这些材料都是从实际中提炼出来的,要通过这些知识的教学,帮助学生从实际生活中发现概率问题、运用所学知识解决实际问题。
四、几个值得关注的问题
1.正确理解概率及频率的联系及区别
初学概率的学生容易混淆概率及频率两个概念,更不容易理解两者的联系及区别。
相同条件下,某一事件发生的概率是一个常数,是由事物固有的属性决定的。
而相同条件下进行随机试验,即使是相同次数的重复试验,某一事件的频率也不一定相同,也即频率具有随机性。
但随着试验次数的增加,一般来说频率会越来越稳定于某个常数附近,这个数就是概率。
之所以说一般,是因为对任何给定的次数,频率都存在偏离概率较远的可能,只是随着试验次数的增多,这种可能性会越来越小,以至于当试验数次无穷大时,偏离的概率为0。
也就是说用频率估计出来的概率有时是不精确的,会有误差,甚至出现较大误差的情况,这是由于频率的随机性造成的。
我们只要增加试验次数,可以使出现较大误差的概率降低。
2.鼓励学生动手试验,注意现代信息技术的应用
为了让学生通过具体的试验操作获得一定的活动经验,体会随机试验中频率的随机性以及大量重复试验中频率的稳定性,进而加强对概率意义的理解,教科书在25.3节设置了一个投掷硬币的试验,为学生提供一个体验随机试验的机会。
由于在这个试验中需要获得的投掷次数相对较多,因此这里需要发动全体学生积极参及,动手试验,靠集体的力量快速地获得试验频率。
在学习用频率估计概率这部分内容时,一方面要鼓励学生亲自动手,集体合作,这主要是针对一些比较简单的试验,比如说投币试验、图钉试验等;另一方面也鼓励学生采用模拟方法进行试验,特别是利用计算机或计算器进行模拟试验。
我们知道,为了提高频率估计概率精度,需要进行大量的重复试验,这样的试验是极其费时费力的,因此应该鼓励学生使用现代信息技术。
比如“实验及探究
的估计”,教材中采用撒米的方法,这是考虑了全国不同地区差异,其实用计算器或计算机产生随机数的方法进行模拟,估计效果更好,而且也更方便、更快捷。
通过模拟试验,学生既可以感受到概率知识广泛的应用性,而且也有利于学生进一步理解概率的意义。
3.注意把握教学难度
必须注意的是,本学段的概率内容还处在一个比较初级的水平,教学重点是概率意义的理解和随机观念的培养。
用列举法求概率,应该重视学生对古典模型两个前提条件的理解,不应在计算繁难上作高要求。
理论上讲,只要试验的结果数有限,用列举法可以列举出所有的结果,但过大的结果数,除了增加列举的难度,对学生理解概率的意义没有什么帮助。
另外,学生求概率的方法仅限于列举法(包括列表法和画树形图法)或用频率估计概率,不要对学生作额外的知识要求(如概率乘法等有关知识)。
教师在教学中要注意把握重点,控制难度。
4.强调结合实际,选取及生活密切联系的素材
概率及现实生活的联系越来越紧密,这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的。
本套教科书编写时特别注意将概率的学习及实际问题紧密结合,选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子,在解决这些实际问题的过程中学习计算概率的方法、理解概率的意义。
尽管如此,教学时还需要结合当地的实际情况,挖掘身边的一些素材,使学生在解决实际问题的过程中,体会到概率及实际生活的密切联系,调动学生学习概率知识的积极性。
五、单元学习内容及课时安排
从《义务教育数学课程标准(2011年版)》看,本章属于“统计及概率”的课程内容。
对于该课程的内容,本套教科书采用统计和概率分开编排的方式,共安排了三章:
前两章是统计,最后一章是概率。
之所以这样编排,一方面,概率及统计相对独立;另一方面,概率一定程度上又以统计为依托。
本章教学时间约需9课时,具体分配如下(仅供参考):
25.1随机事件及概率3课时
25.2用列举法求概率2课时
25.3用频率估计概率2课时
数学活动
小结2课时
25.1.1随机事件1
一、教材分析
从小学至今学生所学到的数学问题其结果往往都是确定的,而从本节课开始就要接触一些结果不确定的情况——随机事件.它不但是概率论的基础,还直接地反映了数学来源于生活,而又反过来服务于生活的新课程理念。
因此,学好它,不但能解决生活中的一些实际问题,也为今后学习较复杂的概率问题奠定了坚实的基础,起着承上启下的作用,同时它还是学生今后学习、工作及生活必备的数学素养。
二、学情分析
三、教学目标
(一)、知识及技能:
通过对生活中各种事件的判断,归纳出必然事件、不可能事件和
随机事件的特点,并根据这些特点对有关事件作出准确判断。
(二)、过程及方法:
历经实验操作、观察、思考和总结,归纳出三种事件的各自的本
质属性,并抽象成数学概念。
(三)、情感态度及价值观:
体验从事物的表象到本质的探究过程,感受到数学的科学
性及生活中丰富的数学现象。
四、教学重点:
随机事件的特点
五、教学难点:
对生活中的随机事件作出准确判断
六、教学方法:
自学辅导法小组合作探究研讨法
七、教学过程:
(一)创设情境,导入新课
1、播放一段中央气象台的天气预报。
“天有不测风云”,这句话被引申为世界上有很多事情具有偶然性,人们不能事先判定这些事情是否会发生?
但是随着人们对事件发生可能性的深入研究,人们发现许多偶然事件的发生也是有规律可循的。
2、下列现象哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的?
⑴将一小勺白糖放入一杯温水中,并用筷子不断搅拌,白糖溶解;
⑵测量某天的最低气温,结果为—150℃;
⑶物体在重力作用下自由下落;
⑷两个正实数相加(在运算正确的前提下),结果是负实数。
⑸明天,地球还会转动。
⑹煮熟的鸭子飞了。
(二)尝试指导,讲授新课
1、问题一:
5名同学参加讲演比赛,以抽签方式决定每个人的出场顺序,签筒中有5根形状、大小相同的纸签,上面分别标有出场序号1,2,3,4,5。
小军首先抽签,他在看不到签上的数字的情况下从签筒中随机(任意)地取一根纸签,考虑以下问题:
①抽到的序号有几种可能的结果?
②抽到的序号小于6吗?
③抽到的序号会是0吗?
④抽到的序号会是1吗?
问题二:
小伟掷一个质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,请考虑以下问题:
掷一次骰子,在骰子向上的一面上,
①可能出现哪些点数?
②出现的点数大于0吗?
③出现的点数会是7吗?
④出现的点数会是4吗?
2、分组讨论:
问题:
上面两个问题中的第④题的结果有什么共同特点?
3、教师给出随机事件的定义。
在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件。
(三)试探练习,回授调节
1.做一做
在某次国际乒乓球单打比赛中,我国运动员张怡宁、王楠经过奋力拼搏,一路过关斩将,会师最后决赛,那么,在比赛开始前,你能确定该项比赛的
(1)冠军属于中国吗?
(必然事件)
(2)冠军属于外国选手吗?
(不可能事件)
(3)冠军属于王楠吗?
(随机事件)
2.相信你会很快完成
下列事件中,哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的,哪些是随机事件。
(1)通常加热到100℃时,水沸腾;
(2)篮球队员在罚线上投篮一次,未投中;
(3)掷一枚骰子,向上的一面是6点;
(4)度量三角形的内角和,结果是360°;
(5)经过城市中某一有交通信号灯的路口,遇到红灯;
(6)某射击运动员射击一次,命中靶心。
(四)归纳小结,布置作业
1、本节课我们学习了什么知识?
2、谈一谈你有哪些收获?
(作业:
教科书第134页习题25.1第1题。
)
二、板书设计:
25.1.1随机事件
在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件。
九、教学反思:
25.1.1随机事件2
一、教材分析
本节内容学生了解自然和社会现象中的必然事件、不可能事件和随机事件,并用枚举、实验等方法逐步形成对随机事件发生可能性大小的初步认识,是一节“概率”的起始课,它为以后系统学习概率奠定了基础,同时学生学会怎样用观察的方法去认识身边的随机现象,应用随机事件等知识去分析、解决身边的问题,提高自身数学素养和应用数学的能力
二、学情分析
三、教学目标
(一)、知识及技能:
通过“摸球”这样一个有趣的试验,形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力,了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。
(二)、过程及方法:
历经“猜测?
动手操作?
收集数据?
数据处理?
验证结果”,及时发现问题,解决问题,总结出随机事件发生的可能性大小的特点以及影响随机事件发生的可能性大小的客观条件。
(三)、情感态度及价值观:
在试验过程中,感受合作学习的乐趣,养成合作学习的良好习惯;得出随机事件发生的可能性大小的准确结论。
需经过大量重复的试验,让学生从中体验到科学的探究态度。
四、教学重点:
对随机事件发生的可能性大小的定性分析
五、教学难点:
理解大量重复试验的必要性
六、教学方法:
自主探索 观察发现 合作交流 对比归纳
七、教学过程:
(一)创设情境,引入课题
摸球试验:
袋中装有4个黑球,2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出一个球。
⑴这个球是白球还是黑球?
⑵如果两种球都有可能被摸出,那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗?
(二)动手试验、收集数据,验证结果
为了验证学生的想法,老师让几名学生随机地从袋子中摸出一个球,记下球的颜色,然后把球重新放回袋子里,汇总同学们摸彩球的结果,并把结果填在下表中。
球的颜色
黑球
白球
摸取次数
比较表中记录数字的大小,结果及你原先的判断一致吗?
(三)试探练习,回授调节数据分析,得出结论
在上面的摸球活动中,“摸出黑球”和“摸出白球”是两个随机事件,但由于两种球的数量不一样多,所以实际上“摸出黑球”及“摸出白球”的可能性的大小是不一样的,“摸出黑球”的可能性大于“摸出白球”的可能性。
结论:
随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性有可能不同。
思考:
在上面的问题中,能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量,使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同?
(四)尝试指导,讲授新课
1、一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球,其中4个白球,2个红球,3个黑球,其它都是黄球,从中任摸一个,摸中哪种球的可能性最大?
2、已知地球表面陆地面积及海洋面积的比均为3:
7。
如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,“落在海洋里”及“落在陆地上”哪个可能性更大?
3、选择题:
⑴从一副扑克牌中,任意抽取一张,抽到的可能性最小的是()
A:
黑桃B:
红桃C:
梅花D:
小王
⑵小红花2元钱买了一张彩票,你认为小红中大奖的可能性()
A:
一定B:
很可能C:
可能D:
不大可能
(五)归纳小结,布置作业
通过今天的学习,你有哪些收获?
作业:
习题25.1第2、6题。
三、板书设计:
25.1.1随机事件
球的颜色
黑球
白球
摸取次数
九、教学反思:
25.1.2概率
四、教材分析
本节内容是在学生已经学习了必然事件、随机事件、不可能事件等知识的基础上,从上节课所讲的三种事件出发,以探索随机事件发生的可能的大小为目标,并为学生后面学习用列举法求概率及用频率估计概率奠定了基础。
但对于概率的理解,学生可能会产生一定的困难,所以教学中应予以简单明白,深入浅出的分析。
五、学情分析
六、教学目标
(一)、知识及技能:
1.理解什么是随机事件的概率,认识概率是反映随机事件发生可能性大小的量。
2.理解“事件A发生的概率是P(A)=(在一次试验中有n种等可能的结果,其中事件A包含m种)”的求概率的方法,并能求出简单问题的概率。
(二)、过程及方法:
历经实验操作、观察、思考和总结,理解随机事件的概率的定义,掌握概率求法.
(三)、情感态度及价值观:
理解概率意义,渗透辩证思想,感受数学现实生活的联系,体会数学在现实生活中的应用价值.
四、教学重点:
随机事件的概率的定义;“事件A发生的概率是P(A)=(在一次试验中有n种等可能的结果,其中事件A包含m种)”求概率的方法及运用.
五、教学难点:
理解P(A)=
并运用
六、教学方法:
自学、议论、启发、引导教学法
七、教学过程:
(一)基本训练,巩固旧知
我们前面学过哪些事件?
1、必然事件:
在一定条件下,必然会发生的事件;
2、不可能事件:
必然不会发生的事件;
3、随机事件:
可能会发生,也可能不发生的事件.也叫不确定性事件。
(二)创设情境,导入新课
通过现实生活中的随机事件让大家感受随机事件发生的可能性的大小。
在同样的条件下,随机事件可能发生也可能不发生,至于它发生的可能性是多大?
能否用数值来刻画?
这节课来讨论.
1、概率定义
一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A).
2、探讨概率求法
实验1:
掷一枚硬币,落地后
(1)会出现几种可能的结果?
(2)正面朝上及反面朝上的可能性会相等吗?
(3)试猜想:
正面朝上的可能性有多大呢?
实验2:
抛掷一个质地均匀的骰子
(1)它落地时向上的点数有几种可能的结果
(2)各点数出现的可能性会相等吗?
(3)试猜想:
你能用一个数值来说明各点数出现的可能性大小吗?
实验3:
从分别标有1,2,3,4,5的5根纸签中随机抽取一根
(1)抽取的结果会出现几种可能?
(2)每根纸签抽到的可能性会相等吗?
(3)试猜想:
你能用一个数值来说明每根纸签被抽到的可能性大小吗?
分析:
回顾上述掷骰子试验,有以下特点:
(1)每一次试验中可能出现的结果只有有限个;
(2)每一次试验中,各种结果出现的可能性相等.
具有这些特点的试验称为古典概率.在这些试验中出现的事件为等可能事件。
对于具有上述特点的试验,可以从事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比,分析出事件发生的概率.即“点数是1”这个事件包含一种可能结果,在全部6种可能结果中所占的比为
.因此,一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=
,由m和n的含义可知0≤m≤n,进而0≤
≤1,∴0≤P(A)≤1。
实验3:
从分别标有1,2,3,4,5的5根纸签中随机抽取一根
(4)你能用一个数值来说明抽到标有1的可能性大小吗?
抽出的签上号码有5种可能,即1,2,3,4,5。
标有1的只是其中的一种,所以标有1的概率就为1/5
(5)你能用一个数值来说明抽到标有偶数号的可能性大小吗?
抽出的签上号码有5种可能,即1,2,3,4,5。
标有偶数号的有2,4两种可能,所以标有偶数号的概率就为2/5
(三)应用
1、摸一球摸到红球的概率
P(摸一球到红球)=
其中3是摸到红球可能出现的结果,4是摸出一球所有可能出现的结果数。
2、盒子中装有只有颜色不同的3个黑棋子和2个白棋子,从中摸出一棋子,是黑棋子的可能性是多少?
P(摸到黑棋子)=
3、试分析:
“从一堆牌中任意抽一张抽到红牌”这一事件是什么事件,能不能求出概率?
必然事件、不可能事件、不确定事件。
结合今天学习的概率的知识,你能得到哪些重要结论?
(1)必然事件发生的概率为1,
(2)不可能事件发生的概率为0,
(3)如果A为不确定事件,那么0<P(A)<1。
例1:
掷一个骰子,观察向上的一面的点数,求下列事件的概率:
(1)点数为2;
(2)点数为奇数;
(3)点数大于2且小于5。
分析:
因为掷一个骰子向上的一面的点数可能为1、2、3、4、5、6,共6种,这些点数出现的可能性相等,所以可用P(A)=
来求解。
思考:
(1)、
(2)、(3)掷到哪个的可能性大一点?
易知:
事件发生的可能性越大,它的概率越接近1,事件发生的可
能性越小,它的概率越接近0.
例2:
如图所示,有一个转盘,转盘分成7个大小相同的扇形,颜色分为红、绿、黄三种颇色,指针的位置固定,转动的转盘停止后,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形),求下列事件的概率:
(1)指针指向红色;
(2)指针指向红色或黄色
(3)指针不指向红色.
例3、如图:
计算机扫雷游戏,在9×9个小方格中,随机埋藏着10个地雷,每个小方格只有1个地雷,小王开始随机踩一个小方格,标号为3,在3的周围的正方形中有3个地雷,我们把他的去域记为A区,A区外记为B区,,下一步小王应该踩在A区还是B区?
分析:
首先要弄清游戏的规则;其次,求两个概率,要研究它们是否符合古典概率的两要素
解:
(略)
(三)试探练习,回授调节
1、袋子里有1个红球,3个白球和5个黄球,每一个球除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,则P(摸到红球)=
P(摸到白球)=
P(摸到黄球)=
2、从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个数,取出的数是3的倍数的概率是()
3话说唐僧师徒越过石砣岭,吃完午饭后,三徒弟商量着今天由谁来刷碗,可半天也没个好主意。
还是悟空聪明,他灵机一动,扒根猴毛一吹,变成一粒骰子,对八戒说道:
我们三人来掷骰子:
如果掷到2的倍数就由八戒来刷碗;
如果掷到3就由沙僧来刷碗;
如果掷到7的倍数就由我来刷碗;
徒弟三人着洗碗的概率分别是多少!
(四)归纳小结,布置作业
1.随机事件的概率的定义.
2.符合条件的概率的求法.
复习巩固作业和综合运用为全体学生必做;拓广探索为成绩中上等学生必做;学有余力的学生,要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复练习.
八、板书设计:
25.1.2概率
1、概率定义
一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A).
2、一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=
,由m和n的含义可知0≤m≤n,进而0≤
≤1,∴0≤P(A)≤1。
九、教学反思:
25.2用列举法求概率
七、教材分析
在这节课之前,已经学习了随机事件、随机事件发生的概率、用列表法求随机事件概率。
在此基础上本节课介绍了利用“树形图法”求解在一个试验中,涉及到3个或更多个因素时某事件发
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