北京市中考数学专题突破八代数综合含答案.docx
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北京市中考数学专题突破八代数综合含答案
专题突破(八) 代数综合
方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容,在北京中考试卷中,2019年代数综合题出现在第27题,分值为7分.代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点,用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等.
2011-2019年北京代数综合题考点对比
年份
2011
2019
2019
2019
2019
考点
根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式
根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式、二次函数和一次函数图象的平移、利用函数图象求取值范围
二次函数的性质、一次函数图象如何变换、二次函数图象上点的坐标特征
确定二次函数解析式、二次函数图象的性质、利用图象求取值范围
求交点坐标、对称点坐标、确定二次函数解析式及顶点坐标,利用图象求取值范围
1.[2019·北京]在平面直角坐标系xOy中,过点(0,2)且平行于x轴的直线与直线y=x-1交于点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线C1:
y=x2+bx+c经过点A,B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求抛物线C1的函数解析式及顶点坐标;
(3)若抛物线C2:
y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象求a的取值范围.
2.[2019·北京]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,-2),B(3,4).
(1)求抛物线的函数解析式及对称轴;
(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上的一动点,记抛物线在A,B之间的部分为图象G(包含A,B两点).若直线CD与图象G有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t的取值范围.
3.[2019·北京]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的函数解析式;
(3)若该抛物线在-2 4.[2019·北京]已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等. (1)求二次函数的解析式; (2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(-3,m),求m和k的值; (3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n>0)个单位长度后得到的图象记为G,同时将 (2)中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位长度.请结合图象回答: 当平移后的直线与图象G有公共点时,求n的取值范围. 图Z8-1 5.[2011·北京]在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+x-3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C. (1)求点A的坐标; (2)当∠ABC=45°时,求m的值; (3)已知一次函数y=kx+b,点P是x轴上的一个动点,在 (2)的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数y=mx2+x-3的图象于点N.若只有当-2 图Z8-2 1.[2019·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-x+2与y轴交于点A,顶点为B,点C与点A关于抛物线的对称轴对称. (1)求直线BC的函数解析式; (2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4.将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,D)记为图象G,若图象G向下平移t(t>0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围. 图Z8-3 2.[2019·朝阳一模]如图Z8-4,将抛物线M1: y=ax2+4x向右平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线M2,直线y=x与M1的一个交点记为A,与M2的一个交点记为B,点A的横坐标是-3. (1)求a的值及M2的函数解析式. (2)点C是线段AB上的一个动点,过点C作x轴的垂线,垂足为D,在CD的右侧作正方形CDEF. ①当点C的横坐标为2时,直线y=x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F,求此时n的值; ②在点C的运动过程中,若直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点,求n的取值范围(直接写出结果). 图Z8-4 3.[2019·西城一模]已知二次函数y1=x2+bx+c的图象C1经过(-1,0),(0,-3)两点. (1)求C1对应的函数解析式; (2)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线C2,将C2对应的函数解析式记为y2=x2+mx+n,求C2对应的函数解析式; (3)设y3=2x+3,在 (2)的条件下,如果在-2≤x≤a内存在某一个x的值,使得y2≤y3成立,利用函数图象直接写出a的取值范围. 图Z8-5 4.[2019·东城一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+1过点A,B,与y轴交于点C. (1)求抛物线y=ax2+bx+1的函数解析式. (2)若点D在抛物线y=ax2+bx+1的对称轴上,当△ACD的周长最小时,求点D的坐标. (3)在抛物线y=ax2+bx+1的对称轴上是否存在点P,使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 图Z8-6 5.[2019·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-3(m≠0)与x轴交于A(3,0),B两点. (1)求抛物线的函数解析式及点B的坐标; (2)将-2 (3)在 (2)的条件下,将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折,图象G的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若经过点C(4,2)的直线y=kx+b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点,结合图象求b的取值范围. 6.[2019·通州一模]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数y1=x+k的图象交于A(0,1),B两点,C(1,0)为二次函数图象的顶点. (1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式; (2)在平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和一次函数y1=x+k的图象; (3)把 (1)中的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象平移后得到新的二次函数y2=ax2+bx+c+m(a≠0,m为常数)的图象,定义新函数f: “当自变量x任取一值时,x对应的函数值分别为y1或y2,如果y1≠y2,函数f的函数值等于y1,y2中的较小值;如果y1=y2,函数f的函数值等于y1(或y2).”当新函数f的图象与x轴有三个交点时,直接写出m的取值范围. 7.[2019·海淀二模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B,C(点B在点C左侧). (1)求该抛物线的函数解析式及点B,C的坐标; (2)抛物线的对称轴与x轴交于点D,若直线y=kx+b经过点D和点E(-1,-2),求直线DE的函数解析式; (3)在 (2)的条件下,已知点P(t,0),过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M,交直线DE于点N,若点M和点N中至少有一个点在x轴下方,直接写出t的取值范围. 图Z8-7 8.[2019·海淀期中]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-(m-1)x-m(m>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C. (1)求点A的坐标; (2)当S△ABC=15时,求该抛物线的函数解析式; (3)在 (2)的条件下,经过点C的直线l: y=kx+b(k<0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象.请结合图象回答: 若新函数的最小值大于-8,求k的取值范围. 图Z8-8 9.[2019·平谷一模]已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A(-1,0),B(2,0)两点,与y轴相交于点C,点D为该抛物线的顶点. (1)求该抛物线的函数解析式及点D的坐标; (2)点E是该抛物线上一动点,且位于第一象限,当点E到直线BC的距离为时,求点E的坐标; (3)在 (2)的条件下,在x轴上有一点P,且∠EAO+∠EPO=∠α,当tanα=2时,求点P的坐标. 图Z8-9 10.[2019·怀柔一模]在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=(a-1)x2+2x+1的图象与x轴有交点,a为正整数. (1)求a的值; (2)将二次函数y=(a-1)x2+2x+1的图象向右平移m个单位长度,再向下平移(m2+1)个单位长度,当-2≤x≤1时,二次函数有最小值-3,求实数m的值. 图Z8-10 参考答案 北京真题体验 1.解: (1)当y=2时,2=x-1,x=3. ∴A(3,2). ∵点A,B关于直线x=1对称, ∴B(-1,2). (2)把(3,2),(-1,2)代入y=x2+bx+c,得 解得 ∴抛物线C1的解析式为y=x2-2x-1,顶点坐标为(1,-2). (3)如图,当C2过点A,点B时为临界状态, 将A(3,2)代入y=ax2,则9a=2,a=, 将B(-1,2)代入y=ax2,则a=2, ∴≤a<2. 2.解: (1)∵y=2x2+mx+n经过点A(0,-2),B(3,4), ∴ 解得 ∴抛物线的函数解析式为y=2x2-4x-2. ∴对称轴为直线x=1. (2)由题意可知C(-3,-4). 二次函数y=2x2-4x-2的最小值为-4. 如图,由图象可以看出点D纵坐标的最小值即为-4,最大值为直线BC与抛物线对称轴的交点的纵坐标. 由B(3,4),C(-3,-4)可知直线BC的函数解析式为y=x. 当x=1时,y=. ∴-4≤t≤. 3.解: (1)当x=0时,y=-2, ∴A(0,-2), 抛物线的对称轴为直线x=-=1, ∴B(1,0). (2)易得点A关于对称轴直线x=1的对称点为A′(2,-2),点B关于对称轴对称的点仍为点B, ∴直线l经过点A′,B. 设直线l的函数解析式为y=kx+b(k≠0). 则 解得 故直线l的函数解析式为y=-2x+2. (3)∵抛物线的对称轴为直线x=1, ∴抛物线在2<x<3这一段与在-1<x<0这一段关于对称轴对称. 如图,结合图象可以观察到抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,在-1<x<0这一段位于直线l的下方, ∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1. 当x=-1时,y=-2×(-1)+2=4, ∴抛物线与直线l的一个交点为(-1,4). 当x=-1时,m+2m-2=4, 解得m=2, ∴抛物线的函数解析式为y=2x2-4x-2. 4.解: (1)∵二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等, ∴0+0+=4(t+1)+4(t+2)+, 解得t=-, ∴二次函数的解析式是y=-x2+x+. (2)把A(-3,m)代入y=-x2+x+得m=-×(-3)2-3+=-6, 即A(-3,-6). 将A(-3,-6)代入y=kx+6,得-6=-3k+6, 解得k=4, 故m=-6,k=4. (3)由题意可知,点B,C间的部分图象的函数解析式是y=-(x-3)(x+1)(-1≤x≤3), 则抛物线平移后得到图象G的函数解析式是y=-(x-3+n)(x+1+n)(-n-1≤x≤3-n), 此时直线平移后的解析式是y=4x+6+n. 如果平移后的直线与平移后的二次函数图象相切, 则方程4x+6+n=-(x-3+n)(x+1+n)有两个相等的实数解, 即-x2-(n+3)x-n2-=0有两个相等的实数解, Δ=[-(n+3)]2-4×(-)×(-n2-)=6n=0,解得n=0. ∵与已知n>0相矛盾, ∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切, ∴结合图象可知,如果平移后的直线与抛物线有公共点, 则两个临界的交点为(-n-1,0),(3-n,0), ∴0=4(-n-1)+6+n, 解得n=. 0=4(3-n)+6+n, 解得n=6. 故n的取值范围是≤n≤6. 5.解: (1)∵点A,B是二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象与x轴的交点, ∴令y=0,即mx2+(m-3)x-3=0, 解得x1=-1,x2=. 又∵点A在点B左侧且m>0, ∴点A的坐标为(-1,0). (2)由 (1)可知点B的坐标为(,0). ∵二次函数的图象与y轴交于点C, ∴点C的坐标为(0,-3). ∵∠ABC=45°,∴=3,解得m=1. (3)由 (2)得,二次函数的解析式为y=x2-2x-3. 依题意并结合图象(如图)可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2, 由此可得交点坐标为(-2,5)和(2,-3). 将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中, 得解得 ∴一次函数的解析式为y=-2x+1. 北京专题训练 1.解: (1)∵抛物线y=x2-x+2与y轴交于点A, ∴点A的坐标为(0,2). ∵y=x2-x+2=(x-1)2+, ∴抛物线的对称轴为直线x=1,顶点B的坐标为(1,). 又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称, ∴点C的坐标为(2,2),且点C在抛物线上. 设直线BC的函数解析式为y=kx+b. ∵直线BC经过点B(1,)和点C(2,2), ∴解得 ∴直线BC的函数解析式为y=x+1. (2)如图所示,∵抛物线y=x2-x+2中,当x=4时,y=6, ∴点D的坐标为(4,6). ∵直线y=x+1中,当x=0时,y=1, 当x=4时,y=3, ∴点E的坐标为(0,1),点F的坐标为(4,3). 设点A平移后的对应点为点A′,点D平移后的对应点为点D′. 当图象G向下平移至点A′与点E重合时,点D′在直线BC上方,此时t=1; 当图象G向下平移至点D′与点F重合时,点A′在直线BC下方,此时t=3. 结合图象可知,符合题意的t的取值范围是1<t≤3. 2.解: (1)∵点A在直线y=x上,且点A的横坐标是-3, ∴A(-3,-3). 把A(-3,-3)代入y=ax2+4x, 解得a=1. ∴M1: y=x2+4x,顶点坐标为(-2,-4), ∴抛物线M2的顶点坐标为(1,-1). ∴抛物线M2的函数解析式为y=x2-2x. (2)①如图,由题意,知C(2,2),∴F(4,2). ∵直线y=x+n经过点F,∴2=4+n. 解得n=-2. ②n>3或n<-6. 3.解: (1)∵二次函数y1=x2+bx+c的图象C1经过(-1,0),(0,-3)两点, ∴ 解得 ∴抛物线C1的函数解析式为y1=x2-2x-3. (2)∵y1=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-4). ∴平移后抛物线C2的顶点坐标为(0,0), ∴C2对应的函数解析式为y2=x2. (3)a≥-1(如图). 4.解: (1)∵抛物线y=ax2+bx+1过点A,B, ∴ ∴ ∴抛物线的函数解析式为y=-x2+x+1. (2)∵x=-=, ∴抛物线y=-x2+x+1的对称轴为直线x=. 设点E为点A关于直线x=的对称点,则点E的坐标为. 连接EC交直线x=于点D,此时△ACD的周长最小. 设直线EC的函数解析式为y=kx+m,代入点E,C的坐标, 则 解得 ∴直线EC的函数解析式为y=-x+1. 当x=时,y=. ∴点D的坐标为. (3)存在. ①当点A为直角顶点时,过点A作AC的垂线交y轴于点M,交对称轴于点P1. ∵AO⊥OC,AC⊥AP1, ∴∠AOM=∠CAM=90°. ∵C,A, ∴OA=OC=1. ∴∠CAO=45°, ∴∠OAM=∠OMA=45°, ∴OA=OM=1. ∴点M的坐标为. 设直线AM对应的一次函数的解析式为y=k1x+b1,代入点A,M的坐标, 则 解得 ∴直线AM的函数解析式为y=-x-1. 令x=,则y=-. ∴点P1的坐标为. ②当点C为直角顶点时,过点C作AC的垂线交对称轴于点P2,交x轴于点N. 与①同理可得Rt△CON是等腰直角三角形, ∴OC=ON=1, ∴点N的坐标为. ∵CP2⊥AC,AP1⊥AC, ∴CP2∥AP1, ∴直线CP2的函数解析式为y=-x+1. 令x=,则y=. ∴点P2的坐标为. 综上所述,在对称轴上存在点P1,P2,使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形. 5.解: (1)将A代入y=mx2-2mx-3,解得m=1. ∴抛物线的函数解析式为y=x2-2x-3. 令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1, ∴点B的坐标为. (2)y=x2-2x-3=-4. ∵当-2 当1≤x<3时,y随x增大而增大, ∴当x=1,ymin=-4; 当x=-2,ymax=5. ∴y的取值范围是-4≤y<5. (3)如图,当直线y=kx+b经过点B,C时,其函数解析式为y=x+. 当直线y=kx+b经过点,C时, 其函数解析式为y=x-. 结合图象可得b的取值范围是- 6.解: (1)设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2. 由抛物线过点A(0,1),可得y=x2-2x+1. (2)如图①: (3)如图②③,由图可知-4 7.解: (1)∵抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A(0,3), ∴m+4=3, 解得m=-1, ∴抛物线的函数解析式为y=-x2+2x+3. ∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点B,C, ∴令y=0,即-x2+2x+3=0. 解得x1=-1,x2=3. 又∵点B在点C左侧, ∴点B的坐标为(-1,0),点C的坐标为(3,0). (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴抛物线的对称轴为直线x=1. ∵抛物线的对称轴与x轴交于点D, ∴点D的坐标为(1,0). ∵直线y=kx+b经过点D(1,0)和点E(-1,-2), ∴ 解得 ∴直线DE的函数解析式为y=x-1. (3)t<1或t>3. 8.解: (1)∵抛物线y=x2-(m-1)x-m(m>0)与x轴交于A,B两点, ∴令y=0,即x2-(m-1)x-m=0. 解得x1=-1,x2=m. 又∵点A在点B左侧,且m>0, ∴点A的坐标为(-1,0). (2)由 (1)可知点B的坐标为(m,0). ∵抛物线与y轴交于点C, ∴点C的坐标为(0,-m). ∵m>0, ∴AB=m+1,OC=m. ∵S△ABC=15, ∴(m+1)m=15. 解得m=-6或m=5. ∵m>0, ∴m=5, ∴抛物线的函数解析式为y=x2-4x-5. (3)由 (2)可知点C的坐标为(0,-5). ∵直线l: y=kx+b(k<0)经过点C, ∴b=-5, ∴直线l的解析式为y=kx-5(k<0). ∵y=x2-4x-5=(x-2)2-9, ∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时,新函数的最小值均为-9,不符合题意. 当点D在抛物线对称轴右侧时,新函数的最小值有可能大于-8(如图). 令y=-8,即x2-4x-5=-8. 解得x1=1(不合题意,舍去),x2=3. ∴抛物线经过点(3,-8). 当直线y=kx-5(k<0)经过点(3,-8)时,可求得k=-1. 由图象可知,当-1 9.解: (1)∵抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A(-1,0),B(2,0)两点, ∴解得 ∴抛物线的函数解析式为y=-x2+x+2, ∴点D的坐标为(,). (2)如图①,作EN∥BC,交y轴于点N,过点C作CM⊥EN于点M. 令x=0,得y=2, ∴OC=OB=2, ∴∠OCB=45°. ∵EN∥BC, ∴∠CNM=∠OCB=45°. ∵CM⊥EN于点M, ∴∠CNM=∠MCN=45°, ∴MN=CM=, ∴CN=1. ∴直线NE的函数解析式为y=-x+3. 由解得 ∴点E的坐标为(1,2). (3)如图②,过点E作EF⊥AB于点F. 由 (2)知tan∠EOF=2, 又∵tanα=2, ∴∠EOF=∠α. ∵∠EOF=∠EAO+∠AEO=∠α,∠EAO+∠EPO=∠α, ∴∠EPO=∠AEO. ∵∠EAO=∠PAE, ∴△AEP∽△AOE, ∴=. ∵AE==2,AO=1, ∴AP=8, ∴OP=7, ∴P, 由对称性可得P′. ∴点P的坐标为或. 10.解: (1)∵二次函数y=(a-1)x2+2x+1的图象与x轴有交点, 令y=0,则(a-1)x2+2x+1=0, ∴4-4(a-1)≥0,解得a≤2. ∵a为正整数,∴a为1或2. 又∵y=(a-1)x2+2x+1是二次函数, ∴a-1≠0,∴a≠1, ∴a的值为2. (2)∵a=2,∴二次函数的解析式为y=x2+2x+1. 将二次函数y=x2+2x+1化成顶点式为y=(x+1)2, 二次函数图象向右平移m个单位长度,再向下平移(m2+1)个单位长度后的函数解析式为y=(x+1-m)2-(m2+1). 此时函数图象的顶点坐标为(m-1,-m2-1). 当m-1<-2,即m<-1时,在x=-2处二次函数有最小值-3, ∴-3=(-1-m)2-(m2+1), 解得m=-,符合题目要求. 当-2≤m-1≤1,即-1≤m≤2时,在x=m-1处二次函数有最小值-3,即-m2-1=-3, 解得m=±. ∵m=-不符合-1≤m≤2的条件,舍去. ∴m=. 当m-1>1,即m>2时,在x=1处二次函数有最小值-3, ∴-3=(2-m)2-(m2+1), 解得m=,不符合m>2的条件,舍去. 综上所述,m的值为-或.
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