第五章二次型与对称矩阵1675.2化二次型为标准形.ppt

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1,设,5.2.1、二次型的变量替换,对于二次型，我们讨论的主要问题是：

寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,5.2化二次型为标准形,2,证明,即为对称矩阵.,3,说明,4,定义设A,B都是n阶方阵,如果存在可逆阵C，使CTAC=B，则称A与B合同,记成AB.此时也称矩阵A经过合同变换化为矩阵B.,合同关系具有以下性质：

（证明见P217）

（1）自反性：

AA.

（2）对称性：

若AB则BA.（3）传递性：

若AB，BC则AC.（4）A与B合同，则r（A）=r（B）.,合同等价，合同等秩，反之都不成立但不等秩，则一定不合同.,矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很类似，也是n阶方阵之间的一种等价关系.即,5,5.2.2、用配方法化二次型为标准型,问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？

问题的回答是肯定的。

下面介绍一种行之有效的方法拉格朗日配方法,用线性变换化二次型为标准形，等价于二次型的矩阵经合同变换化为对角阵由上一章可知对称矩阵可经正交变换化为对角阵,6,1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,7,解,例1,8,9,所用变换矩阵为,10,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,11,再配方，得,12,所用变换矩阵为,13,对A交替作初等行变换和相应的初等列变换，对A作列变换时，同时对E作相同的列变换，当A化作标准形时，E就化作了C.这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵.即.,5.2.3、用初等变换法化二次型为标准形,矩阵的初等变换法是对二次型矩阵A，构造一个2nn的矩阵，,14,分析：

由于左上角的元素为0，而主对角线上第二个元素不为0，将第一列和第二列交换，同时将第一行和第二行交换，使得左上角元素不为0.,例3用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性变换。

15,解：

16,由此得标准形,所用的可逆线性变换为,17,5.2.4、用正交变换法化二次型为标准形,18,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,19,20,21,22,23,5.2.5、二次型的规范型,有标准型,则称这个标准型是原二次型的规范型。

定义设n元二次型,24,化为标准型,证明：

设n元二次型,25,作非退化线性变换,26,证明：

设n元二次型,27,28,定义二次型的规范型中正项的个数叫二次型的正惯性指标；负项的个数叫二次型的负惯性指标；它们的差叫二次型的符号差。

29,5.2.6、小结,将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法和初等变换法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩,30,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,31,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,32,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,33,于是所求正交变换为,