广东省高考压轴卷 数学文试题百名特级教师押题 押中一分 改变一生.docx
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广东省高考压轴卷数学文试题百名特级教师押题押中一分改变一生
绝密★启用前试卷类型:
B
2013广东省高考压轴卷 数学文试题
本试卷共4页,21小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:
锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,为锥体的高.
样本数据的方差,其中表示样本均值.
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合和的关系的韦恩()图如图1所示,则阴影部分所示的集合是
A.B.
C.D.
2.命题“存在实数,使”的否定是
A.对任意实数,都有B.不存在实数,使
C.对任意实数,都有D.存在实数,使
3.若复数(是虚数单位,是实数),则
A.B.C.D.2
4.已知平面向量,,且,则
A.B.C.D.
5.已知是定义在上的奇函数,且时的图像如图2所示,则
A.B.
C.D.
6.已知变量,满足约束条件则的最大值为
A.2B.3C.4D.6
7.设函数,则
A.为的极大值点B.为的极小值点
C.为的极大值点D.为的极小值点
8.已知直线,其中成等比数列,且直线经过抛物线的焦点,则
A.B.0C.1D.4
9.如图3所示,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰梯形,等腰直角三角形和长方形,则该几何体体积为
A.
B.
C.
D.
10.对于任意两个复数,(),定义运算“”为:
.则下列结论错误的是
A.B.
C.D.
二、填空题:
本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11.函数的定义域是________.
12.某公司为了了解员工们的健康状况,随机抽取了部分员工作为样本,测量他们的体重(单位:
公斤),体重的分组区间为[50,55),[55,60),[60,65),[65,70),[70,75],由此得到样本的频率分布直方图,如图4所示.根据频率分布直方图,估计该公司员工体重的众数是_________;从这部分员工中随机抽取1位员工,则该员工的体重在[65,75]的概率是_________.
13.已知中,,,的对边分别为,,,若,,,则_________.
(二)选做题(14-15小题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线与的交点的极坐标为________.
15.(几何证明选讲选做题)如图5所示,过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,,,且,过点作的垂线,垂足为,则_______.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
设等差数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求的值;
(3)设数列的前项和为,求的值.
17.(本小题满分13分)
已知函数的最大值是1,且.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求的解析式;
(3)已知锐角的三个内角分别为,,,若,求的值.
18.(本小题满分13分)
某校高三年级在5月份进行一次质量考试,考生成绩情况如下表所示:
文科考生
67
35
19
6
理科考生
53
已知用分层抽样方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析,其中文科考生抽取了2名.
(1)求的值;
(2)图6是文科不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图,计算这6名考生的语文成绩的方差;
(3)已知该校不低于480分的文科理科考生人数之比为,不低于400分的文科理科考生人数之比为,求、的值.
19.(本小题满分14分)
将棱长为正方体截去一半(如图7所示)得到如图8所示的几何体,点,分别是,的中点.
(1)证明:
;
(2)求三棱锥的体积.
20.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为4的圆位于轴右侧,且与轴相切.
(1)求圆的方程;
(2)若椭圆的离心率为,且左右焦点为.试探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形?
若存在,请指出共有几个这样的点?
并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
21.(本小题满分14分)
已知函数
(1)讨论函数的单调区间;
(2)当时,若函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.
2013广东省高考压轴卷 数学文试题答案
说明:
1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
A
B
D
D
A
A
B
答案详细解析:
1.阴影部分所示的集合是.
2.存在量词变成任意量词,结论变.
3.∵,∴,解得.
4.∵,∴,解得,∴.
5..
6.如图,作出可行域,当目标函数直线经过点A时取得最大值.由解得,∴.
7.由,得,又时,,时,,∴在时取得极小值.
8.∵成等比数列,∴,∵直线经过抛物线的焦点,∴,由联立解得或(舍去),∴.
9.该几何体的直观图如图所示,由题意知该几何体可分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱.四棱锥的体积为,直三棱柱的体积为,∴该几何体的体积为.
10..
二、填空题:
本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
11.12.62.5,13.14.15.
说明:
第12题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分.
答案详细解析:
11.∵,∴.∴函数的定义域是.
12.众数是,∵各分组频率分别为0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,∴该员工的体重在[65,75]的概率是.
13.由正弦定理,又∵,∴,∴,∴.
14.曲线与分别转化为直角方程得,。
联立,解得或(舍去)。
∴,,又,∴.∴交点的极坐标为.
另解:
联立,解得或(舍去),∴曲线与的交点的极坐标为.
15.连接.根据切割线定理,∴.∵(等面积),∴,∴.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
解:
(1)设等差数列的公差为,
∵,
∴……………………………………………………………………………2分
数列的通项公式…………………………………………………4分
(2)方法一:
∵…………………6分
解得或(舍去)…………………………………………………………………8分
方法二:
∵,……………………………………………………………6分
解得或(舍去)…………………………………………………………………8分
(3)∵,∴………………………9分
∴
……………………………………………………………………………12分
17.(本小题满分13分)
解:
(1)函数的最小正周期是……………………………………………2分
(2)∵函数的最大值是1,
∴……………………………………………………………………………………………3分
∵
又∵
∴………………………………………………………………………………………5分
∴的解析式是……………………………………………6分
(3),
,∴……………8分
∵
∴,………10分
∴
…………………………………………………………………13分
18.(本小题满分13分)
解:
(1)依题意,∴………………………………………………………3分
(2)………………………………………5分
∴这6名考生的语文成绩的方差
…………………………………………………8分
(3)依题意,…………………………………………………11分
解得……………………………………………………………………………13分
19.(本小题满分14分)
(1)证:
连接,交于点……………………………………………………………1分
∵平面,平面
∴…………………………………………………………………………………3分
∵点,分别是,的中点,∴
又∵,
∴≌,∴
又∵
∴
∴,即……………………………5分
又∵
∴平面……………………………………………………………………………7分
又∵平面
∴…………………………………………………………………………………8分
(2)解:
∵平面,∴是三棱锥的高,且………9分
∵点,分别是,的中点,∴
∴
…………………………………………………………………12分
∴
……………………………………………………………14分
20.(本小题满分14分)
解:
(1)依题意,设圆的方程为.……………………………1分
∵圆与轴相切,∴
∴圆的方程为……………………………………………………………4分
(2)∵椭圆的离心率为
∴
解得………………………………………………………………………………………6分
∴
∴,………………………………………………………………………7分
∴恰为圆心………………………………………………………………………8分
()过作轴的垂线,交圆,则,符合题意;………10分
()过可作圆的两条切线,分别与圆相切于点,
连接,则,符合题意.…………………………………13分
综上,圆上存在4个点,使得为直角三角形.…………………………………14分
21.(本小题满分14分)
解:
(1).…………………………………2分
令得…………………………………………………………………3分
()当,即时,,在单调递增………4分
()当,即时,
当时,在内单调递增
当时,在内单调递减…………………………………5分
()当,即时,
当时,在内单调递增
当时,在内单调递减……
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