二次函数中平行四边形存在性.docx
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二次函数中平行四边形存在性
【2019·朝阳】如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交点C,
抛物线y=﹣2x2+bx+c过A,C两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接BE,与直线AC相交于点F,当EF=
BF时,求sin∠EBA的值.
(3)点N是抛物线对称轴上一点,在
(2)的条件下,若点E位于对称轴左侧,在抛物线上是否存在一点M,使以M,N,E,B为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·辽宁锦州】如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣
x+3的图象与x轴交
于点A,与y轴交于B点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,在第一象限的抛物线上取
一点D,过点D作D⊥x轴于点C,交直线AB于点E.
(1)求抛物线的函数表达式
(2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似?
若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合),点G是线段AB上的动点.连接DF,FG,当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时,请直接写出点G的坐标.
【2019·甘肃省考】
如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0),与y轴交于点
C.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;
(3)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.
【2019·山西】
如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(﹣2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1<m<4).连接AC,BC,DB,DC.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的
时,求m的值;
(3)在
(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·江苏连云港】
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L1:
y=x2+bx+c过点C(0,﹣3),与抛物线L2:
y=﹣
x2﹣
x+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P、Q分别是抛物线L1、L2上
的动点.
(1)求抛物线L1对应的函数表达式;
(2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点P的坐标;
(3)设点R为抛物线L1上另一个动点,且CA平分∠PCR.若OQ∥PR,求出点Q的坐标.
【2019·湖北荆州】
如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A,C的坐标分别为(6,0),(4,3),
经过B,C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若∠AOC的平分线交BC于点E,交抛物线的对称轴于点F,点P是x轴上一动点,当PE+PF的值最小时,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,过点A作OE的垂线交BC于点H,点M,N分别为抛物线及其对称轴上的动点,是否存在这样的点M,N,使得以点M,N,H,E为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由.
【2019·湖北·孝感】
如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点
(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣4).
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,线段AC的长为 ,抛物线的解析式为 .
(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.
①如果在x轴上存在点Q,使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.求点Q的坐标.
②如图2,过点P作PE∥CA交线段BC于点E,过点P作直线x=t交BC于点F,交x轴于点G,记PE=f,求f关于t的函数解析式;当t取m和4﹣
m(0<m<2)时,试比较f的对应函数值f1和f2的大小.
【2019·四川·巴中】
如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)经过x轴上的点A(1,0)和点B及y轴上的点C,经
过B、C两点的直线为y=x+n.
①求抛物线的解析式.
②点P从A出发,在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动,同时点E从B出发,在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t秒,求t为何值时,△PBE的面积最大并求出最大值.
③过点A作AM⊥BC于点M,过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q.若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点N的横坐标.
【2019·四川·广安】
如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A
点的直线l:
y=kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=﹣x2+bx+c的另一个交点为D,已知A
(﹣1,0),D(5,﹣6),P点为抛物线y=﹣x2+bx+c上一动点(不与A、D重合).
(1)求抛物线和直线l的解析式;
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE∥x轴交直线l于点E,作PF∥y轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值;
(3)设M为直线l上的点,探究是否存在点M,使得以点N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·贵州·铜仁】
如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1,0),B(2,0),且与y轴交于C
点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点C关于x轴的对称点为C1,M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合),ME⊥x轴,MF⊥y轴,垂足分别为E、F,当点M在什么位置时,矩形MFOE的面积最大?
说明理由.
(3)已知点P是直线y=
x+1上的动点,点Q为抛物线上的动点,当以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时,求出相应的点P和点Q的坐标.
【2019·青海】
如图1(注:
与图2完全相同),在直角坐标系中,抛物线经过点A(1,0)、B(5,0)、C
(0,4)三点.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)P是抛物线对称轴上的一点,求满足PA+PC的值为最小的点P坐标(请在图1中探索);
(3)在第四象限的抛物线上是否存在点E,使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形?
若存在,请求出点E坐标,若不存在请说明理由(请在图2中探索)
【2019·内蒙古·巴彦淖尔】
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B
(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.
(1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴;
(2)点D为抛物线对称轴上一点,连接CD、BD,若∠DCB=∠CBD,求点D的坐标;
(3)已知F(1,1),若E(x,y)是抛物线上一个动点(其中1<x<2),连接CE、CF、EF,求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标.
(4)若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【2019·内蒙古·通辽】
已知,如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为M(1,9),经过抛物线上的两点A(﹣3,﹣7)和B(3,m)的直线交抛物线的对称轴于点C.
(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式.
(2)在抛物线上A、M两点之间的部分(不包含A、M两点),是否存在点D,使得S△DAC=2S△DCM?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P的坐标.
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