小学四年级下册奥数全册教案.docx
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小学四年级下册奥数全册教案
四年级奥数下册
班级:
姓名:
桂林泓文实验学校
-1-
第一讲定义新运算
我们已经学习过加、减、乘、除运算,这些运算,即四则运算是数学中最基本的运算,它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外,还会有什么别的运算吗?
这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号,在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号,但学习讨论这些新运算,对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
第一课时
例1:
对于任意数a,b,定义运算“*”:
a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解:
根据题目定义的运算要求,直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
例题2:
设a、b都表示数,规定是a△b表示a的3倍减去b的2倍,a△b=a×3-b×2。
试计算:
①5△6②6△5
【思路导航】解这类题的关键是抓住定义的本质,这道题规定的运算本质是:
运算符号前面的3倍减
去运算符号后面的数的2倍。
解:
5△6=5×3-6×2=36△5=6×3-5×2=8
显然,本例题定义和运算不满足交换律,计算时不能将△前后的数交换。
例题3:
对于两个数a、b,规定a☆b=a×b+a+b。
试计算6☆2。
【思路导航】这道题规定的运算本质是:
将运算符号的前后两个数的积加上这两个数。
解:
6☆2=6×2+6+2=20
疯狂操练
1、设a、b都表示数,规定a○b=6×a-2×b。
试计算3○4。
2、设a、b都表示数,规定a#b=3×a+2×b。
试计算①(5#6)#7②5#(6#7)
3、有两个整数是A、B,A@B表示A与B的平均数。
已知A@6=17,求A。
4、对于两个数a、b,规定a☆b=a×b-(a+b)。
试计算3☆5。
5、对于两个数A与B,规定A※B=A×B÷2。
试算6※4。
6、对于两个数a、b,规定a&b=a×b+a+b。
试计算5&x=29,求x。
7、对于两个数a、b,规定a☆b=a×b-a-b。
试计算4☆3☆2。
第二课时
例题4:
如果2△3=2+3+4,5△4=5+6+7+8,按此规则计算:
3△5
【思路导航】这道题规定的运算本质是:
从运算符号前的数加起,每次加的数都比前面的数前一个数多1,加数的个数为运算符号后面的数。
解:
3△5=3+4+5+6+7=25
例题5:
【思路导航】从已知的三式来看,运算“
”表示几个数相加,每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数,而符号后面的数是几,就表示几个数之和,其中第1个数是1位数,第2个数是2位数,
第3个数是3位数……按此规定,得
3
5=3+33+333+3333+33333=37035。
例题6:
对于两个数a与b,规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-1)。
已知x□6=27,求x。
【思路导航】经过仔细分析,可以发现这道题规定运算的本质仍然是:
从运算符号前面的数加起。
每次加的数都比它相邻的前一个数多1,加数的个数为运算符号后面的数。
解:
原式=x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27即6x+15=27
x=2
练习
1、如果5
2=5×6,2
3=2×3×4,按此规则计算:
3
4。
2、如果2
4=24÷(2+4),3
6=36÷(3+6),按此规则计算:
8
4。
3、如果2△3=2+3+4,5△4=5+6+7+8,且1△x=15,求x。
4、如果2□3=2+3+4=9,6□5=6+7+8+9+10=40。
已知x□3=5973,求x。
5、对于两个数a与b,规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-1),已知95□x=585,求x。
6、如果1!
=1,2!
=1×2=2,3!
=1×2×3=6,……按此规则计算5!
第三课时
例题7:
如果1
=1,2
=4,3
=9。
依次规律,计算10
=?
【思路导航】经过仔细分析,可以发现这道题规定运算的本质是:
a
=a×a。
例题8:
有一个数学符号“
”使下列算式成立:
24=8,53=13,35=11,97=25。
按此规则计算:
7
3。
【思路导航】经过仔细分析,可以发现这道题规定运算的本质是:
a
b=2a+b。
依次规律,易求7
3。
解:
7
3=2×7+3=17.
练习
1、如果6※2=12,4※3=13,3※4=15,5※1=8。
按此规律计算:
8※4。
2、已知2
3=97
2=153
5=25。
按此规律计算:
16
4。
3、已知5◇2=607◇3=8614◇4=4936,按此规律计算:
1◇5。
4、已知#1=1#2=8#3=27,按此规律计算#6=?
第二讲图形计数
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形,当这些图形重重叠叠地交错在一起时,就构成了复杂的几何图形,要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。
第一课时
例题1:
数出下列图形中有多少条线段。
方法一:
“基本线段”有3条:
AB,BC,CD;
由两条基本线段连成的线段有2条:
AC,BD;
由三条基本线段连成的线段有1条:
AD。
因此图中共有线段有3+2+1=6(条)
方法二:
以A为左端点的线段为:
AB,AC,AD以B为左端点的线段为:
BC,BD
以C为左端点的线段为:
CD因此图中共有线段有3+2+1=6(条)
经进一步观察,分析不难发现,算式中最大的数等于线段上的总的点数减1,线段的总数等于从1开始的若干个连续自然数的和。
即:
1+2+3+…+(总点数-1),这个规律也适用于其他一些图形。
疯狂操练1
数出下列图中有多少条线段。
(1)
(2)
(3)(4)
例题2:
数一数图中有多少个锐角。
【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似,图中的五条射线相当于线段上的五个点,因此,要求图中有多少个锐角,可根据公式1+2+3+…+(总射线数-1)求得:
1+2+3+4=10(个)
所以,图中有10个锐角。
疯狂操练2
下列各图中分别有多少个锐角。
(1)
(2)(3)
思考题:
(1)
(2)将下面的角内添上一些线段,使得角的个数为10个。
第二课时
例题3:
数一数下图中有多少个三角形。
【思路导航】图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形,也就是说,AD边上有几条线段,有几条线段,就构成了几个三角形,因为AD上有4个点,共有1+2+3=6(条)线段,所以图中有6个三角形。
答:
图中共有6个三角形。
疯狂练习3
(1)
(2)(3)
例题4:
数一数图中有多少个三角形。
【思路导航】与前一例题相比,图中多了一条线段A'D',因此,三角形的个数应该是AD和A'D'上面
的线段与点O所围成的三角形个数的和。
显然,以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6(个)三角形。
(1+2+3)×2=12(个)
答:
图中共有12个三角形。
疯狂练习4
数一数下面各图中各有多少个三角形。
(1)
(2)(3)
思考题:
数出有多少个三角形
课前热身:
数一数下图中有多少个长方形。
第三课时
【思路导航】数长方形与数线段的方法类似。
可以这样思考,图中的长方形的个数取决于AB或CD
边上的线段,AB边上的线段条数是1+2+3=6(条),所以,图中有1+2+3=6(个)故图中有6个长方形。
即时热身:
例题1:
数一数图中有多少个长方形?
【思路导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6(条),把AB边上的每一条线段作为长,AD边上的每一条作为宽,每一个长配一个宽,就组成了一个长方形,所以图中共有6×3=18(个)
答:
图中有18个长方形。
数长方形可以用下面的公式:
长边上的线段×宽边上的线段=长方形的个数疯狂操练1
数一数,下面各图中分别有几个长方形?
例题2:
数一数下面有多少个正方形?
(每个小方格都是边长为1的正方形)
【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9(个),边长为2个长度单位的正方形有2
×2=4(个),边长为3个长度单位的正方形有1×1=1(个)。
所以图中的正方形总数为:
1×1+2×2+3×3=1+4+9=14(个)。
答:
图中有14个正方形。
经进一步分析可以发现,由相同的n×n个小方格组成的n行n列的正方形其中所含的正方形总数为:
1×1+2×2+3×3+……+n×n
疯狂练习2
数一数下列各图中分别有多少个正方形?
(每个小方格为边长是1的小正方形)
第四课时
例题3:
数一数下图中有多少个正方形(其中每个小方格都是边长为1个单位的正方形)
【思路导航】边长是1个长度单位的正方形有3×2=6(个),边长是2个单位的正方形有2×1=2个,所以,图中正方形的总数为:
6+2=8(个)。
答:
图中有8个正方形。
疯狂练习3
(1)数一数下列各图中分别有多少个正方形。
(2)下图中有多少个长方形,其中有多少个是正方形?
(说明:
正方形也算长方形)
例题4:
第五课时综合
从桂林到南宁的某次快车中途停靠6个大站,铁路局要为这次快车准备的车票中有多少种不同的票价?
【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生活中的的应用,连同桂林、南宁在内,这条铁路上共有8个站,共有1+2+3+5+6+7=28(条)线段,因此要准备28种不同的车票。
(注意:
同一趟车两个车站往返车票一样)。
疯狂练习4
(1)从上海到武汉的航运线上,有9个停靠码头,航运公司要准备多少种不同的船票?
(2)从上海至青岛的某次直快列车,中途停靠6个大站,这次列车有几种不同的票价?
(3)从成都到南京的快车,中途要停靠9个站,有几种不同的票价?
例题5:
求下列图中线段长度的总和。
(单位:
厘米)
【思路导航】要求图中的线段的长的总和,可以这样计算:
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+(1+4)+(1+4+2)+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)+3=52(厘米)
从上面的计算中可以发现这样一个规律,算式中长1厘米的基本线段(我们把不能再划分的线段称为
基本线段)出现了4次,长4厘米的线段出现了(3×2)次,长2厘米的线段出现了(2×3)次,长3厘米的线段出现了(1×4)次,所以,各线段长度的总和还可以这样算:
1×4+4×(3×2)+2×(2×3)+3×(1×4)
=1×(5-1)+4×(5-2)×2+2×(5-3)×3+3×(5-4)×4+(5-4)×4=52(厘米)
答:
所有的线段总和是52厘米。
上式中的5是线段上的5个端点,如果设线段上的点数为n,基本线段分别为a1,a2,a3,…,a(n−1)。
以上各线段的长的总和为L,那么
L=a1×(n−1)×1+a2×(n−2)×2+a3×(n−3)×3+…+a(n−1)×1×(n−1)。
疯狂练习5
(1)求下图中所有线段的总和。
(单位:
米)
(2)求下图中所有线段的总和。
(单位:
厘米)
(3)一条线段上有21个点(包括两个端点),相邻两点的距离都是4厘米,所有线段长度的总和是多少?
第三讲归一问题
第一课时
例题1
王师傅2小时加工了62个零件,照这样计算,他每天工作8小时可以加工多少个零件?
如果要加工372
个零件需要几个小时?
解:
王师傅1小时加工零件:
62÷2=31(个)
8小时加工零件:
31×8=248(个)加工372个零件:
372÷31=12(小时)
答:
他每天8小时可以加工248个零件。
如果要加工372个零件需要12个小时。
练习
1、一个人骑自行车4小时行44千米,照这样的速度,他骑自行车从家去55千米的姑姑家需要多少小时?
2、一个装订小组3小时装订1800本书,照这样计算,装订4800本书需要多少小时?
例题2
一个粮食加工厂加工大米5000千克,3小时加工了1500千克,照这样计算,加工完剩下的大米还要几
小时?
解:
每小时加工:
1500÷3=500(千克)还剩下:
5000-1500=3500(千克)还要的时间:
3500÷500=7(小时)
答:
加工完剩下的大米还要几小时。
练习
1、一个车间加工48个零件,4小时加工了24个,照这样计算,加工完剩下的零件还要多少小时?
2、一个米粉厂加工面粉2000千克,3小时加工了1200千克,照这样计算,加工完所有的面粉需要多少个小时?
提高
某人用25秒将一根木料锯成6段,照这样计算,把9根同样的木料每根锯成9段需要多少分钟?
课堂小结
总数÷份数=一份数一份数×份数=总数总数÷一份数=份数
例题3
第二课时
加工一批零件,8人3天可以完成96个,照这样计算,15人8天可以加工零件多少个?
解:
1人1天做:
96÷8÷3
=12÷3
=4(个)
15人8天做:
4×15×8
=60×8
=480(个)
答:
15人8天可以加工零件480个。
田老师温馨提示:
先归一,即求出每人每天做几个,然后再解决问题。
练习
1、4个工人5小时生产机器零件100个,照这样计算,6个工人8小时生产零件多少个?
2、王家村农民12人7天植树1680棵,照这样计算,28人要植树5600棵需要多少天?
例题4:
东新饲养场原来喂了20匹马,7天用精饲料280千克,照这样计算,增加5匹马,450千克精饲料能喂几天?
解:
(两次归一)每匹马每天用精饲料:
280÷20÷7
=14÷7
=2(千克)现在有马:
20+5=25(匹)
现在每天用精饲料:
25×2=50(千克)
450千克需要的天数:
450÷50=9(天)答:
450千克精饲料能喂几天。
练习
1、4台吊车7小时卸煤1428吨,如果增加5台同样的吊车,工作8小时,可以卸煤多少吨?
2、苏兴织布机用了3台同样的织布机4小时织布1140米,现在增加到5台织布机,织布1900米需要多少个小时?
提高:
三个和尚吃三个馒头用3分钟,照这样计算,九个和尚吃9个馒头,要多少分钟?
第三课时
例题5:
加工一批零件,9个工人20天可以完成,如果增加6个工人,每个工人的工作效率相同,可以提前几天完成任务?
解:
假设每个工人每天完成一件,则9个工人20天做:
1×9×20=180(件)现在有工人9+6=15(人),做180件需要的天数是:
180÷15=12(天)可以提前天数20-12=8(天)
答:
可以提前8天完成任务。
田老师温馨提示:
不明确每人每天做多少个零件的时候,先假设每人每天做1个。
1、煤厂计划24天完成一批供煤任务,每天应生产45吨煤。
改进技术后,每天比原计划多生产15吨,这样提前几天完成任务?
2、一件零件,5人每天工作8小时用6天可以完成,照这样计算,增加5人每天少工作2小时,提前几天完成任务?
3、某服装厂接受了一批服装的加工任务,25个工人12天可以完成,工作6天后,又增加了5个工人,还要几天才能完成任务?
例题6:
一条长1200米的水渠计划30人用20天的时间做完,为了提前8天修完,照这样的速度,需要增加多少人?
解:
每人每天修:
1200÷30÷20现在需要修的天数:
20-8=12(天)
=40÷20一天修的长度:
1200÷12=100(米)
=2(米)现在的人数:
100÷2=50(人)要增加的人:
50-30=20(人)
答:
需要增加20人。
练习
1、某工厂生产一批农具,25个工人用28天完成,因生产需要提前8天完成,应增加多少工人?
2、3台织布机4小时能织布144米,照这样计算,要在5小时内再多织336米,需增加同样的织布机多少台?
提高
某车间原计划15人6天生产1800个零件,在开工时,又增加了任务,在每人的工作效率不变的情况
下,需18人做8天才能完成,增加了多少个零件的任务?
第四课时
例题7:
甲、乙、丙三人买了8个面包,平分着吃,甲付了5个面包的钱,乙付了3个面包的钱,丙
没有付钱,等吃完后一算,丙应该付出3元2角。
问甲、乙应各收回多少钱?
解:
由于每个人吃的份量一样多,所以每人付的钱都应该是3元2角,则三人吃的面包钱总和为3元2
角×3=9元6角。
即8个面包
练习
1、甲、乙、丙外出旅游,甲带了5个蛋糕,乙带了3个蛋糕,丙没带,中午3人平分吃蛋糕,吃完后,
丙拿出1元6角,那么甲、乙各应收回多少钱?
例题8
如果买6个书包和3盒水彩笔需要294元,而如果买2个书包和3盒水彩笔只需154元,求一个书包
和一盒水彩笔各多少钱?
练习
1、小明买了4本练习本盒3支圆珠笔,一共用去10元钱,小红买了4本练习本和5支圆珠笔,共用
去了14元钱。
求一本练习本和一支圆珠笔各多少钱?
第四讲盈亏问题
第一课时
教学内容:
一盈一亏类型的盈亏问题
例1:
幼儿园把一些糖果分给小朋友,如果每人分2个,则剩下20个;如果每人分3个,则差40个。
幼儿园有多少个小朋友?
一共有多少块糖果?
解:
第一种分配方案:
每人2个,多20个……盈
第二种分配方案:
每人3个,少40个……亏分配对象:
小朋友被分配的是(物品):
糖果
根据一盈一亏的公式:
(盈+亏)÷两次分配之差=分配对象数
人数:
(20+40)÷(3-2)=60(人)
糖果:
60×2+20=140(块)或60×3-40=140(块)答:
幼儿园一共有60个小朋友,一共有140块糖果。
课堂练习
1、一个植树小组植树。
如果每人载5棵,还剩14棵;如果每人载7棵,就缺4棵。
这个植树小组多少人?
共植树多少棵?
2、学校组织同学们去划船,如果每船坐3个人,就多出23人,如果每船坐5个人,则空出了3条船,问有多少同学,多少只船?
3、有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每条船坐6人,如果减少一条船,
正好每条船坐9人。
问:
这个班一共有多少个同学?
4、用绳子测一口井的深度,绳子对折时,超出井口5米;如果绳子四折,离井口还差2米,求井深和绳长。
5、小强从家里去学校,如果每分钟走50米,就要迟到3分钟,如果每分钟走60米,可以提前2分钟到校,小强家离学校多远?
课后作业:
1、大队辅导员请即将入队的同学每3人一排,发现多了20人,他又将这些学生改成5人一排,人数正好不多不少,入队的同学有多少人?
2、用一根绳子测量桥的高对,如果绳子两折时,多6米;如果绳子3折时,差2米,求绳子长和桥高分别是多少米?
3、有一个班的同学去划船。
他们算了一下,如果增加1条船,正好每船坐5人;如果减少1条船,正
好每船坐7人,这个班有多少人?
第二课时
教学内容:
两盈、两亏、一盈一足、一亏一足类型的盈亏问题
例2:
少先队员去植树,如果每人种3棵,还有12棵没有种,如果每人种4棵,还有5棵没有种,问
有多少个少先队员参加植树,一共要种多少树苗?
解:
第一种分配方案:
每人3棵,多12棵……盈
第二种分配方案:
每人4棵,多5棵……盈分配对象:
少先队员物品:
树
根据两盈公式:
(大盈-小盈)÷两次分配差=分配对象数人数:
(12-5)÷(4-3)=7(个)
树:
7×3+12=33(棵)或7×4+5=33(棵)
答:
有7个少先队员参加植树,一共要种33棵树苗。
练习二
1、田老师将一批钢笔笔奖给五
(1)班本次月考成绩平均分上90分的同学。
如果每人奖5支,则缺8
支;如果每人奖7支,则缺32支。
问四
(1)班有多少人可以得李老师的奖励?
李老师一共准备了多少支钢笔?
2、廖老师给美术兴趣小组的同学分若干支水彩笔。
如果每人5支则多12支;如果每人分8支还多3支。
请问每人分多少支刚好把水彩笔分完?
3、学校安排四
(1)学生到多媒体教室听安全教育讲座,如果每排坐6人,则空出6排;如果每排坐
9人,则空出8排。
四
(1)班共有多少人?
多媒体教室共有多少排座位?
例3唐老师将棒棒糖分给A组同学,如果每人分2根还多7根,如果每人分3根正好分完,问A组有多少个学生,李老师有多少根棒棒糖?
解:
第一种分配方案:
每人2根,多7根……盈
第二种分配方案:
每人3根,正好分完(0)……足参加分配的量:
同学被分配的量:
棒棒糖
根据一盈一尽公式:
盈÷两次分配之差=参加分配的量学生数:
7÷(3-2)=7(个)
糖:
7×2+7=21(根)或7×3=21(根)……此种求法更简单答:
A组共有7个同学,李老师有21根棒棒糖。
练习
1、生活老师为五年级全体女生分宿舍,如果每个房间住12人,房间刚刚好,如果每间房住16人,则
有3个房间空着,有多少个房间?
有多少名女生?
2、学校给新生安排宿舍,若8人一间则多23人,若10人一间则多3人,问有新生多少人?
宿舍多少间?
3、老师将一些练习本分给班上的同学,如果每人发10本,则有两个学生没分到,如果每人分8个,则正好发完,有多少个学生?
多少个练习本?
4、有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果每条船坐8人,多了3条船,如果每条船坐5人,正好坐完,有多少名同学?
多少条船
第三课时
教学内容:
含有一级和两级转换类型的盈亏问题
例4:
动物园为猴山的猴子买来桃,这些桃如果每只猴分5个,还剩32个;如果其中10只小猴分4
个,其余的猴分8个,就恰好分完。
问:
猴山有猴子多少只?
共买来多少个桃?
分析与讲解:
根据观察对应数量关系的变化寻求答案的解题思路,首先需要把条件“如果其中10只小
猴分4个,其余的猴分8个,就恰好分完。
”转化成:
如果每只猴都分8个,就少了(8-4)×10=40
(个),然后按盈亏问题来求解。
解
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