习题集含详解高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法.docx
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习题集含详解高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法
一、选择题(共10小题;共50分)
1.数列的通项公式,其前项和为,则
A.B.C.D.
2.已知数列的通项公式为,其前项和为,则
A.B.C.D.
3.已知数列,满足,,设数列的前项和为,则的值为
A.B.
C.D.
4.已知等差数列的首项,公差,等比数列的首项,公比,若数列满足,则数列中小于的项有个.
A.B.C.D.
5.已知函数且,则等于
A.B.C.D.
6.在数列中,若,则数列的前项和等于
A.B.C.D.
7.已知数列是以为首项,为公差的等差数列,是以为首项,为公比的等比数列.设,,则当时,的最小值是
A.B.C.D.
8.如果一个数列满足,则称数列为等和数列,为公和,是其前项的和,已知等和数列中,,,则等于
A.B.C.D.
9.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列,,,,,,,,,,,,,,,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推.求满足如下条件的最小整数:
且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是
A.B.C.D.
10.数列满足,则的前项和为
A.B.C.D.
二、填空题(共10小题;共50分)
11.在数列中,,,记是数列的前项和,则 .
12.在数列中,,,且,则 .
13.已知函数,数列中,,则数列的前项之和 .
14.数列中,是与最接近的正整数,则 .
15.已知,,则 .
16.数列,,,,的前项和 .
17.已知数列满足,则的前项和为 .
18.已知数列满足,且,则数列的前项和为 .
19.数列满足,那么 ,数列的前项和 .
20.若数列满足,则数列的前项和为 .
三、解答题(共80小题;共1040分)
21.已知是各项均为正数的等比数列,,且,,成等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
22.已知数列的通项求其前项和.
23.已知等比数列的前项和为,公比,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,为数列的前项和,求.
24.已知数列是等差数列,满足,,数列满足,,且为等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
25.已知数列是等差数列,满足,,数列是等比数列,满足,.
(1)求数列}和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
26.设公差不为的等差数列的首项,前项和为,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式及;
(2)设,,且,分别为数列,的前项和,比较与的大小.
27.已知等差数列的各项均为正数,其公差为,.
(1)求的通项公式;
(2)求.
28.已知数列是首项,公比的等比数列.设.
(1)求证:
数列为等差数列;
(2)设,求数列的前项和.
29.在数列中,,,是等比数列,且.
(1)求的通项公式;
(2)求的前项和.
30.已知等差数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
31.已知等差数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
32.已知数列满足,,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,,求数列的前项和.
33.已知数列为等差数列,其中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列中,,,从数列中取出第项记为,若是等比数列,求的前项和.
34.已知数列的前项和,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
35.数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:
,求数列的通项公式;
(3)令,求数列的项和.
36.已知是等比数列,前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若对任意的,是和的等差中项,求数列的前项和.
37.已知是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求数列的前项和.
38.已知数列为等差数列,,;数列是公比为的等比数列,且满足集合.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求数列的前项和.
39.已知等差数列的前项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
40.已知数列是公差不为的等差数列,首项,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求数列的前项和.
41.已知等差数列满足,,数列满足,,设,且数列为各项均为正数的等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
42.已知在等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求.
43.已知单调递增的等比数列满足:
且,且是,的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,其前项和为,求.
44.已知数列中,,,记为的前项的和,,.
(1)判断数列是否为等比数列,并求出;
(2)求.
45.已知数列的通项求其前项和.
46.已知等差数列中,,前项和.
(1)求数列通项公式;
(2)若从数列中依次取第项,第项,第项,,第项,,按原来的顺序组成一个新的数列,求数列的前项和.
47.设,求:
(1).
(2).
48.求数列的前项和.
49.已知求数列的前项和.
50.设是正项等比数列,,.
(1)求的通项公式;
(2)设是首项为,公差为的等差数列,求数列的前项和.
51.在等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列是首项为,公比为的等比数列,求的前项和.
52.已知等差数列的前项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
53.已知数列的前项和满足,其中.
(1)求证:
数列为等比数列;
(2)设,求数列的前项和.
54.设数列的前项和为,点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)若为等比数列,且,求数列的前项和.
55.等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记表示不超过的最大整数,如,.令,求数列的前项和.
56.设数列的前项和,数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
57.设是首项为,公比为的等差数列,是首项为,公比为的等比数列,记,.
(1)若是等差数列,求的值;
(2)求数列的前项和.
58.已知为数列的前项和,且(是非零常数).
(1)求的通项公式;
(2)设,当时,求数列的前项和.
59.设为等差数列,为等比数列,且,若,且,,.
(1)求的公差和的公比;
(2)求数列的前项和;
(3)若,求数列的前项和.
60.已知数列中,,,且对任意正整数都成立,数列的前项和为.
(1)若且,求.
(2)是否存在实数,使数列是公比不为的等比数列,且对任意相邻三项,,按某顺序排列后成等差数列?
若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由;
(3)若,求.
61.设是公比为正数的等比数列,,.
(1)求的通项公式;
(2)设是首项为,公差为的等差数列,求数列的前项和.
62.设数列的前项和为,且,,.
(1)写出,,的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)已知等差数列中,有,,求数列的前项和.
63.已知数列是等差数列,其前项和为,数列是公比大于的等比数列,且,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
64.知数列的前项和为,且满足,数列为等差数列,且满足,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)令,关于的不等式的的解集为,求所有的和.
65.已知数列中,,且(且).
(1)证明:
数列为等差数列;
(2)求数列的前项和.
66.已知数列中,,且.
(1)证明:
数列为等差数列;
(2)求数列的前项和.
67.已知是首项为,公差为的等差数列,为的前项和.
(1)求通项及;
(2)设是首项为,公比为的等比数列,求数列的通项公式及前项和.
68.等比数列中,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
69.在数列中,,.
(1)求的值,并求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)若数列的前项和为,证明不等式,对任意皆成立.
70.已知在等比数列中,,且是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求的前项和.
71.已知数列的首项为,且满足.
(1)求证数列为等比数列,并求出数列的通项公式.
(2)设,求数列的通项公式及前项和.
72.已知数列满足,,,.
(1)证明数列为等比数列.
(2)求数列的通项公式与其前项和.
73.数列的前项和为,已知恒成立.
(1)求数列的通项公式;
(2),求的前项和.
74.已知等差数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和为.
75.为等差数列的前项和,且,.记,其中表示不超过的最大整数,如,.
(1)求,,;
(2)求数列的前项和.
76.为等差数列的前项和,且,.记,其中表示不超过的最大整数,如,.
(1)求,,;
(2)求数列的前项和.
77.已知为锐角,且,函数,数列的首项,.
(1)求函数的表达式;
(2)求数列的前项和.
78.数列的通项公式为,求:
(1)数列的前项和;
(2)数列的前项和.
79.数列满足,.
(1)证明:
数列是等差数列;
(2)若,求.
80.已知等差数列的通项公式为,各项都是正数的等比数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
81.在德国不莱梅矩形的第届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第堆只有层,就个乒乓球;第,,,堆最底层(第层)分别按图所示得方式摆放,从第层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第堆第层就放个乒乓球,用表示前堆的乒乓球总数,则 , (用表示).
82.数列中,,,求数列的前项和.
83.数列中,若,且.
(1)求证:
数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式及前项和.
84.已知等比数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
85.已知等比数列满足,且是,的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,,求使成立的正整数的最小值.
86.设数列的通项公式为.数列定义如下:
对于正整数,是使得不等式成立的所有中的最小值.
(1)若,,求;
(2)若,,求数列的前项和公式.
87.已知数列的前项和,满足;数列满足,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)记数列满足求数列的前项和.
88.已知各项为正数的等比数列的前项和为,数列的通项公式,若,是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
89.已知数列满足(),设数列的前项和为.
(1)试求的值.
90.等比数列中,,,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且,,中的任何两个数不在下表的同一列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
91.设数列的前项和为.已知,,且.
(1)证明:
;
(2)求.
92.已知,数列满足,数列满足;又在数列中,,且对,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)将数列中的第项、第项、第项、、第项删去后,剩余的项按从小到大的顺序排列成新的数列,求数列的前项的和.
93.已知数列的前项和是,且,又数列满足点在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
94.已知数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求;
(3)证明:
存在,使得.
95.在数列中,已知,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:
数列是等差数列;
(3)设数列满足,求的前项和.
96.观察下表:
,
,,,
,,,,,,,
问
(1)此表第行的最后一个数是多少?
(2)此表第行的各个数之和是多少?
(3)是第几行的第几个数?
(4)是否存在,使得第行起连续行的所有数之和为?
若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
97.等比数列中,,,分别是下表第一,二,三行中的某一个数,且,,中的任何两个数不在下表的同一列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列,求数列的前项和.
98.已知为数列的前项和,且.
(1)求证:
数列为等比数列.
(2)求数列的通项公式
(3)求数列的前项和.
99.已知为等差数列,公差,的部分项,,,恰为等比数列,是,,.
(1)求;
(2)求.
100.已知等差数列的前项和为,且,;数列的前项和为,且.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
答案
第一部分
1.A2.D【解析】由,得
,,
,,
,,
,,
由上可知,数列的奇数项为,每相邻两个偶数项的和为,
所以
3.C【解析】由,
得,
,
,
,
,
.
则
4.C【解析】,,
所以,
所以.
因为,,
所以数列中小于的项共有项.
5.B
【解析】由题意,得
6.B【解析】由已知,得,得,取及,结果相加可得.
7.C【解析】,,则.
,
而,即,代入检验知的最小值是.
8.C【解析】由,得,,,
则数列的各项是,,,,
交替出现,于是.
9.A【解析】设该数列为,设,则,
由题意可设数列的前项和为,数列的前项和为,则.
可知当为时,数列的前项和为数列的前项和,即为.
容易得到时,,
A项,由,,可知,故A项符合题意.
B项,仿上可知,可知,显然不为的整数幂,故B项不符合题意.
C项,仿上可知,可知,显然不为的整数幂,故C项不符合题意.
D项,仿上可知,可知,显然不为的整数幂,故D项不符合题意.
方法二:
由题意可知:
,,,,,
根据等比数列前项和公式,求得每项和分别为:
,,,,,
每项含有的项数为:
,,,,,
总共的项数为,
所有项数的和为
由题意可知:
为的整数幂.只需将消去即可,
则①,解得:
,总共有,不满足,
②,解得:
,总共有,不满足,
③,解得:
,总共有,不满足,
④,解得:
,总共有,满足.
所以该款软件的激活码为.
10.D
【解析】当时,,当时,,
所以,所以,
所以,所以.
所以
第二部分
11.
【解析】因为,
所以当为奇数时,,即数列的奇数项构成一个首项为,公差为的等差数列,
当为偶数时,.
所以
12.
【解析】由递推公式,得
则奇数项是常数列;偶数项是公差为的等差数列,
所以,
13.
【解析】因为函数,
所以,
同理可得:
,,.
所以
所以数列的前项之和.
14.
【解析】因为是与最接近的正整数,
所以时,;
时,;
时,;
时,;
时,;
时,;
时,;
时,;
时,;
时,.
所以
15.
16.
【解析】利用分组求和法,可得.
17.
【解析】当时,;当时,,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以
18.
【解析】因为,又,所以,从而,,
即得.
故数列的前项和.
19.,
20.
【解析】提示:
由,变形为,令,所以,所以.
第三部分
21.
(1)因为,,成等差数列,
所以.
设数列的公比为,又,
所以,即,
解得或(舍),
所以.
(2)由
(1)得,
所以
22.奇数项组成以为首项,公差为的等差数列,偶数项组成以为首项,公比为的等比数列.前项中,奇数项和偶数项分别有项,所以,
.
23.
(1)因为,,所以,即,
所以,所以或(舍去).
又,所以,所以,所以,.
(2),
所以
记,
则.
记
则
①-②得
所以,
所以.
24.
(1)设等差数列的公差为,由题意,得,
所以().
设等比数列的公比为,由题意,得
,解得.
所以,
所以().
(2)由
(1)知().
因为数列的前项和为,数列的前项和为,所以数列的前项和为.
25.
(1)设等差数列的公差为,由题意得,
所以.
设等比数列的公比为,由题意得,解得.
因为,
所以.
(2).
26.
(1)设等差数列的公差为,
因为公差不为的等差数列的首项,前项和为,,,成等比数列,
所以.
所以.
由,解得.
所以,.
(2)因为,
所以.
因为,,且,分别为数列,的前项和,
所以.
因为,
所以.
所以.
所以.
27.
(1)由题意知:
等差数列的各项均为正数,其公差为,.
所以,解得(舍去).
所以的通项公式为.
(2)由()得到,
所以
28.
(1)由已知得:
.
.
则.
所以数列是以为首项,为公差的等差数列.
(2)由()知,,则数列是以为首项,为公差的等差数列.
.
则.
即.
即.
29.
(1)在数列中,,,是等比数列,且,
设公比为,则,,
则,解得,
则,.
(2)的前项和为.
30.
(1)设等差数列的公差为,
由可得,
即,则,解得.
所以.
(2)由()可得:
,
所以
31.
(1)设等差数列的公差为,
由可得:
,
即,
所以,解得,
所以,
数列的通项公式.
(2)由()可得:
.
所以
数列的前项和.
32.
(1),,且,.
当为奇数时,,
可得奇数项成首项为,公差为的等差数列,且为;
当为偶数时,,
可得偶数项成首项为,公比为的等比数列,且为;
即有.
(2)令,,
当为偶数时,前项和
当为奇数时,前项和
则数列的前项和
.
33.
(1)设等差数列的公差为,
依题意有
解得,,
从而的通项公式为.
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