最新高中数学直线与圆的综合应用.docx

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最新高中数学直线与圆的综合应用

直线与圆的综合应用

一、填空题

1.若圆的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a的值为________．

解析圆心为（1,2）,利用点到直线的距离公式得化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2.

2．直线y＝x绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆（x－2）2＋y2＝3的位置关系是________．

解析　由题意可得旋转30°后所得直线方程为y＝x，由圆心到直线距离可知是相切关系．

答案　相切

3．若圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围为________．

解析　由圆心（3，－5）到直线的距离d＝＝5，可得4＜r＜6.

答案　（4,6）

答案2或0

4．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：

x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·＝________.

解析　由题可知∠AOB＝120°，所以·＝||·||·cos120°＝－.

答案　－

5．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2最小值为________．

解析　法一　点（x，y）在圆（x－2）2＋（y－3）2＝1上，故点（x，y）到原点距离的平方即x2＋y2最小值为（－1）2＝14－2.

法二　设圆的参数方程为则x2＋y2＝14＋4cosα＋6sinα，所以x2＋y2的最小值为14－＝14－2.

答案　14－2

6．若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个交点，则实数b的取值范围是________．

解析利用数形结合的方法，曲线x＝表示在y轴右侧的半个单位圆（含边界），直线y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线，注意到b＝－1时有两个交点及b＝－时直线与圆相切，所以实数b的取值范围是－1

b＝－.

答案－1

7．已知曲线C：

（x－1）2＋y2＝1，点A（－2,0）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是________．

解析　设过A点的⊙C的切线是y＝k（x＋2），即kx－y＋2k＝0.

由＝1，得k＝±.

当x＝3时，y＝5k＝±.

答案　∪

8．设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．

解析设切点为D，∠OAB＝α，则连接OD知OD⊥AB，从而得到AD＝＝，BD＝＝，

所以线段AB＝＋＝＝，则线段AB长度的最小值为2.

答案2

9．圆C：

x2＋y2＋2x－2y－2＝0的圆心到直线3x＋4y＋14＝0的距离是________．

解析　圆心为（－1,1），它到直线3x＋4y＋14＝0的距离d＝＝3.

答案　3

10．如果圆C：

（x＋a）2＋（y－a）2＝18上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是________．

解析　由题意，圆C上总存在两个点到原点的距离，即圆C与以O为圆心，半径为的圆总有两个交点，即两圆相交，

所以有|3－|＜|CO|＜3＋，即2＜|a|＜4，

解得－4＜a＜－2或2＜a＜4.

答案　（－4，－2）∪（2,4）

11．若直线mx＋ny＝4和圆O：

x2＋y2＝4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．

解析　由题意可知，圆心O到直线mx＋ny＝4的距离大于半径，即得m2＋n2<4，所以点（m，n）在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点（m，n）在椭圆内，因此过点（m，n）的直线与椭圆必有2个交点．

答案　2

12．若过点A（0，－1）的直线l与曲线x2＋（y－3）2＝12有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．

解析　该直线l的方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则由题意，

得d＝≤2，即k2≥，解得k≤－或k≥.

答案　∪

13．直线l：

ax－by＋8＝0与圆C：

x2＋y2＋ax－by＋4＝0（a，b为非零实数）的位置关系是________．

解析　圆的标准方程为2＋2＝－4，且－4＞0，

即a2＋b2＞16，圆心C到直线ax－by＋8＝0的距离

d＝＝＜＝＝r（r是圆C的半径，则直线与圆相交）．

答案　相交

二、解答题

14．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.

（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；

（2）若

（1）中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值；

（3）在

（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

解析　

（1）原圆的方程可化为（x－1）2＋（y－2）2＝5－m，所以m＜5.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，则x1x2＝16－8（y1＋y2）＋4y1y2.

因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，

所以16－8（y1＋y2）＋5y1y2＝0，①

由

得5y2－16y＋m＋8＝0，

所以y1＋y2＝，y1y2＝，代入①得m＝.

（3）以MN为直径的圆的方程为

（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0，

即x2＋y2－（x1＋x2）x－（y1＋y2）y＝0.

所以所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0.

15．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y＝x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝x分别相切于C、D两点．

（1）求圆M和圆N的方程；

（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

解析　

（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线．

∵M的坐标为（，1），∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为（x－）2＋（y－1）2＝1，

设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA、NC，

由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM∶ON＝MA∶NC，

即＝⇒r＝3，则OC＝3，

故⊙N的方程为（x－3）2＋（y－3）2＝9.

（2）由对称性可知，所求的弦长等于点过A的直线MN的平行线被⊙N截得的弦长，此弦的方程是y＝（x－），即x－y－＝0，

圆心N到该直线的距离d＝，

则弦长为2＝.

16.已知圆满足:

①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:

x-2y=0的距离为.求该圆的方程.

解析设圆的方程为.

令x=0,得.

||得,①

令y=0,得||=

得.②

由①②,得.

又因为圆心（a,b）到直线x-2y=0的距离为得即.

综上,可得或解得或

于是.

所求圆的方程为或.

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A（29,0）．

（1）求圆弧C2的方程；

（2）曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？

若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；

（3）已知直线l：

x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．

解析　

（1）圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.

令x＝5，解得M（5,12），N（5，－12）．

则线段AM的中垂线的方程为y－6＝2（x－17）．

令y＝0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2（14,0），

又圆弧C2所在圆的半径为r2＝29－14＝15，所以圆弧C2的方程为（x－14）2＋y2＝225（x≥5）．

（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA＝PO，得x2＋y2＋2x－29＝0.

由解得x＝－70（舍）．

由解得x＝0（舍）．

综上知这样的点P不存在．

（3）因为EF＞2r2，EF＞2r1，所以E、F两点分别在两个圆弧上．

设点O到直线l的距离为d.

因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心（14,0），

所以EF＝15＋＋，

即＋＝18，解得d2＝.

所以点O到直线l的距离为.

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1（－4,0），F2（4,0），A（0,8），直线y＝t（0＜t＜8）与线段AF1，AF2分别交于点P，Q.

（1）当t＝3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；

（2）过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C.

求证：

圆心C在定直线7x＋4y＋8＝0上．

解析

（1）当t＝3时，PQ中点为（0,3），所以b＝3，又椭圆焦点为F1（－4,0），F2（4,0），所以c＝4，a2＝b2＋c2＝25，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）证明　因为Q在直线AF2：

＋＝1上，所以Q.

由P与Q关于y轴对称，得P，又由QR∥AF1，得R（4－t,0）．

设△PRF1的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有

解得

所以该圆的圆心C满足7×＋4＋8＝8－8＝0，

即圆心C在直线7x＋4y＋8＝0上．

直线与圆的综合应用

一、填空题

1.若圆的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a的值为________．

2．直线y＝x绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆（x－2）2＋y2＝3的位置关系是________．

3．若圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围为________．

5．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2最小值为________．

6．若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个交点，则实数b的取值范围是________．

7．已知曲线C：

（x－1）2＋y2＝1，点A（－2,0）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是________．

8．设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．

9．圆C：

x2＋y2＋2x－2y－2＝0的圆心到直线3x＋4y＋14＝0的距离是________．

10．如果圆C：

（x＋a）2＋（y－a）2＝18上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是________．

12．若过点A（0，－1）的直线l与曲线x2＋（y－3）2＝12有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．

13．直线l：

ax－by＋8＝0与圆C：

x2＋y2＋ax－by＋4＝0（a，b为非零实数）的位置关系是________．

二、解答题

14．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.

（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；

（2）若

（1）中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值；

（3）在

（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

15．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y＝x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝x分别相切于C、D两点．

（1）求圆M和圆N的方程；

（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

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