完整版精讲精练全等三角形证明判定方法分类总结培优doc.docx
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完整版精讲精练全等三角形证明判定方法分类总结培优doc
.
全等三角形
(一)SSS
【知识要点】
1.全等图形定义:
两个能够重合的图形称为全等图形.
2.全等图形的性质:
(1)全等图形的形状和大小都相同,对应边相等,对应角相等
(2)全等图形的面积相等
3.全等三角形:
两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
(1)表示方法:
两个三角形全等用符号“≌”来表示,读作“全等于”如
ABC与DEF全等,记作ABC≌DEF
(2)符号“≌”的含义:
“∽”表示形状相同,“=”表示大小相等,合起来就是形状相同,大小也相等,这就是全等.
(3)两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.
(4)证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
4.全等三角形的判定
(一):
三边对应相等的两个三角形全等,简与成“边边边”或“SSS”.
ABDEAD
如图,在ABC和DEF中BCEF
ACDFBCEF
ABC≌DEF
A50,BC9cm,CE5cm,求EDF的度数及CF的长.
例3.如图,已知:
AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证:
BAECAD
A
B
D
E
C
例4.如图AB=DE,BC=EF,AD=CF,求证:
(1)ABC≌DEF
(2)AB//DE,BC//EF
A
D
B
C
【典型例题】
A
例1.如图,ABC≌ADC,点B与点D是对应点,
BAC
26
,且
B
20
,SABC
1
,求
CAD,
D,
ACD的度数及
ACD的面积.
B
C
D
例2
.
如图
,
ABC≌
DEF
,
EF
.
AD
.
例5.如图,在
ABC中C
90,D、E分别为AC、AB上的点,且BE=BC,DE=DC,
求证:
(1)DE
AB;
(2)BD平分
ABC
(角平分线的相关证明及性质)
A
E
D
B
C
【巩固练习】
1.下面给出四个结论:
①若两个图形是全等图形,则它们形状一定相同;②若两
个图形的形状相同,则它们一定是全等图形;③若两个图形的面积相等,则它们一定是全等图形;④若两个图形是全等图形,则它们的大小一定相同,其中正确
的是()
A、①④
B
、①②C
、②③
D、③④
2.如图,
ABD≌
CDB,且AB和CD是对应边,下面四个结论中
不正确的是(
)
A、
ABD和CDB的面积相等
A
D
B、
ABD和CDB的周长相等
B
C
C、AABDCCBD
D、AD//BC且AD=BC
3.如图,
ABC≌
BAD,A和B以及
C和D分别是对应点,
如果
C
60,
ABD
35
,则
BAD的度数为(
)
DC
A、85
B
、35
C、60
D
、80
A
B
4.如图,
ABC≌DEF,AD=8,BE=2,则AE等于(
)
A、6
B
、5
C
、4
D
、3
第3题图
C
E
A
B
B
A
F
D
E
A
E
D
B
C
第5题图
C
第6题图
D
F
第4题图
5.如图,要使
ACD≌BCE,则下列条件能满足的是(
)
A、AC=BC,AD=CE,BD=BE
B、AD=BD,AC=CE,BE=BD
C、DC=EC,AC=BC,BE=AD
D、AD=BE,AC=DC,BC=EC
6.如图,ABE≌
DCF,点A和点D、点E和点F分别是对应点,则AB=
,
A
,AE=
,CE=
,AB//
,若
AE
BC,则DF与BC的关系是
.
7.如图,ABC≌
AED,若
B40,
EAB
30,C
45,则BAC
,
D
,
DAC
.
D
C
B
A
E
D
C
A
E
F
B
D
E
C
第9题题图
8.如图,若AB=AC,BE=CD,AE=AD,则
ABE
ACD
,所以
AEB
,
B
第
8题图
第7题图
.
BAE
,
BAD
.
9.如图,
ABC≌DEF,
C
90,则下列说法错误的是(
)
A、
C与F互余
B
、
C与F互补
C、
A与E互余
D
、
B与D互余
10.如图,ACF≌
DBE,
E
30,
ACF110,AD9cm,CD
2.5cm,
求
D的度数及BC的长.
E
F
ABCD
11.如图,在ABC与ABD中,AC=BD,AD=BC,求证:
ABC≌ABD
DC
AB
全等三角形
(一)作业
1.如图,ABC≌CDA,AC=7cm,AB=5cm.,则AD的长是()
.
.
A、7cmB、5cmC、8cmD、无法确定
2.如图,
ABC≌
DCE,
A
48,
E
62,点B、C、E在同一直线上,
则
ACD的度数为(
)
A
、48
B、38
C
、110
D
、62
3.如图,ABC≌DEF,AF=2cm,CF=5cm,则AD=.
4.如图,ABE≌ACD,A100,B25,求BDC的度数.
A
DE
BC
5.如图,已知,AB=DE,BC=EF,AF=CD,求证:
AB//CD
AB
F
C
ED
.
6.如图,已知AB=EF,BC=DE,AD=CF,
求证:
①ABC≌FED
②AB//EF
E
DF
AC
B
7.如图,已知AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证:
BADCAE
A
B
.
E
C
D
.
全等三角形
(二)
AD=AE,∠1=∠2,由此你能得出哪些结论?
给出证明.
【知识要点】
定义:
SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“
SAS”,
几何表示
A
D
【例3】如图已知:
AE=AF,AB=AC,∠A=60°,∠B=24°,求∠BOE的度数.
B
E
B
C
E
F
O
如图,在
ABC和DEF中,
A
C
ABDE
F
B
E
ABC≌DEF(SAS)
【例4】如图,B,C,D在同一条直线上,△
ABC,△ADE是等边三角形,
BC
EF
求证:
①CE=AC+DC;②∠ECD=60°.
E
【典型例题】
A
【例1】已知:
如图,AB=AC,AD=AE,求证:
BE=CD.
A
B
D
C
【例5】如图,已知△ABC、△BDE均为等边三角形。
求证:
BD+CD=AD。
D
E
A
B
C
E
A
B
C
D
【例2】如图,已知:
点
D、E在BC上,且BD=CE,
.
1
2
C
B
E
D
【巩固练习】
1.在△ABC和△ABC中,若AB=AB,AC=AC,还要加一个角的条件,使
△ABC≌△ABC
,那么你加的条件是(
)
A
.∠A=∠A
B.∠B=∠BC.
∠C=∠C
D.∠A=∠B
2.下列各组条件中,能判断△
ABC≌△DEF的是(
)
A
.AB=DE,BC=EF;CA=CDB.CA=CD;∠C=∠F;AC=EF
C
.CA=CD;∠B=∠E
D.AB=DE
;BC=EF,两个三角形周长相等
3.阅读理解题:
如图:
已知AC,BD相交于O,OA=OB,OC=OD.
那么△AOD与△BOC全等吗?
请说明理由.△ABC与△BAD全等吗?
请说明理
由.
小明的解答:
OA=OB
SAS
OD=OC
12
△AOD≌△BOC
D
C
而△BAD=△AOD+△ADB△ABC=△BOC+△AOB
2
1
所以△ABC≌△BAD
O
(1)你认为小明的解答有无错误;
(2)如有错误给出正确解答;
A
B
.
4.如图,点C是AB中点,CD∥BE,且CD=BE,试探究AD与CE的关系。
A
CD
BE
5.如图,AE是BAC的平分线,AB=AC
(1)若D是AE上任意一点,则△ABD≌△ACD,说明理由.
(2)若D是AE反向延长线上一点,结论还成立吗?
请说明理由.
B
1E
A
2D
C
6.如图,已知AB=AC,EB=EC,请说明BD=CD的理由
A
E
BDC
.
全等三角形
(二)作业
1.如图,已知AB=AC,AD=AE,BF=CF,求证:
BDF≌CEF。
A
DE
F
BC
2.如图,△ABC,△BDF为等腰直角三角形。
求证:
(1)CF=AD;
(2)CE⊥AD。
A
FE
CBD
3.如图,AB=AC,AD=AE,BE和CD相交于点O,AO的延长线交BC于点F。
求证:
BF=FC。
A
DE
O
BFC
4.已知:
如图1,AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、F在直线AC上,求证:
DE∥BF。
.
F
D
C
1
2
A
B
E
5.如图,已知AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE,
B
求证:
(1)BE=DC,
(2)BE⊥DC.
A
D
P
Q
C
E
6、已知,如图A、F、C、D四点在一直线上,AF=CD,AB//DE,且AB=DE,求证:
(1)△ABC≌△DEF
(2)∠CBF=∠FEC
.
7、已知:
如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:
BD=CE
.
(2)求∠AFN大小。
N
FM
D
E
ACB
8、如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接BE、DG,
(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论。
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?
若存在,请说出旋转过
11、已知如图,F在正方形ABCD的边BC边上,E在AB
的延长线上,FB=EB,AF交CE于G,求∠AGC的度数.
DC
FG
程,若不存在,说明理由。
9、已知:
如图,AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证:
(1)AM=BN
ABE
12、如图,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF是正方形,连接AF、BD.
(1)观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想;
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC
的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题
(1)中猜想的
结论是否仍然成立?
若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由.
A
D
ECB
F
.
全等三角形(三)ASA
【知识要点】
A
ASA公理:
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
如图,在ABC与DEF中
A
D
B
AB
DE
D
B
E
ABCDEF(ASA)
E
ASA公理推论(AAS公理):
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
【典型例题】
【例1】下列条件不可推得
ABC和
A'B'C'全等的条件是(
)
A、
''
,
A
'
'
AB=AB
A,
CC
B、AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'
C、
AB=A'
B',AC=A'C',
B
B'
D、
AB=A'
B',
A
A'
,
B
B'
A
D
【
例2
】
已
知
如
图
,
A
D,AB
DE,AB//DE,求证:
BC=EF
BE
CF
【例3】如图,AB=AC,BC,求证:
AD=AE
A
.
.
C
【例4】已知如图,12,34,点P在AB上,可以得出PC=PD吗?
试
证明之.
B
F
12
DC
P
34
A
【例5】如图,123,AC=AE,求证:
DE=BC
A
2
1
4
E
3O
BDC
DE
.
【例6】如图,AD,12,AC,BD相交于O,
求证:
①AB=CD②OA=ODAD
O
12
BC
【巩固练习】
4.如图,AB,CD相交于O,E,F分别在AD,BC上,若EOD
FOB,求证:
AOECOF
A
C
O
EF
DB
1.如图,AB//CD,AF//DE,BE=CF,求证:
AB=CD
AB
E
F
CD
2.如图,AD//BC,O为AC中点,过点O的直线分别交AD,BC于点M,N,求证:
AM=CN
AB
5.如图,AB//CD,AD//BC,求证:
AB=CD
A
1
B
3
4
D
2
C
ON
M
DC
3.求证:
两个全等三角形ABC与A'B'C'的角平分线AD、A'D'相等
AA'
B
C
'
D
B'
C
D'
6.已知,如图AB=DB,CE,12,求证:
AC=DE
D
A
1
C
B2
E
.
全等三角形(三)作业
1.已知,如图,AD,12,AFCD,求证:
AB=DE
E
A
F1
D
2
C
B
2.如图,已知AEDADE,BAECAD,求证:
BE=CD
A
BEDC
3.已知如图,AB=AD,BD,BADCAE,求证:
AC=AE
.
4.已知如图,在ABC中,AD平分BAC,ADBC,求证:
ACDABD
B
D
CA
5.已知如图,ACBDBC,DCAABD,AC10cm,求BD的长(要
求写出完整的过程)
A
D
CB
6、如图△ABC中,∠B=∠C,D,E,F分别在AB,BC,AC上,且BD=CE,∠DEF=∠B
D
B
C
E
A
求证:
ED=EF
A
F
D
BC
E
.
.
7、
(1)如图1,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,10、已知:
如图,AB=CD,AD=BC,O为BD中点,过O作直线分别与DA、BC
连结EG,试判断△ABC与△AEG面积之间的关系,并说明理由.的延长线交于E、F.求证:
OE=OF
(2)园林小路,曲径通幽,如图2所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角
形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米,内圈的所有三角形
的面积之和是
b平方米,这条小路一共占地多少平方米?
E
G
A
D
11、如图在△ABC和△DBC中,
∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点.求证:
F
PA=PD.
B
C
(图1)
8、已知:
如图,AD为CE的垂直平分线,EF∥BC.求证:
△EDN≌△CDN≌△EMN.
12、已知:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中点,DF交CB延长
线于E,CE=CD.
求证:
∠ADE=∠EDC.
9、已知:
如图,AB=AC,AD=AE,求证:
△OBD≌△OCE
13、已知:
如图,OA=OE,OB=OF,直线FA与BE
交于C,AB和EF交于O,求证:
∠1=∠2.
.
.
全等三角形(四)
强化训练
1、如图,△
ABC是等边三角形,点
D、E、F分别是线段AB、BC、CA上
的点,
(1)若AD
BECF,问△DEF是等边三角形吗?
试证明你的结论;
(2)若△DEF是等边三角形,问
ADBECF成立吗?
试证明你的结论.
A
F
D
B
E
C
2、如图所示,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延长线于M,求证:
2∠M=(∠ACB-
∠B)
A
12
E
4、已知:
如图,
△ABC
中,
ABC
45°CD
AB
于
D
,
BE
平分
ABC
,
,
且BE
AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结
DH与BE相交
于点G.
A
1BF;
(1)求证:
BF
AC;
(2)求证:
CE
2
D
G
F
E
B
H
C
5、如图,点O是等边△
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