初中二次函数知识点汇总.docx
- 文档编号:12190874
- 上传时间:2023-04-17
- 格式:DOCX
- 页数:37
- 大小:232.27KB
初中二次函数知识点汇总.docx
《初中二次函数知识点汇总.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中二次函数知识点汇总.docx(37页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初中二次函数知识点汇总
★二次函数知识点汇总^
1.定义:
一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数.
2.二次函数yax2的性质
(1)抛物线yax2(a0)的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.
(2)函数yax2的图像与a的
符号关系.
1当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点
3.
二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
2
b.4acb,k
2a4a
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
1
axh2k:
⑤yax2bxc.
yax2:
②yax2k:
③yaxh2:
④y
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点
①a决定抛物线的开口方向:
当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
2平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的
开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
222
(1)公式法:
yax2bxcax—似b,二顶点是(—,曲b),对称轴是直线
2a4a2a4a
b
x.
2a
⑵配方法:
运用配方法将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式,得到顶点为(h,k),对
称轴是xh.
⑶运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★
9.抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用
⑴a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样.
⑵b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线x上,
2a
故:
①b0时,对称轴为y轴;②bo(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;
a
3b0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
a
⑶c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.
当x0时,yc,:
抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0,c):
①c0,抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则卫0.
a
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当a0时
开口向上
当a0时
x0(y轴)
(0,0)
x0(y轴)
(0,k)
(h,0)
(h,k)
开口向下
2
/b4acb、(c,,)
2a4a
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.
⑵顶点式:
yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:
已知图像与x轴的交点坐标花、X2,通常选用交点式:
yax人xX2.
12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)
(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).
(3)抛物线与x轴的交点
二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标Xj、x?
,是对应一元二次方程
ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
1有两个交点0抛物线与x轴相交;
2有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;
3没有交点0抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标
相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2bxck的两个实数根.
(5)一次函数
由方程组
ykxnk0的图像1与二次函数yax2bxca0的图像G的交点,
ykx
n的解的数目来确定:
yax2bxc
1方程组有两组不同的解时I与G有两个交点;
2方程组只有一组解时I与G只有一个交点;③方程组无解时I与G没有交点.
⑹抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线yax2bxc与x轴两交点为
A%,0,
BX2,0,由于X1、X2是方程ax2bxc0的两个根,故
bc
x1%
_,x1X?
一aa
13.二次函数与一元二次方程的关系:
(1)一元二次方程yax2bxc就是二次函数yax2bxc当函数y的值为0时的情况.
(2)二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况:
有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数yax2bxc的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当
y0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc0的根.
(3)当二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程yax2bxc有两个不相等的实数根;当二次函数yax2bxc的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根;当二次函数yax2bxc的图象与x轴没有交点时,则一元二次方程ax2bxc0没有实数根
14.二次函数的应用:
(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值;
(2)二次函数的应用包括以下方面:
分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系;
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
15.解决实际问题时的基本思路:
(1)理解问题;
(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.
二次函数知识点
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做
二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,c可
以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
yax2的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
y轴
x0时,y随x的增大而增大;x0时,y随x的增大而减小;x0时,y有最小
值0.
向下
y轴
x0时,y随x的增大而减小;x0时,y随x的增大而增大;x0时,y有最大
值0.
质:
上加下减。
a的绝对值越大,
抛物线的开口越
小。
2.
yax
的性
a的符号
的符号
开口方
向
顶点坐
对称
轴
性质
3.
向上
开口方
顶点坐
x0时,y随x的增大而增大;x0时,
y随x的增大而减小;x0时,y有最小
的性
质:
左加右减。
向上
对称x
轴轴
0时,y随x的增大而减小;
性质
x0时,
刃随x的增大而增大;x0时,y有最大
xh时,y随x的增大而增大;xh时,
值c.
X=h
y随x的增大而减小;xh时,y有最小
向下
X=h
xh时,y随x的增大而减小;xh时,
y随x的增大而增大;xh时,y有最大
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
xh时,y随x的增大而增大;xh时,
y随x的增大而减小;xh时,y有最小
值k.
2
4.yaxhk的性质:
向下
X=h
xh时,y随x的增大而减小;xh时,
y随x的增大而增大;xh时,y有最大
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2
,确定其顶点坐标h,k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,
处,具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,概括成八个字“左加右减,上加下减”•
方法二:
负下移”.
⑴yax2bx
c沿y轴平移:
向上(下)平移m个单位,y
ax2bxc变成
yax2bxc
m(或yax2bxcm)
⑵yax2bx
c沿轴平移:
向左(右)平移m个单位,
ax2bxc变成
ya(xm)b(xm)c(或ya(xm)b(xm)
c化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方般我们选取的五点为:
顶点、2h,c、与x轴的交点为,0,x2,0(若
x轴的交点,与y轴的交点.
五点绘图法:
利用配方法将二次函数yax2bx
向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与
六、二次函数yax2bxc的性质
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,
a的正负决定开口方向,a的大小决
y有最小值4a^-b-
4a
大;
大.
定开口的大小.
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.⑴在a0的前提下,
当b0时,
b
2a
_b_
2a
0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
0,即抛物线的对称轴就是y轴;
当b
0时,
当b
0时,
b
2a
0,
即抛物线对称轴在y轴的右侧.
在a
0的前提下,
结论刚好与上述相反,即
当b
0时,
b
2a
0,
即抛物线的对称轴在
y轴右侧;
当b
0时,
_b_
2a
0,
即抛物线的对称轴就是
y轴;
当b
0时,
b
2a
0,
即抛物线对称轴在y轴的左侧.
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
ab的符号的判定:
对称轴x—在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概
2a
括的说就是“左同右异”
总结:
3.常数项c
⑴当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
⑶当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1.关于x轴对称
yax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
22
yaxhk关于x轴对称后,得到的解析式是yaxhk;
2.关于y轴对称
yax2bxc关于y轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
22
yaxhk关于y轴对称后,得到的解析式是yaxhk;
3.关于原点对称
yax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
22
yaxhk关于原点对称后,得到的解析式是yaxhk;
4.关于顶点对称(即:
抛物线绕顶点旋转180°)
b2
yax2bxc关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc一;
2a
22
yaxhk关于顶点对称后,得到的解析式是yaxhk.
5.关于点m,n对称
22
yaxhk关于点m,n对称后,得到的解析式是yaxh2m2nk
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此
a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数:
1
次方程ax2bxc0a0的两根.这两点间的距离
AB
X2为
当b24ac0时,图象与x轴交于两点,0,Bx?
,0(为x?
),其中的为,x?
是一元二
2当0时,图象与x轴只有一个交点;
3当0时,图象与x轴没有交点
1'当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;
2'当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0.
2
2.抛物线yaxbxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
3.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,
或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x
的二次函数;下面以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内
抛物线与x轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与x轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与x轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
在联系:
图像参考:
十一、函数的应用
刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
二次函数考查重点与常见题型
1•考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以x为自变量的二次函数y(m2)x2m2m2的图像经过原点,则m的值是_
2•综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内,那么函数ykx2bx1的图像
5
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x-,求这条抛物线的解析式。
3
4•考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线yax2bxc(0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵
3
坐标是—2
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5•考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1
(1)二次函数yax2bxc的图像如图1,则点M(b,C)在()
a
A•第一象限B•第二象限C•第三象限D•第四象限
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的图象如图2所示,?
则下列结论:
①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
(1)
(2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,0)、(xi,0),且1 轴的正半轴的交点在点(0,2)的下方.下列结论: ①a0③4a+c<0 ④2a-b+1>0,其中正确结论的个数为() A1个B.2个C.3个D.4个 答案: D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知: 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为() A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2) 答案: C 例4、(2006年烟台市)如图(单位: m,等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym. (1)写出y与x的关系式; (2)当x=2,3.5时,y分别是多少? (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间? 求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例5、已知抛物线y=—x2+x--. 22 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴. (2)若该抛物线与x轴的两个交点为AB,求线段AB的长. 【点评】本题 (1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第 (2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系. 例6.已知: 二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于A(x1,0),B(x2,0) 两点(冷X2),交y轴负半轴于C点,且满足3A0=0B (1)求二次函数的解析式;⑵在二次函数的图象上是否存在点M使锐角/MC0ZAC0若存在,请你求出M点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由. (1)解: 如图•••抛物线交x轴于点A(X1,0),B(x2,0), 则X1•X2=3<0,又tX1 X2>0,X1<0,■/30A=0BX2=-3x1. 22 •X1•X2=-3x1=-3.•X1=1. x1<0,二X1=-1.•.X2=3. •••点A(-1,0),P(4,10)代入解析式得解得a=2b=3 •.二次函数的解析式为y-2x2-4x-6. ⑵存在点M使/MC0 ⑵解: 点A关于y轴的对称点A'(1,0), •直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24). •符合题意的x的范围为-1 当点M的横坐标满足-1 例7、“已知函数y—x2bxc的图象经过点A(c,-2),II 2 求证: 这个二次函数图象的对称轴是x=3。 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (—)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式? 若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。 (2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。 点评: 对于第(—)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。 对于第 (2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是 所以所求二次函数解析式为y — (2)在解析式中令y=0,得-x 2 —2 x 2 23x 3x 2.图象如图所示。 0,解得x—3.5,X23.5. 可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标 第(—)小题中的解析式就可以了。 而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,等。 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+.5,0)”或“抛物线与x轴的一 个交点的坐标是(3.5,0). 令x=3代入解析式,得y5, 2 —25 所以抛物线y-x3x2的顶点坐标为(3,-), 22 5 所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,5)等等。 2 函数主要关注: 通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例—已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE如图),其中AF=2BF=—试 在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积. 【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力•同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间. 例2某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)? 与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: x(元) 15 20 30 … y(件) 25 20 10 … 若日销售量y是销售价x的一次函数. (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? ? 此时每日销售利润是多少元? 15kb25 【解析】 (1)设此一次函数表达式为y=kx+b•则b'解得k=-1,b=40,? 2kb20 即一次函数表达式为y=-x+40. (2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元 22 w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225. 产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元. 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初中 二次 函数 知识点 汇总