抽屉原理.docx
- 文档编号:12189061
- 上传时间:2023-04-17
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:44.99KB
抽屉原理.docx
《抽屉原理.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《抽屉原理.docx(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
抽屉原理
第六讲抽屉原理
[画龙点睛]
抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于(m+1)件。
理解抽屉原理要注意几点:
(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系,要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多,至于多多少,这倒无妨。
(2)“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法,不规定每个抽屉中都要放物品,即有些抽屉可以是空的,也不限制每个抽屉放物品的个数。
(3)抽屉原理只能用来解决存在性问题,“至少有一个”的意思就是存在,满足要求的抽屉可能有多个,但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
(4)将a件物品放入n个抽屉中,如果a÷n=m……b,其中b是自然数,那么由抽屉原理2就可得到,至少有一个抽屉中的物品数不少于(m+1)件。
[真题欣赏]
例1在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除?
分析与解:
因为任何整数除以3,其余数只可能是0,1,2三种情形。
我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。
一个整数除以3的余数属于哪种情形,就将此整数放在那个“抽屉”里。
将四个自然数放入三个抽屉,至少有一个抽屉里放了不止一个数,也就是说至少有两个数除以3的余数相同。
这两个数的差必能被3整除。
例2有苹果和桔子若干个,任意分成5堆,能否找到这样两堆,使苹果的总数与桔子的总数都是偶数?
分析与解:
由于题目只要求判断两堆水果的个数关系,因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。
对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能,所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形:
(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),
其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性,第二个字表示桔子数的奇偶性。
将这4种情形看成4个抽屉,现有5堆水果,根据抽屉原理可知,这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。
由于奇数加奇数为偶数,偶数加偶数仍为偶数,所以在同一个抽屉中的两堆水果,其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。
例3六年级有100名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。
问:
至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?
分析与解:
首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。
订一种杂志有:
订甲、订乙、订丙3种情况;
订二种杂志有:
订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况;
订三种杂志有:
订甲乙丙1种情况。
总共有3+3+1=7(种)订阅方法。
我们将这7种订法看成是7个“抽屉”,把100名学生看作100件物品。
因为100=14×7+2。
根据抽屉原理2,至少有14+1=15(人)所订阅的报刊种类是相同的。
例4夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。
规定每人必须参加一项或两项活动。
那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同?
分析与解:
本题的抽屉不是那么明显,因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”,所以应该把活动项目当成抽屉,营员当成物品。
营员数已经有了,现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。
因为“每人必须参加一项或两项活动”,共有3项活动,所以只参加一项活动的有3种情况,参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况,所以共有3+3=6(个)抽屉。
2000÷6=333……2,根据抽屉原理2,至少有一个抽屉中有333+1=334(件)物品,即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。
例5把一个长方形画成3行9列共27个小方格,然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。
是否一定有两列小方格涂色的方式相同?
分析与解:
将9列小方格看成9件物品,每列小方格不同的涂色方式看成不同的抽屉。
如果涂色方式少于9种,那么就可以得到肯定的答案。
涂色方式共有下面8种:
9件物品放入8个抽屉,必有一个抽屉的物品数不少于2件,即一定有两列小方格涂色的方式相同。
例6在下图所示的8行8列的方格表中,每个空格分别填上1,2,3这三个数字中的任一个,使得每行、每列及两条对角线上的各个数字的和互不相等,能不能做到?
分析与解:
在8行8列的方格表中,8行有8个和,8列也有8个和,2条对角线有2个和,所以一共有8+8+2=18(个)和。
因为题目问的是,这18个和能否互不相等,所以这18个和是物品,而和的不同数值是抽屉。
按题目要求,每个和都是由1,2,3三个数中任意选8个相加而得到的。
这些和中最小的是8个都是1的数相加,和是8;最大的是8个都是3的数相加,和是24。
在8至24之间,不同的和只有24-8+1=17(个)。
将这17个不同的和的数值作为抽屉,把各行、列、对角线的18个和作为物品。
把18件物品放入17个抽屉,至少有一个抽屉中的物品数不少于2件。
也就是说,这18个和不可能互不相等。
[精题讲解]
例1用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色(见右图),每个小方格涂一种颜色。
是否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?
例2学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。
问:
至少有多少名学生,才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同?
例3五
(1)班张老师在一次数学课上出了两道题,规定每道题做对得2分,没做得1分,做错得0分。
张老师说:
可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。
那么,这个班最少有多少人?
例4.要把85个球放入若干个盒子中,每个盒子中最多放7个。
问:
至少有几个盒子中放球的数目相同?
例5.至少取出多少个真分数,才可以保证其中必有两个真分数之差小于
例6.红光小学五
(2)班选两名班长。
投票时,每个同学只能从4名候选人中挑选2名。
这个班至少应有多少个同学,才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票?
例7如右图,分别标有数字1,2,…,8的滚珠两组,放在内外两个圆环上,开始时相对的滚珠所标数字都不相同。
当两个圆环按不同方向转动时,必有某一时刻,内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对
例8在圆周上放着100个筹码,其中有41个红的和59个蓝的。
那么总可以找到两个红筹码,在它们之间刚好放有19个筹码,为什么?
例9在例6中留有一个疑问,现改述如下:
在圆周上放有5个筹码,其中有3个是同色的,那么这3个同色的筹码必有2个相邻。
不能。
例10圆周上有2000个点,在其上任意地标上0,1,2,…,1999(每一点只标一个数,不同的点标上不同的数)。
求证:
必然存在一点,与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。
例11设有4×28的方格棋盘,将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种。
试证明:
无论怎样涂法,至少存在一个四角同色的长方形。
例12从1,2,3,…,100这100个数中任意挑出51个数来,证明在这51个数中,一定:
(1)有2个数互质;
(2)有2个数的差为50;
(3)有8个数,它们的最大公约数大于1。
[拓展训练]
1.在任意的五个自然数中,是否其中必有三个数的和是3的倍数
2.一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1,2,3,4的各有10块。
问:
一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块号码相同的木块?
3.篮子里有苹果、梨、桃和桔子,现有81个小朋友,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的?
4.五年级有47名学生参加一次数学竞赛,成绩都是整数,满分是100分。
已知3名学生的成绩在60分以下,其余学生的成绩均在75~95分之间。
问:
至少有几名学生的成绩相同?
5.把125本书分给五
(2)班学生,如果其中至少有1人分到至少4本书,那么,这个班最多有多少人?
6.任意将若干个小朋友分为五组。
证明:
一定有这样的两组,两组中的男孩总数与女孩总数都是偶数。
7.用1,2,3,4这4个数字任意写出一个10000位数,从这个10000位数中任意截取相邻的4个数字,可以组成许许多多的四位数。
这些四位数中至少有多少个是相同的?
8.从1,2,3,…,100这100个数中任意挑出51个数来,证明在这51个数中,一定:
(1)有2个数互质;
(2)有2个数的差为50;
(3)有8个数,它们的最大公约数大于1。
9.有一个生产天平上用的铁盘的车间,由于工艺上的原因,只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间。
现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平,问:
最少要生产多少个盘子,才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子?
10.求证:
可以找到一个各位数字都是4的自然数,它是1996的倍数。
11.在一个礼堂中有99名学生,如果他们中的每个人都与其中的66人相识,那么可能出现这种情况:
他们中的任何4人中都一定有2人不相识(假定相识是互相的)。
12.甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色。
首先,甲任选3条棱并把它们涂上红色;然后,乙任选另外3条棱并涂上绿色;接着甲将剩下的6条棱都涂上红色。
问:
甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色?
13.六
(1)班有49名学生。
数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说:
“我可以断定,本班同学至少有4人成绩相同。
”请问王老师说得对吗?
为什么?
14.现有64只乒乓球,18个乒乓球盒,每个盒子里最多可以放6只乒乓球,至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同?
15.某校初二年级学生身高的厘米数都为整数,且都不大于160厘米,不小于150厘米。
问:
在至少多少个初二学生中一定能有4个人身高相同?
16.从1,2,…,100这100个数中任意选出51个数,证明在这51个数中,一定:
(1)有两个数的和为101;
(2)有一个数是另一个数的倍数;
(3)有一个数或若干个数的和是51的倍数。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
有
9块
9个
3名
41人
40个
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
21个
两人不相识
不能
对
4个
34个
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 抽屉 原理