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6第5讲第2课时直线与椭圆
第2课时 直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系(师生共研)
已知直线l:
y=2x+m,椭圆C:
+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有且只有一个公共点;
(2)没有公共点.
【解】 将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组
将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③
方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(1)当Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(2)当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
直线与椭圆位置关系判断的步骤
(1)联立直线方程与椭圆方程.
(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程.
(3)当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时,直线与椭圆相离.
不论k为何值,直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,7)
C.[1,7)D.(1,7]
解析:
选C.直线y=kx+1恒过定点(0,1),由题意知(0,1)在椭圆+=1上或其内部,所以有≤1,得m≥1.又椭圆+=1的焦点在x轴上,所以m<7.综上,1≤m<7.
弦长及弦中点问题(师生共研)
(1)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( )
A.2B.
C.D.
(2)(一题多解)(2019·广西南宁毕业班摸底)已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( )
A.B.
C.D.
【解析】
(1)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,
由
消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,
则x1+x2=-t,x1x2=.
所以|AB|=|x1-x2|
=·
=·
=·,
当t=0时,|AB|max=.
(2)法一:
设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,得两式相减得=-·.
因为kAB==1,且x1+x2=-8,y1+y2=2,所以=,e===,故选C.
法二:
将直线方程x-y+5=0代入+=1(a>b>0),得(a2+b2)x2+10a2x+25a2-a2b2=0,设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,又由中点坐标公式知x1+x2=-8,所以=8,解得a=2b,又c==b,所以e==.故选C.
【答案】
(1)C
(2)C
(1)弦长公式
①若直线y=kx+m与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|;
②焦点弦(过焦点的弦):
最短的焦点弦为通径长,最长为2a.
(2)中点弦的重要结论
AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0).
①斜率:
k=-;
②弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值-.
已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=,直线l:
y=x-4交椭圆于M,N两点.则弦MN的长为________.
解析:
由已知得b=4,且=,
即=,所以=,
解得a2=20,所以椭圆方程为+=1.
将4x2+5y2=80与y=x-4联立,
消去y得9x2-40x=0,
所以x1=0,x2=,
所以所求弦长|MN|=|x2-x1|=.
答案:
椭圆与向量的综合问题(师生共研)
(1)已知点F1,F2是椭圆C:
+y2=1的焦点,点M在椭圆C上且满足|+|=2,O为坐标原点,则△MF1F2的面积为( )
A.B.
C.2D.1
(2)(2019·石家庄质量检测
(二))倾斜角为的直线经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A、B两点,且=2,则该椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.
【解析】
(1)|+|=2||=2,
所以||==c,所以MF1⊥MF2,
解得|MF1||MF2|=2,
所以三角形的面积S=×|MF1|×|MF2|=1.
(2)由题可知,直线的方程为y=x-c,与椭圆方程联立得,所以(b2+a2)y2+2b2cy-b4=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,又=2,所以(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),所以-y1=2y2,可得,所以=,所以e=,故选B.
【答案】
(1)D
(2)B
解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示,再利用函数、方程知识建立数量关系.
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系.
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题.
已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,·≥2,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
解析:
选C.根据题意不妨设B(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),因为·≥2,所以b2≥2c2,又因为b2=a2-c2,所以a2≥3c2,所以0<≤.
[基础题组练]
1.已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为( )
A.±1 B.±
C.D.±
解析:
选A.由消去y并整理,
得3x2+4mx+2m2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.
由题意,得=,
解得m=±1.
2.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
A.B.
C.D.
解析:
选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立解得交点A(0,-2),B,所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×=,故选B.
3.已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
解析:
选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,得+=0.因为线段AB的中点坐标为(1,-1),所以x1+x2=2,y1+y2=-2.将其代入上式,得=.因为直线AB的斜率为=,所以=,所以a2=2b2.因为右焦点为F(3,0),所以a2-b2=c2=9,解得a2=18,b2=9.所以椭圆E的方程为+=1.故选D.
4.已知椭圆C:
+=1(a>b>0)与直线y=x+3只有一个公共点,且椭圆的离心率为,则椭圆C的方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
解析:
选B.将直线方程y=x+3代入C的方程并整理得(a2+b2)x2+6a2x+9a2-a2b2=0,由椭圆与直线只有一个公共点得,Δ=(6a2)2-4(a2+b2)(9a2-a2b2)=0,化简得a2+b2=9.又由椭圆的离心率为,所以==,则=,解得a2=5,b2=4,所以椭圆方程为+=1.
5.已知点M在椭圆G:
+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆G的方程;
(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.
解:
(1)因为2a=4,所以a=2.
又点M在椭圆G上,
所以+=1,解得b2=4.
所以椭圆G的方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,
由
得4x2+6mx+3m2-12=0.①
设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1 因为AB是等腰三角形PAB的底边,所以PE⊥AB. 所以PE的斜率k==-1. 解得m=2. 此时方程①为4x2+12x=0,解得x1=-3,x2=0, 所以|AB|=|x1-x2|=3. 此时,点P(-3,2)到直线AB: x-y+2=0的距离d==, 所以△PAB的面积S=|AB|·d=. 6.已知椭圆+y2=1, (1)过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程; (2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程. 解: (1)设弦的端点为P(x1,y1),Q(x2,y2),其中点是M(x,y). ①-②得=-=-, 所以-=, 化简得x2-2x+2y2-2y=0(包含在椭圆+y2=1内部的部分). (2)由 (1)可得弦所在直线的斜率为k=-=-,因此所求直线方程是y-=-,化简得2x+4y-3=0. [综合题组练] 1.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是________. 解析: 设P(x,y),则·=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,① 将y2=b2-x2代入①式解得 x2==, 又x2∈[0,a2],所以2c2≤a2≤3c2, 所以e=∈. 答案: 2.(综合型)设直线l: 2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′,若l′与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为的点P的个数为________. 解析: 直线l′的方程为2x+y-2=0,所以交点分别为椭圆顶点(1,0)和(0,2),则|AB|=,由△PAB的面积为,得点P到直线AB的距离为,而平面上到直线2x+y-2=0的距离为的点都在直线2x+y-1=0和2x+y-3=0上,而直线2x+y-1=0与椭圆相交,2x+y-3=0与椭圆相离,所以满足题意的点P有2个. 答案: 2 3.(2019·洛阳市第一次统考)已知短轴的长为2的椭圆E: +=1(a>b>0),直线n的横、纵截距分别为a,-1,且原点O到直线n的距离为. (1)求椭圆E的方程; (2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A,B两点,若椭圆E上存在一点C满足+-2=0,求直线l的方程. 解: (1)因为椭圆E的短轴的长为2,故b=1. 依题意设直线n的方程为-y=1,由=,解得a=,故椭圆E的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 当直线l的斜率为0时,显然不符合题意. 当直线l的斜率不为0或直线l的斜率不存在时,F(,0),设直线l的方程为x=ty+, 由得(t2+3)y2+2ty-1=0, 所以y1+y2=-,y1y2=-,① 因为+-2=0,所以x3=x1+x2,y3=y1+y2,又点C在椭圆E上, 所以+y=+= ++=1, 又+y=1,+y=1,所以x1x2+y1y2=0,② 将x1=ty1+,x2=ty2+及①代入②得t2=1,即t=1或t=-1. 故直线l的方程为x+y-=0或x-y-=0. 4.(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知过点A(0,1)的椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆C上的任意一点,且|BF1|,|F1F2|,|BF2|成等差数列. (1)求椭圆C的标准方程; (2)直线l: y=k(x+2)交椭圆C于P,Q两点,若点A始终在以PQ为直径的圆外,求实数k的取值范围. 解: (1)因为|BF1|,|F1F2|,|BF2|成等差数列,所以2|F1F2|=|BF1|+|BF2|=(|BF1|+|BF2|), 由椭圆定义得2×2c=×2a,所以c=a.又椭圆C: +=1(a>b>0)过点A(0,1),所以b=1,所以c2=a2-b2=a2-1=a2, 得a=2,c=. 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程得消 去y得,(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0. 因为直线l: y=k(x+2)恒过点(-2,0),且此点为椭圆C的左顶点,所以不妨设x1=-2,y1=0. 由一元二次方程根与系数的关系可得,x1+x2=, 所以x2=, 又y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2)+4k, 所以y2=. 由点A在以PQ为直径的圆外,得∠PAQ为锐角,即·>0, 因为=(-2,-1), =(x2,y2-1), 所以·=-2x2-y2+1>0,即+-1<0,整理得,20k2-4k-3>0, 解得k<-或k>. 所以实数k的取值范围是∪.
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