微分几何试题库.docx
- 文档编号:12186079
- 上传时间:2023-04-17
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:102.67KB
微分几何试题库.docx
《微分几何试题库.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分几何试题库.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
微分几何试题库
微分几何
—、判断题
1、两个向量函数之和的极限等于极限的和(V)
2、二阶微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudv-B(u,v)dv2=0总表示曲面上两族曲线•()
3、若r(t)和s(t)均在[a,b]连续,贝U他们的和也在该区间连续(V)
4、向量函数寓具有固定长的充要条件是对于t的每一个值,
s(t)的微商与s(t)平行(X)
5、等距变换一定是保角变换.()
6、连接曲面上两点的所有曲线段中,测地线一」定是最短的.()
7、常向量的微商不等于零(X)
8螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点(1,0,0)的切线为X=Y=Z(X)
9、对于曲线s=s(t)上一点(t=t。
),若其微商是零,则这一点为曲线的正常点
(X)
10、曲线上的正常点的切向量是存在的(V)
11、曲线的法面垂直于过切点的切线(V)
12、单位切向量的模是1(V)
13、每一个保角变换一定是等距变换(X)
14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.()
15、坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0,这里F是第一基本量.()
、填空题
16、曲面上的一个坐标网,其中一族是测地线
17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t在点(1,0,0)的法平面是y+z=0,
彳b
18设给出c类曲线:
r=r(t),a乞t乞b.则其弧长可表示为.r⑴dt
a
19、已知r={cosx,sin3x,cos2x},0 =^{SolS,4xx-,: 25 {sinx,cosx,0}, {4cosx,-4sinx,-3} 5 68 25sin2x,-25sin2x 20、曲面的在曲线,如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向,则称为渐进曲线。 21、旋转面r={®(t)cos日严(t)sin日,即(t)},他的坐标网是否为正交的? 是 傾“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的法线线. 23、任何两个向量p,q的数量积pq=p|qcos(pq) 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是常数数(填“常数”或“非常数”). 26若曲线(c)用自然参数表示r二r(t),则曲线(c)在P(s。 )点的密切平面的方程是 (R-r(s°),r(s0),r(s0))0 K=2,平均曲率H=0,点(1,0,0)处沿方向du: dv=2的法曲 (u2+36)2 率J: 后,点(1,。 0)处的两个主曲率分别为 66 3737 30、(Cohn-Voeeen定理)两个卵形面之间如果存在一个保长映射,则这个映射一定是R3中的合同或对称。 31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。 32、—个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33.求曲线x=tsint,y=tcost,z=tet在原点的密切平面,法平面,切线方程。 解: r={tsint,tcost,tet}, r(t)={sinttcost,cost-tsint,ettet}, r(t)二{2cost-tsint,—2sint-tcost,2ette\ 在原点处t=0 r(0)二{0,0,0},r(0)={0,1,1},r(0)={2,0,2}. 在原点处切平面的方程为: (R-r(0),r(0),r(0))=0 011 34、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。 解设r={u,v,u3-v3} 22 则ru={1,0,3u},J二{0,1,-3v}, 414{_3u2,3v2,1} |rurv|-,.9u49v41 ruu={0,0,6u},⑰,rvv={0,0,-6v} M=nTuv=0,N=nVw= 因渐近曲线的微分方程为 22 Ldu2MdudvNdv二0 即udu2二vdv2或,udu士』vdv=0 3 渐近曲线为u2 333 =v^C1或(-u),=v,C2 35求双曲抛物面r二{a(u•v),b(u-v),2uv}的第一基本形式 解: r二{a(uv),b(u-v),2uv},5={a,b,2v},={a,-b,2u}. E二ruru二a2b24v2,F二rurv二a2「b24uv, G二rvrv二a2b24u2. 2222222222 I=(ab4v)du2(a-b4uv)dudv(ab4u)dv 36.计算球面r=(Rcos^cos「,Rcos^sin: Rsin^)的第二基本形式 解: r二{Rcos^cos1Rcosin,Rsinr),rF: ={-Rcosrsin;: Rcos^cos,C}, \-{-Rsin^cos,-Rsin^sin,Rcosv}, 由此得到 E=r: r=R2co^,F=r: r^=0, _r_M EG-F2 e1 -Rcossin 「Rsincos e3 0 ={coscos〔costsin,sin*, 又由于 一Rcosvcos「,一Rcosvsin,0}, r丁={Rsinvsin「,—Rsincos,0}, r口-{-Rcos^cos[-Rcos^sin\-Rsin斗所以 2 L=r竹n=-Rcos(J,M=rn=0,N=r口n_-R, 因而得到 n=-(Rcos2m2Rd^2) 37.如果曲面的第一基本形式d£二d『2dv22,计算第二类克力斯托费尔符 (u+v+C) 号. 解: 因为 G=(22)2 (uvc) 所以 所以 38、已知曲面的第一基本形式为I=v(du2dv2),v0,求坐标曲线的测地曲率。 解E二G=v, F=0, Gu=0,Ev=1 u-线的测地曲率 it _Ev_1 gu E,G2v.v v-线的测地曲率 -Gu_0 gv 2G-E 39、问曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线】是测地线吗? 为什么? 答: 曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线]是测地线• 事实上,设一: u"=d(s) 则丨的切向量为 记『唱,,D,da1j: 丽’Da"j屈 则曲线-的切向量'沿】平行移动=D? =0=Da: 二0,Da2二0 (k二1,2) 二-为测地线 40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线. 解: 因为r二{ucosv,usinv,bv}, 22—b E=1,F=0,G二u2b2,L=0,M,N=0. V'u^b2 由于L=N=0,所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是 r={u0cosv,u0sinv,bv}, 这是螺旋线,另一族渐近线是 r二{ucosvo,usinVo,bv。 }, 这是直线. 41、设空间两条曲线-和C的曲率处处不为零,若曲线-和C可以建立——对应,且在对应点的主法线互相平行,求证曲线丨和C在对应点的切线夹固定角• 证设-: r=r(s),-: ? "=r"(s),则由一: /-“知一: "=-, 从而弓九=0,匸: =0,(一竺「匚0 dsds ■-constant,即cos: ,,,..‘=C 这表明曲线】和C在对应点的切线夹固定角. 42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是 r(t)r(t)=0 证明必要性设r(t)二'(t)e(e为常单位向量),则 r(t)=■(t)e, 所以r(t)r(t)=0 充分性: r(t)二'(t)e(t)(e(t)为单位向量函数),则r(t)=‘(t)e(t)(t)e(t),r(t)r(t)「2(t)[e(t)e(t)]. 因为r(t)=0,于是'(t)=0,当r(t)r(t)三0,从而有 e(t)e(t)=0, 即e(t)//e(t),因为e(t)_e(t)(根根据e(t)=1),因此e(t)=0即e(t)为常向量,所以r(t)「(t)e(t) 有固定方向 43、给出曲面上一条曲率线丨,设丨上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角•求证丨是一条平面曲线• .4.0 - 证设1: r=r(u,v),】: u=u(s),v=v(s),其中s是】的自然参数,记 v-r,n,则rn二cost,两边求导,得rdn ds 由]为曲率线知dn//dr,即竺//匕》,因此: 黑/■nrd^-0 dsdsdsds 若.=0,则】为平面曲线; 若n匸=o,则因丨为曲面二上的一条曲率线,故d^.nd? .而 4o - Tn 44、求圆柱螺线R(t)二{acost,asint,bt}在t处的切线方程。 3 r(t)二{acost,asint,bt},r(t)={-asint,acost,b}, 3a 时,有r(3"{—l"aGb}. 所以切线的方程为 py) 如果用坐标表示,则得切线方程为 Y3a 2 ji Zb 3 2x—a_2Y一3a_Z巧 -3aab 45、求双曲螺线r二{acosht,asinht,at}从t=0起计算的弧长。 r={acosht,asinht,at}, 解: . r={asinht,acosht,a} 从t=0起计算的弧长为 =/|r(t)|dt=fJx"+y"+z'2dt sinh21a2cosh21adt a2 222 (sinht1)acoshtdt jdcosftfcosftdt =2asinht. 46、求球面r={RcosJcos,Rcos)sin,Rsin^}的第一基本形式。 r={Rcostcos: Rcostsin,Rsin二},可得出 解: 由r二{-Rcosvsin,Rcosvcos,0}, 二{「Rsin^cos: -Rsinsin: Rcos}, 由此得到曲面的第一类基本量 E=rr=R2co, F二r: r.厂0, 2 G=Gr厂R 因而 I=R2co◎d「2R2dv2 47、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。 证明设k1: : : k2(如果K1K2,可以交换坐标u和v),由欧拉公式知 kn=«cos2寸k2(1_cos2寸)=k2(k^k2)cos^, 于是 k2_kn二(k2_kjco-0 因此 k2-kn 同样又可以得到 kn-匕=(k2「kjsin: 」亠0, 由此 即 ki—kn一k2 这就是说,主曲率k2,ki是kn法曲率的最大值和最小值。 48、曲面的第一基本形式为I=E(u)du2,G(u)dv2。 求证: (1)u-曲线是测地线; (2)V-曲线是测地线,当且仅当Gu(u)=O 证明: u-曲线的方程为dv=0.由 ", 得到 所以 J-0 代入刘维尔公式得 sinv-0, 因此得到u-曲线是测地线。 、‘兀d。 亠 (2)若u-曲线为测地线,由得—=0,则有 2ds 1: TnG. 0=00sin, 1Je血 49、R3中全体合同变换构成一个群,称为空间合同变换群。 证明: 因为 (1)空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换; (2)空间三个合同变换的组合满足合里律; (3)恒同变换I: Xi=Xi(^1,2,3)与空间任何合同变换T的组合 IT=TI=T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素; (4)空间任何合同变换一定有逆变换,而且这个逆变换还是空间合同变换。 50、沿曲线面上一条曲线平行移动时,保持向量的内积不变。 证明: 沿曲线(C)给出两个平行的向量场,在曲面上取正交坐标网 (u1,u2,则) 1212 u=ueue2,v=ve]ve2, du1W2dvW2门 u0,v20,dsdsdsds .2222 du1W1dv1W1门 u0,v0 ds dsdsds 2 z21121221\Wic =(uvuv—uv—uv)0ds 51、设曲线(C): r=rt是具有周期」的闭的正规平面曲线,如果把参数换成自然参数,则它的周期是L=『f(t)dt,L的闭曲线的周长. t也、/. 证明s(t+⑷)=[r(t)dt =【0r(t)dtr(t)dt, 因为 rt,二rt, 所以 『t••,t. 我们得到 s(t+㈢)=L+f|r/(t)|dt=L+s(t), 所以有 rsL=rstL=rst「=rst=rs. 52、对于空间简单的、正规闭曲线,至少存在一条切线与给定的方向I正交. 证明取I为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是 C: rs=&s,ys,zs;s0,L! 因而单位切向量为 a(s)J: (s);(s)Zs“ 根据微积分中值定理,存在0.0丄1使得 zL—z0二L-0z§0, 但是 zL1=z0, 所以 zSo"0, 即 as。 二xS0,yS0,0, 这表示ai Sl垂直于z轴,即与方向1正交。 53、单位球面上的曲线C,若kg=0,则 kk kkgkik—i 其中;=1 证明 设单位球面上的曲线C: r=rs由于 r2-1, 从而有 r*a=0, 所以 a・ar*k: =0, 即 由上式得 kr八krkr・: =O, 利用伏雷内公式,化简后得 - 丄kr・=0. k 若令n--r,由于 kg=k・n=-kr*, 则有 kk 但是单位球面上曲线的法曲率kn=1,并且由于 knk: 二k2, 所以 kg=;k2-1,二1. 因此当kg7时,有 •• kk T==-Z——,. kkgkJk2—1 2 为dU(if36)d2v,第二基本形式为=12dudv,高斯曲率
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分 几何 试题库
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)