届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学文试题解析版.docx
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届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学文试题解析版
2020届四川省资阳市
高三上学期第二次诊断考试数学(文)试题
一、单选题
1.已知集合Axx23x100,Bxx2n,nN,则AIB()
A.1,1,2B.1,2C.1,2,4D.0,1,2,4
【答案】C
【解析】解一元二次不等式化简集合A,集合B中的元素都是正整数,再根据集合的交
集的概念进行运算即可,
【详解】
因为Axx23x100{x|2x5},
所以AB{1,2,4}.
故选:
C
【点睛】
本题考查了解一元二次不等式,考查了集合的交集运算,属于基础题.
2.已知i为虚数单位,复数zi23i,则其共扼复数z()
A.23iB.23iC.32iD.32i
【答案】D
【解析】先根据复数的乘法运算计算得复数z,再根据共轭复数的概念可得答案.
【详解】
因为zi23i32i,
所以;32i.
故选:
D
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算,考查了共轭复数的概念,属于基础题.
3•已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形
n
ABCD(如图).若底面圆的弦AB所对的圆心角为一,则圆柱被分成两部分中较大部
3
分的体积为()
A.10n3.3
B.10n
D.2n3.3
【答案】A
【解析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案
【详解】
设截面ABCD将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为Vi,圆柱的体积为V,DC将
圆柱的底面分成的两部分中
较大部分的面积为Si,圆柱的底面积为S,
则S1
5
22122空
:
",
6
22
3
V
22
312,
S
22
4,
所以依题意可得呂,
VS
10[3
所以S132-.,
M»上12103、3
S4
故选:
A
【点睛】
本题考查了利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列
方程是解题关键,属于基础题•
4•在平面直角坐标系中,若角的终边经过点P
4n4n
sin,cos
33
则cos(
)
A.5
B.-C.
1
D.込
2
2
2
2
【答案】
D
【解析】
根据三角函数的定义计算可得答案•
【详解】
因为sin4
sin—
3
4
cos—
3
1
cos32,所以
1,
所以
cos
12
故选:
D
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值,考查了利用三角函数的定义求角的三角函数值,属于
基础题.
2
£X
5•函数fXr—-的图象大致是()
e1
【解析】根据函数值恒大于等于0,排除A,根据函数不是偶函数,排除C,根据x趋近于
正无穷时,函数值趋近于0,排除D,故选:
B.
【详解】
因为fx
函数fx
2
X
0,所以A不正确;
e1
2
x
——不是偶函数,图象不关于y轴对称,所以C不正确;
e1
当x0时,f(x)
2
X
x
e1
0,当x趋近于正无穷时,x2和ex1都趋近于正无穷,但
2
是ex1增大的速度大于x2增大的速度,所以fx—趋近于0,故D不正确.
ex1
故选:
B
【点睛】
本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键
1
6.执行如图所示的程序框图,
若输入x的值分别为2,-,输出y的值分别为a,b,
9
则ab()
c7
1
C.
D.-
4
4
2,再相加即可得到答案
A.4B.2
【答案】C
1
【解析】根据程序框图得到a-,b
4
【详解】由程序框图可知:
程序框图的功能是计算分段函数的函数值
211
当x2时,y2,所以a,
44
11
当x时,ylog32,所以b2,
99
17
所以ab—2-
44'
故选:
C
【点睛】
本题考查了利用程序框图计算分段函数的函数值,搞清楚程序框图的功能是解题关键
属于基础题.
2
7.已知椭圆牛
2a
2_
^21ab0的左顶点为A,上顶点为B,且OA、、3|OB(O
b
为坐标原点),则该椭圆的离心率为(
【答案】B
【解析】根据题意得a=3b以及a2
b2
c2,消去b,结合离心率的定义可得答案
【详解】
依题意可知a=•3b,即b―3
3
(33
a)2空a,
3
所以该椭圆的离心率e
故选:
B
【点睛】
本题考查了求椭圆的离心率
关键是由OA
J3|0B得到a=73b,属于基础题.
8.
关于函数fx3sin
n
2x-
3
n
R的图象向右平移一个单位长度后得到
12
gx图象,则函数g
A.
最大值为3
B.最小正周期为2n
C.
为奇函数
D.图象关于y轴对称
【答案】D
【解析】先根据图象的平移变换和诱导公式得
g(x)3cos2x1,再根据g(x)的解析
式可得答案•
【详解】
3sin(2x-)1
3cos2x1,
依题意可得g(x)3sin[2(x)]1
123
所以g(x)的最大值为4,最小正周期为,g(x)为偶函数,图象关于y轴对称.
故选:
D
【点睛】
本题考查了函数图像的平移变换,考查了诱导公式,考查了函数的最值,周期性和奇偶性
属于基础题9•部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数学意义上分形的生成是基于一
个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.分形几何学不仅让人们感悟到科学
与艺木的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义•如图,由
波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于-种分形,具体作法是
取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那
一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形.
图①豳图③图④
若在图④中随机选取一点,则此点取自阴影部分的概率为(
A.
9
28
c.27
D.
28
64
37
64
【答案】C
【解析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案
【详解】依题意可得:
图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积
图②中阴影部分的面积是大三角形面积的
图③中阴影部分的面积是大三角形面积的
9
16
归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的
27
64
所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取一点,则此点取自阴影部分的概率
为27.
64
故选:
C
【点睛】
本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题•
10•圆x2y22x2y20上到直线|:
xy0的距离为1的点共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
由此可得结论
【解析】
通过计算可知:
圆心到直线的距离等于圆的半径的一半
【详解】
圆X2y22x2y20可化为(x1)2(y1)24,
所以圆心为(1,1),半径r为2,
圆心(1,1)到直线l:
xy.20的距离为:
d111211,
V11
1
所以dr,
2
所以圆x2y22x2y20上到直线l:
xy20的距离为1的点共有3个.
故选:
C
【点睛】
本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题•
11•某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲
型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多能运
10吨且每天能运3次,甲型车每天费用320元,乙型车每天费用504元•若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆,运送这批水果的费用最少为
()
A.2400元B.2560元C.2816元D.4576元
【答案】B
【解析】设甲型车x辆,乙型车y辆,运送这批水果的费用为z元,依题意列出x,y所满
足的不等式组和目标函数,然后作出可行域,平移直线320x504y0,根据图形得到
最优解,代入最优解的坐标即可得到答案•
【详解】
设甲型车x辆,乙型车y辆,运送这批水果的费用为z元,
0x8
0y4
则,目标函数z320x504y,
24x30y180
xN,yN
0x8
作出不等式组0y4所表示的平面区域,如图所示的阴影部分:
24x30y180
作直线320x504y0,并平移,分析可得当直线过点(8,0)时,z取得最小值即zmin832005042560元.
故选:
B
【点睛】
本题考查了利用线性规划求最小值,解题关键是找到最优解,属于基础题.
12.已知直线y
ax1与曲线fxexb相切,则ab的最小值为(
)
1
1
1
2
A.-
B.-
c.
D.
4e
2e
e
e
【答案】B
【解析】设切点为(X0,e'b),利用导数的几何意义可得XIna,将切点(x0,ex°b)
坐标代入直线ya(x1),可得aba2Ina,再构造函数利用导数可得最小值.
【详解】
设切点为(Xo’e"b),
因为f(x)exb,所以f(x)ex,
所以f(怡)ex0a,所以X。
lna,
又切点(x0)ex0b)在直线ya(x1)上,
所以ex0ba(x01),
所以abax0a,
所以bax0alna,
所以aba21na,
令g(a)a2Ina(a0),
21
则g(a)2aInaa2alnaaa(2Ina1),
a
令g(a)°,得0ae
1
令g(a)0,得ae2,
ae
ii
所以g(a)在(°e2)上递减,在(e2)上递增,
2丄丄丄2
所以ae2时,g(a)取得最小值g(e2)(e2)2|ne2.
ae2e
1
即ab的最小值为一.
2e
故选:
B
【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率
考查了利用导数研究函数的单调性,根
据单调性求函数的最值,属于中档题
二、填空题
rrrrrrrr
13.已知非零向量a,b满足abab,则〈a,b).
【答案】90°
【解析】I;b|的几何意义是以a,b为邻边的长方形的对角线,b|几何意义是以a,b为邻边的长方形的另一条对角线,依题意,平行四边形的对角线相等,则为矩形,
故两个向量的夹角为90°.
14.如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图,阴
影部分表示喜欢徒步的频率•已知该年级男生500人、女生400名(假设所有学生都参加了调查),现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人
数为
【答案】15
【解析】先根据等高条形图求出喜欢徒步的男女生人数,从而可得喜欢徒步的总人数
进一步可得男生的抽样比,利用抽样比可得抽取的男生人数•
【详解】
根据等咼条形图可知:
喜欢徒步的男生人数为0.6500
300,喜欢徒步的女生人数为
0.4400160,
所以喜欢徒步的总人数为
300160460,
按分层抽样的方法抽取
23人,则抽取的男生人数为300
2315人.
460
故答案为:
15
【点睛】
本题考查了等高条形图,考查了利用分层抽样计算抽取的样本中,各层的人数,属于基础
题•
15•如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AB上移动,有下列判断:
①
平面BDP//平面B1D1C;②平面PAC1平面B1D1C:
③三棱锥PB1D1C的体积
不变;④PC1平面B1D1C.其中,正确的是.(把所有正确的判断的序号都填
上)
【答案】①②③
【解析】①在正方体中可证平面BDP//平面B1D1C,又点P在线段AB上移动,所以
平面BDP//平面B1D1C,所以①正确;
2先证AC1平面B1D1C,再根据面面垂直的判定定理可证平面PAC1平面B1D1C,
所以②正确;
3根据AB//平面B1D1C,可得三棱锥PB1D1C的体积不变,所以③正确;
4由AG平面B1D1C,而PC1与AC1交于G,可得④不正确.
【详解】
①因为在正方体中有A1B//D1C,,且AB平面B1D1C,D1C平面B1D1C,所以
AB//平面B1D1C,同理得BD//平面B1D1C,
又ABBDB,所以平面A|BD//平面BiDQ,
又点P在线段A|B上移动,所以平面BDP//平面BiDiC,所以①正确;
2因为AB平面BBQC,所以ACi在平面BBiCiC内的射影为B。
因为BiCBCi,根据三垂线定理可得ACiBiC,
同理可得ACiABiDi,
因为BiCBiDiBi,
所以ACi平面BiDiC,
因为ACi平面PACi,所以平面PACi平面BiDiC,所以②正确;
3由①知AiB//平面BiDiC,所以点P到平面BiDiC的距离为定值,所以三棱锥
PBiDiC的体积不变,所以③正确;
4由②知ACI平面BiDQ,而PCi与ACi交于Ci,所以PCi与平面BiDQ不垂直,
所以④不正确。
故答案为:
①②③
【点睛】
本题考查了直线与平面,平面与平面平行的判定定理,考查了直线与平面垂直的判定定
理,考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题
i6.已知函数fxexx2e,则满足不等式fm2i的m取值范围是.
【答案】im3
【解析】先用偶函数的定义得函数为偶函数,可得f(x)f(|x|),再利用x.0时,函数为增函数,可将不等式化为|m2|i,从而可解得结果.
【详解】
因为fxexx2e,所以f(x)e1x|(x)2ee|x|x2ef(x),
所以f(x)为偶函数,所以f(x)f(|x|),
当x0时,f(x)exx2e为增函数,
所以fm21等价于f(|m2|)1f
(1),
所以|m2|1,
所以1m3,故答案为:
1m3
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式,利用f(X)f(|x|)将不等式化为
f(|m2|)1f
(1)是解题的关键,属于中档题.
三、解答题
17•在VABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且
sinA2cosCsinC1cosA
(1)证明:
a为b,c的等差中项;
2n
(2)若B」,b7,求a•
3
【答案】
(1)证明见解析;
(2)5.
【解析】⑴由sinA2cosCsinC1cosA以及正弦定理,得2acb,即a
为b,c的等差中项;
⑵根据2acb以及余弦定理可解得a5.
【详解】
(1)由sinA2cosCsinC1cosA,得
2sinAsinAcosCsinCsinCcosA,
所以2sinAsinCsinAcosCcosAsinCsinCsin(AC)sinCsinB,
由正弦定理得2acb,
即a为b,c的等差中项,
(2)由
(1)
得c
2a
7,
因为B
2n
b
7,
由余弦定理有
22222
49ac2accos,即acac49
3
3
c
2a
7
a0(舍去),
由2
49,
解得a5,
a2
c2
ac
所以a
5.
【点睛】
本题考查了两角和的正弦公式,考查了正弦定理角化边,考查了诱导公式,考查了余弦定
理,考查了等差中项,属于中档题.
18•已知数列an的前n项和为Sn,首项为3!
,且4,an,Sn成等差数列.
(1)求数列an的通项公式;
(2)若a22bl,求数列bn的前n项和人.
n12
【答案】
(1)an2nN;
(2)Tnn3n.
【解析】
(1)根据4,an,Sn成等差数列,可得2anSn4,再利用寺§S.1可得
2,从而可得数列
an1
an是以4为首项,2为公比的等比数列,由此可得数列an的
通项公式;
⑵由a;2bl可得bn2n2,再根据等差数列的前n项和公式可得结果
【详解】
(1)由题意有2anSn4,
当n1时,2印印4,所以a14,
当n2时,Sn2an4,Sn12an14,
an两式相减得anSnSn12a“2an1,整理得2,
an1
所以数列an是以4为首项,2为公比的等比数列,
所以数列an的通项公式an42n12n1nN.
(2)由2bna:
22n2,所以bn2n2,
所以数列bn是以4为首项,2为公差的等差数列,
nn12
所以Tn4n2n23n.
2
【点睛】
本题考查了等差中项的应用,考查了用an和Sn的递推关系求通项公式,考查了等比数
列的通项公式,考查了等差数列的前n项和的公式,属于中档题.
19.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)
和温度X(°C)的7组观测数据,其散点图如所示:
22
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根据散点图,结合函数知识,可以发现产卵数y和温度x可用方程yebxa来拟合,令
zIny,结合样本数据可知z与温度x可用线性回归方程来拟合.根据收集到的数据,计算得到如下值:
表中Z
Iny
x
y
z
72
xix
i1
72乙z
i1
7
xiX乙2
i1
27
74
3.537
182
11.9
46.418
(1)求z和温度x的回归方程(回归系数结果精确到0.001);
(2)求产卵数y关于温度x的回归方程;若该地区一段时间内的气温在26oC〜36°C
之间(包括26oC与36oC),估计该品种一只昆虫的产卵数的范围•(参考数据:
3.282
e
27,
3.792
e
44,
5.832
e
341,
6.087
e
6.342
440,e568•)
附:
对于一组数据1,V,,2N2,
n,Vn,其回归直线V
的斜率
VjV
和截距的最小二乘估计分别为
【答案】
(1)V0.255x3.348;
(2)y
0.255x3.348
e
27.341.
【解析】
(1)根据公式计算出b?
和V,可得V0.255x3.348;
⑵根据zIny可得Iny0.255x3.348,再根据函数ye°.255x彳348为增函数可得
答案.
【详解】
(i)因为z与温度x可以用线性回归方程来拟合,设?
?
bX-
7
46.418
182
0.255,
Xxzz
i1
7
2
XiX
i1
所以?
zbX3.5370.25527
3.348,
故z关于X的线性回归方程为?
0.255X3.348.
(2)由
(1)可得Iny0.255x3.348,于是产卵数y关于温度X的回归方程为ye0.255X3.348,
当x26时,ye0.255263.348e3'28227;
当x36时,ye0.255363.348e5.832341;
因为函数ye0.255x3.348为增函数,
所以,气温在26oC〜36°C之间时,一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是27.341内
的正整数.
【点睛】
本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题•
20•如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PA底面ABCD,
PAAB,E为线段PB的中点.
(1)若F为线段BC上的动点,证明:
平面AEF平面PBC;
(2)若F为线段BC,CD,DA上的动点(不含A,B),PA2,三棱锥ABEF
的体积是否存在最大值?
如果存在,求出最大值;如果不存在,请说明理由.
2
【答案】
(1)证明见解析;
(2)存在,2
3
【解析】
(1)利用AEPB,AEBC,可得AE丄平面PBC,根据面面垂直的判定定
理可证平面AEF平面PBC;
⑵由PA底面ABCD,得平面PAB平面ABCD.将问题转化为点F到直线AB
的距离有无最大值即可解决•
【详解】
(1)证明:
因为PAAB,E为线段PB的中点,所以AEPB,
因为PA底面ABCD,BC平面ABCD,所以BCPA,
又因为底面ABCD为正方形,所以BCAB,PAIABA,
所以BC丄平面PAB,
因为AE平面PAB,所以AEBC,
因为PBBCB,所以AE丄平面PBC,
因为AE平面AEF,所以平面AEF平面PBC.
(2)由PA底面ABCD,则平面PAB平面ABCD,
所以点F到平面ABE的距离(三棱锥FABE的高)等于点F到直线AB的距离,
因此,当点F在线段BC,AD上运动时,三棱锥FABE的高小于或等于2,
当点F在线段CD上运动时,三棱锥FABE的高为2,
1
因为△ABE的面积为Saabe—211,
2
所以当点F在线段CD上,三棱锥FABE的体积取得最大值,
12
最大值为VSaa
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- 四川省 资阳市 上学 第二次 诊断 考试 数学 试题 解析