春浙教版八年级数学下册同步练习微专题六 与平行四边形的判定有关的证明.docx
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春浙教版八年级数学下册同步练习微专题六与平行四边形的判定有关的证明
微专题六__与平行四边形的判定有关的证明____
(教材P97作业题第3题)
已知:
如图1,在▱ABCD中,∠BAD和∠BCD的平分线AF,CE分别与对角线BD交于点F,E.求证:
四边形AFCE是平行四边形.
图1
教材母题答图
证明:
如答图,连结AC,交BD于点O.
在▱ABCD中,AB綊CD,∴∠ABF=∠CDE.
又∵AF,CE分别是∠BAD与∠BCD的平分线,∠BAD=∠BCD,∴∠BAF=∠DCE,
在△AFB和△CED中,
∴△AFB≌△CED(ASA),
∴BF=DE.又∵OA=OC,OB=OD,
∴OF=OE,∴四边形AFCE是平行四边形.
【思想方法】平行四边形的判定主要从三个方面看:
(1)从边看:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(2)从角看:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3)从对角线看:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
如图2,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=FC.
(1)求证:
△ABC≌△DFE;
(2)连结AF,BD,求证:
四边形ABDF是平行四边形.
图2
解:
(1)证明:
∵BE=FC,∴BC=FE,
在△ABC与△DFE中,
∴△ABC≌△DFE(SSS);
(2)∵△ABC≌△DFE,
∴∠ABC=∠DFE,∴AB∥DF.
又∵AB=DF,∴四边形ABDF是平行四边形.
[2018·嘉兴秀洲中学月考]如图3,在平行四边形ABCD中,点E是边BC的中点,DE的延长线与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:
△CDE≌△BFE;
(2)试连结BD,CF,判断四边形CDBF的形状,并证明你的结论.
图3
变形2答图
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠F=∠CDE,
∵点E是边BC的中点,∴BE=CE,
在△BFE和△CDE中,
∴△CDE≌△BFE(AAS);
(2)四边形CDBF是平行四边形.
证明:
如答图,∵△CDE≌△BFE,∴DE=EF,
又∵BE=CE,∴四边形CDBF是平行四边形.
[2018·道外区一模]如图4,在△ABC中,D是BC边的中点,分别过点B,C作射线AD的垂线,垂足分别为E,F,连结BF,CE.
(1)求证:
四边形BECF是平行四边形;
(2)若AF=FD,在不添加辅助线的条件下,直接写出与△ABD面积相等的所有三角形.
图4
解:
(1)证明:
∵D是BC中点,∴BD=CD,
∵BE⊥AE,CF⊥AE,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在△BED与△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴ED=FD,∵BD=CD,
∴四边形BECF是平行四边形;
(2)与△ABD面积相等的三角形有△ACD,△CEF,△BEF,△BEC,△BFC.
如图5,在▱ABCD中,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点E,过点C作CN⊥AD于点N,交BD于点F,连结AF,CE.求证:
四边形AECF为平行四边形.
图5
证明:
在▱ABCD中,AB綊CD,∠ABC=∠ADC,
∴∠ABD=∠CDB.
又∵AM⊥BC,CN⊥AD,
∴∠AMB=∠CND=90°,
∴∠BAM=90°-∠ABM=90°-∠CDN=∠DCN,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,
∴∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF,
∴四边形AECF为平行四边形.
[2019·香坊区模拟]如图6,将▱ABCD的AD边延长至点E,使DE=
AD,连结CE,F是BC边的中点,连结FD.
(1)求证:
四边形CEDF是平行四边形;
(2)若AB=2,AD=3,∠A=60°,求CE的长.
图6
变形5答图
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵DE=
AD,F是BC边的中点,
∴DE=FC,DE∥FC,
∴四边形CEDF是平行四边形;
(2)如答图,过点D作DN⊥BC于点N,
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=60°,
∴∠BCD=∠A=60°,
∵AB=2,AD=3,
∴FC=
,NC=
DC=1,DN=
,
∴FN=
,则CE=DF=
=
.
如图7,已知△ABC是等边三角形,点D,F分别在线段BC,AB上,∠EFB=60°,DC=EF.
(1)求证:
四边形EFCD是平行四边形;
(2)若BF=EF,求证:
AE=AD.
图7
变形6答图
证明:
(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.
∵∠EFB=60°,∴∠B=∠EFB,∴EF∥BC,
∵DC=EF,∴四边形EFCD是平行四边形;
(2)如答图,连结BE.
∵BF=EF,∠EFB=60°,
∴△EFB是等边三角形,
∴EB=EF,∠EBF=60°.
∵DC=EF,∴EB=DC.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AB=AC,
在△AEB和△ADC中,
∴△AEB≌△ADC(SAS),∴AE=AD.
[2019·九江期末]如图8,四边形ABCD是平行四边形,∠EAD=∠DBC,∠AED=90°.
(1)求证:
AE∥BD;
(2)过点C作CF⊥BD于点F,连结EF,求证:
四边形EFCD是平行四边形.
图8
证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,
∵∠EAD=∠DBC,
∴∠EAD=∠ADB,
∴AE∥BD;
(2)∵AE∥BD,∴∠AED+∠BDE=180°,
∵∠AED=90°,∴∠BDE=90°,
∵CF⊥BD,∴∠EDB=∠CFD=90°,
∴DE∥CF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD,
∵∠EAD=∠CBF,∠AED=∠BFC=90°,
∴△ADE≌△BCF,∴DE=CF,
∴四边形EFCD是平行四边形.
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