离散数学 脑图思维导图.docx
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离散数学脑图思维导图
离散数学
∙命题和命题公式
o命题和命题联结词
▪命题和命题的表示
∙命题:
具有确切真值的陈述句
∙判断命题两个条件:
陈述句;有唯一的真值;真值只有“真”和“假”两种,分别用T(或1)和F(或0)表示。
非命题:
一切没有判断内容的句子,如命令句、祈使句、感叹句、疑问句、二义性陈述句等都不能作为命题。
∙命题的表示
∙在数学逻辑中,用大写英文字母A、B...,或带下标字母p1、p2...,或数字
(1)、[2]...,等表示命题,称之为命题标识符。
命题常项(常元):
其真值可确定的简单陈述句(命题);命题变项(变元):
其真值可变化的简单陈述句(不是);将表示命题的符号放在该命题的前面,称为命题的符号化。
命题为真:
T或1;命题为假:
F或0;
▪复合命题与联结词
∙简单命题
∙不能再分解成更简单的命题。
∙复合命题
∙由简单命题用联结词联结而成的命题。
∙联结词
∙﹁∧∨→↔否定合取析取蕴含等价
o否定
o若P为T则¬P为F不是、没有、非、不
o合取
o当P和Q都为TP∧Q为T,否则为F相当于“与”、并且、和、即又、不但而且虽然但是
o析取
o当P和Q任一TP∨Q为T当P和Q都为FP∨Q为F相当于“或”、或者、或许、可能
o蕴含(条件)
op→q称为p和q的蕴含式。
p为前件,q为后件。
p→q为假当且仅当p为真且q为假。
若则、假如那么、既然那就、倘若就
o等价式(双条件式)
op↔q称为p和q的等价式。
p↔q为真当且仅当p、q真值相同。
当且仅当、充分必要、相同、一样
o命题公式的等值演算
▪命题公式
▪命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的字符串。
规定:
公式中最外层的括号可省略。
公式定义:
1、单个命题常项或变项p,q,...0,1是合成公式。
2、如果A是合成公式,则¬A也是合成公式3、若A、B是合成公式,则A∧B,A∨B,A→B,A↔B是合成公式。
4、有限次地应用1-3组成的符号串是合成公式。
∙公式类型
o重言式
o若A在它的各种赋值下取值均为真,称A是重言式或永真式若真值表最后一列全为1
o矛盾式
o若A在它的各种赋值下取值为假,称A是矛盾式或永假式若真值表最后一列全为0
o满足式
o若A不是矛盾式,称A是满足式若真值表最后一列至少有一个1
∙常用的命题定律
o双重否定定律A<=>¬¬A
o幂等定律A<=>A∨A,A<=>A∧A
o结合定律(A∨B)∨C<=>A∨(B∨C),(A∧B)∧C<=>A∧(B∧C)
o交换定律A∨B<=>B∨A,A∧B<=>B∧A
o分配律A∨(B∧C)<=>(A∨B)∧(A∨C)(∨对∧的分配律),A∧(B∨C)<=>(A∧B)∨(A∧C)(∧对∨的分配律)
o吸收率A∨(A∧B)<=>A,A∧(A∨C)<=>A
o德摩根律¬(A∨B)<=>¬A∧¬B,¬(A∨B)<=>¬A∧¬B
o同一律A∨F<=>A,A∧T<=>A
o零律同一律A∨T<=>T,A∧F<=>F
o排中律A∨¬A<=>T
o否定率A∧¬A<=>F
o蕴涵等值式A→B<=>¬A∨B
o等价等值式A↔B<=>(A→B)∧(B→A)
o假言易位A→B<=>A→¬B
o等价否定等值式A↔B<=>¬A↔¬B
o归谬论(A→B)∧(A→¬B)<=>¬A
▪等值运算与蕴含式
∙两命题公式之间的等值关系
∙1、定义:
设A、B为两命题公式,若等价式A↔B是重言式,则称A与B是等值的,记作AB2、等值关系判断判断两公式A、B是否等值,即判断等价式A↔B是否重言式3、注意:
↔与的区别↔是逻辑联结词(逻辑运算),可计算的命题公式是逻辑等价关系,AB表示A的真值等于B的真值不是一个联结词,而是一种关系,切这种关系具有以下性质:
自反性AA对称性若AB则BA传递性若AB,BC则AC4、判断等值式的方法真值表法;等值演算;范式
∙推理定律
oP∧Q=>P化简律
oP∧Q=>Q化简律
oP=>(P∨Q)附加律
o¬P=>P→Q变形附加律
oQ=>P→Q变形附加律
o¬(P→Q)=>P变形简化律
o¬(P→Q)=>¬Q变形简化律
oP∧(P→Q)=>Q假言推理
o(P→Q)∧¬Q=>¬P拒取式
o(P∨Q)∧¬Q=>P析取三段论
o(P→Q)∧(Q→R)=>(P→R)条件三段论
o(P↔Q)∧(Q↔R)=>(P↔R)等价三段论
o(P→Q)∧(R→S)∧(P∧R)=>Q∧S合取构造二难
o(P→Q)∧(R→S)∧(P∨R)=>Q∨S析取构造二难
oP→Q=>(P∨R)→(Q∨R)前后件附加
oP→Q=>(P∧R)→(Q∧R)前后件附加
o联结词完备集
▪S1={¬,∧,∨,→,↔}
▪S2={¬,∧,∨,→}
▪S5={¬,→}
▪最小联结词
∙S3={¬,∧}
∙S4={¬,∨}
∙P↑Q<=>¬(P∧Q);符号↑称为非与联结词
∙P↓Q<=>¬(P∨Q);符号↓称为或与联结词
∙命题逻辑的推理理论
o范式
▪范式的概念
∙简单析取式
∙由有限个命题变项或其否定构成的析取式如:
p,¬q,p∨q,¬p∨q等
∙简单合取式
∙由有限个命题变项或其否定构成的合取式如:
p,¬q,p∧q,¬p∧q等
∙析取范式
∙一个命题公式称为析取范式,当且仅当它具有形式A1∨A2...∨An其中Ai(i=1、2...n)为简单析取式一个简单析取式是重言式,当且仅当它同时包含某个命题变元及它的否定式。
∙合取范式
∙一个命题公式称为合取范式,当且仅当它具有形式A1∧A2...∧An其中Ai(i=1、2...n)为简单合取式一个简单合取式是矛盾式,当且仅当它同时包含某个命题变元及它的否定式。
∙范式
∙析取范式和合取范式统称为范式
▪小项和大项
∙小项
∙在简单合取式中,每个变元及其否定不同时存在,但两者之一必须出现且仅出现一次,这样的简单合取式叫做布尔合取也叫小项。
两个变元p,q构成的小项:
p∧q,p∧¬q,¬p∧q,¬p∧¬q
∙大项
∙在简单析取式中,每个变元及其否定不同时存在,但两者之一必须且仅出现一次,这样的简单析取式叫做布尔析取也叫大项或极大项。
两个命题变元p,q构成的大项:
p∨q,¬p∨q,p∨¬q,¬p∨¬q
o主范式
▪主析取范式
▪对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由小项的析取所组成,则该等价公式称为原式的主析取范式。
▪主合取范式
▪对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由大项的合取所组成,则该等价式称为原式的主合取范式。
o自然推理系统
o设H1、H2...,Hn和C是n+1个命题公式,若H1∧H2∧...Hn=>C,则称C为一组前提H1,H2,...Hn的有效结论或逻辑结论。
也称由前提H1,H2...Hn退出结论C的推理是有效正确的。
H1∧H2∧...Hn=>C,亦可记为H1∧H2∧...Hn├C
∙谓词逻辑
o谓词的概念与表示
▪谓词
▪由一个谓词(如P)和n个体变元(如x1,x2,...xn)组成的P(x1,x2,...xn),称它为n原子谓词或n元命题函数,简称n元谓词。
▪论域
▪个体变元的论述范围,称为个体域或论域。
▪特性谓词
▪把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一起作为它的论域,称为n元谓词的全总论域。
当一个命题没有指明论域时,一般都从全总论域作为其论域。
常常要采用一个谓词如P(x)来限制个体变元x的取值范围,并把P(x)称为特性谓词。
o量词与合成公式
▪量词
▪1、符号∀称为全称量词符,用来表达对所有的,每一个,对任何一个,一切等词语,∀x称为全称量词,称x为指导变元2、符号∃称为存在量词符用来表达存在一些,至少有一个,对于一些,某个等词语;∃x称为存在量词,x称为指导变元。
▪量词与特性谓词的搭配
▪全称量词后跟一个条件式,而特性谓词最为其前件出现;存在量词后跟一个合取式,特性谓词作为一个合取项出现。
▪项
▪1、个体常元和个体变元是项;2、若f是n元函数,则t1,t2...tn是项,则f(t1,t2...tn)是项3、所有项都有1、2生成。
o谓词演算的等价式与蕴含式
o前束范式
o一个公式,如果量词均在全式的开头,它们的作用域,延伸到整个公式的末尾,则该公式称为前束范式。
一个合成公式称为前束范式,如果它有如下形式:
(Q1X1)(Q2X2)...(QnXn)B,其中Q(1=<1I= 称Q1X1...QnXn为公式的首标。 特别地,若A中无量词,则A也看作是前束范式。 o谓词演算的推理理论 ▪全称量词消去规则∀- ▪全称量词引入规则∀+ ▪存在量词消去规则∃- ▪存在量词引入规则∃+ ∙集合 o集合的基本概念 o集合: 一些离散个体组成的全体;组成集合的个体称为它的元素或成员。 ▪列举法E={1,2...,N} ▪描述法S={x|P(x)} ▪图示法 ▪用封闭曲线表示集合及其关系,封闭曲线内的点表示集合的元素,这种图称为文氏图。 o集合的运算 ▪交 ▪并 ▪补 ▪差 o有序对与笛卡尔积 ▪有序对 ▪笛卡尔积 ▪设A、B为集合,A与B的 ∙关系与函数 o关系及关系的性质 ▪关系的概念 ▪关系的三种表示方式 ∙表达式 ∙关系矩阵 ∙关系图 ▪关系的性质 ∙反关系 oA上的全域关系Ea=A*A o恒等关系IA={ o小于等于关系LA o整除关系DA ∙自反关系 o实数集上的小于关系 o幂集上的真包含关系 ▪关系性质的判断 ∙自反性 ∙反自反性 ∙对称性 ∙反对称性 ∙传递性 o关系的运算 ▪并 ▪交 ▪补 ▪差 ▪逆运算R-1Rc ▪复合运算RoS ▪闭包运算 o等价关系与序关系 ▪等价关系 ▪设R为非空集合上的关系,如果R是自反的、对称的、传递的,则称R为A上的等价关系。 设A为等价关系,∈R,称x等价于y,记作x~y。 ▪序关系 ▪设R为非空集合上的关系,如果R是自反的、反对称的、传递的,则称R为A上的一个偏序关系。 o函数 ∙代数系统的一般概念 o代数系统 o群与半群 ▪群 ▪半群 o环与域 ∙格与布尔代数 o格的基本概念 o分配格与有补格 o布尔代数 ∙图 o图的表示 o图的连通性 o图的表示 ∙图的应用 o欧卡图与哈密顿图 ▪欧拉图 ▪在连通图G中,经过G中每条边一次且仅一次的通路,称为欧拉通路或欧拉路;若欧拉通路为回路,则称为欧拉回路;具有欧拉回路的图称为欧拉图,含有欧拉通路但没有欧拉回路的图称为半欧拉图, ▪哈密顿图 ▪给定无向图,若存在一条路L,经过图中每个顶点一次且仅一次,则L称为哈密顿路,简称H-路;若存在一条回路C,经过图中的每个顶点一次且仅一次,C称为哈密顿回路,简称H-回路。 具有哈密顿回路的图称为哈密顿图,简称为H-图; o平面图 o树及其遍历 ∙自由主题 ∙
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- 离散数学 脑图思维导图 思维