对数函数典型例题.docx
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对数函数典型例题
对数函数-典型例题
对数函数
例1 求下列函数的定义域
(1)y=log2(x2-4x-5);
(2)y=logx+1(16-4x)
(3)y=
.
解:
(1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x+1)>0,
故定义域为 {x|x<-1,或x>5}.
(2)令
得
故所求定义域为{x|-1<x<0,或0<x<2}.
(3)令
,得
故所求定义域为
{x|x<-1-
,或-1-
<x<-3,或x≥2}.
说明 求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑,真数大于零.底数大于零不等于1,若处在分母的位置,还要考虑不能使分母为零.
例2 求下列函数的单调区间.
(1)y=log2(x-4);
(2)y=log0.5x2.
解:
(1)定义域是(4,+∞),设t=x-4,当x>4时,t随x的增大而增大,而y=log2t,y又随t的增大而增大,
∴(4,+∞)是y=log2(x-4)的递增区间.
(2)定义域{x|x∈R,且x≠0},设t=x2,则y=log0.5t
当x>0时,t随x的增大而增大,y随t的增大而减小,
∴(0,+∞)是y=log0.5x2的递减区间.
当x<0时,t随x的增大而减小,y随t的增大而减小,
∴(-∞,0)是y=log0.5x2的递增区间.
例3 比较大小:
(1)log0.71.3和log0.71.8.
(2)(lgn)1.7和(lgn)2(n>1).
(3)log23和log53.
(4)log35和log64.
解:
(1)对数函数y=log0.7x在(0,+∞)内是减函数.因为1.3<1.8,所以
log0.71.3>log0.71.8.
(2)把lgn看作指数函数的底,本题归为比较两个指数函数的函数值的大小,故需对底数lgn讨论.
若1>lgn>0,即1<n<10时,y=(lgn)x在R上是减函数,所以(lgn)1.2>(lgn)2;
若lgn>1,即n>10时,y=(lgn)2在R上是增函数,所以(lgn)1.7>(lgn)2.
(3)函数y=log2x和y=log5x当x>1时,y=log2x的图像在y=log5x图像上方.这里x=3,所以log23>log53.
(4)log35和log64的底数和真数都不相同,须找出中间量“搭桥”,再利用对数函数的单调性即可求解.
因为log35>log33=1=log66>log64,所以log35>log64.
评析 要注意正确利用对数函数的性质,尤其是第(3)小题,可直接利用例2中的说明得到结论.
例4 已知函数f(x)=loga(a-ax)(a>1),
(1)求f(x)的定义域、值域.
(2)判断并证明其单调性.
(3)解不等式f-1(x2-2)>f(x).
解:
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