高考广东卷数学试题及答案.docx
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高考广东卷数学试题及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.在同一坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是()
2.已知x∈(-π,0),cosx=4,则tan2x=()
2
7
A.
24
ρ=8sinθ
5
724
B.-C.
247
24
D.-
7
3.圆锥曲线
cos2
的准线方程是()
θ
A.ρcosθ=-2
B.ρcosθ=2
C.ρsinθ=-2
D.ρsinθ=2
4.等差数列{an
}中,已知a1
=1,a
32
+
a5
=4,an
=33,则n为()
A.48B.49C.50D.51
5.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率为
()
A.B.
2
C.D.
33
⎧⎪2-x-1,x≤0,
⎨
5.设函数f(x)=1
若f(x0)>1,则x0的取值范围是()
⎪⎩x2
x>0
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
7.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
(
)
A.1+2B.2-1
C.2D.2
8.已知圆C:
(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:
x-y+3=0.当直线l被C截得的弦长为2时,则a=()
A.B.2-C.-1D.+1
9.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是()
A.2πR2
B.9πR2
4
C.8πR2
3
D.3πr2
2
10.函数f(x)=sinx,x∈π,
2
A.-arcsinx,x∈[-1,1]
π
]的反函数f(x)=()
2
B.-π-arcsinx,x∈[-1,1]
C.-π+arcsinx,x∈[-1,1]D.π-arcsinx,x∈[-1,1]
11.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1).一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上
的点P2,P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0),若1 则tanθ的取值范围是() 1 A.( 3 ,1)B.(1,2)33 C.(2,1) 52 D.(2,2) 53 12.一个四面体的所有棱长都为 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为() A.3πB.4πC.33π D.6π 二、填空题: 本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上 13.不等式 14.(x2-12x)9展开式中x9的系数是 15.在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是: “设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直,则 16.如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可 供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答) 三、解答题: 本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12分) 已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1 中点. (1)证明EF为BD1与CC1的公垂线; (2)求点D1到面BDE的距离. 18.(本小题满分12分) 已知复数z的辐角为60°,且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项.求|z|. 19.(本小题满分12分) 已知c>0,设P: 函数y=cx在R上单调递减Q: 不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P 和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围 20.(本小题满分12分) 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南 θ(θ=arccos 2)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台 10 风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? 21.(本小题满分14分) 已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别 BE 在BC、CD、DA上移动,且 BC =CF CD =DG,P为GE与OF的交点(如图),问是否存 DA 在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值? 若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. 答案word版+微信 购买1951年至今各地全部高考数学试卷及 22.(本小题满分14分) 0nn+1 设a为常数,且a=3n-1-2a(n∈N) (1)证明对任意n≥1,an =1[3n+(-1)n-1⋅2n]+(-1)n⋅2na; 50 (2)假设对任意n≥1有an>an-1,求a0的取值范围. 2003年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学试题参考答案 一、选择题: 1.D2.D3.C4.C5.B6.D7.A8.C9.B10.D11.C12.A 二、填空题: 13.(2,4] 14. -21 2 15.S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S△BCD16.72 三、解答题: (I)证明: 取BD中点M,连结MC,FM, 1 ∵F为BD1中点,∴FM∥D1D且FM= 2 D1D 1 又EC= 2 CC1,且EC⊥MC, ∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1又CM⊥面DBD1∴EF⊥面DBD1 ∵BD1⊂面DBD1, ∴EF⊥BD1故EF为BD1与CC1的公垂线. 案word版+微信 购买1951年至今各地全部高考数学试卷及答 (II)解: 连结ED1,有VE-DBD =VD-DBE 由(I)知EF⊥面DBD1,设点D1到面BDE的距离为d, 则S△DBC·d=S△DBD1·EF.………………9分 ∵AA1=2·AB=1. ∴BD=BE=ED= 2,EF=2 2 ⨯ ∴S∆DBD1 =1⋅ 2 2⋅2= 2,S ∆DBC =1⋅ 2 3⋅( 2 2)2=3 2 ∴d=2 3 2 =23 3 故点D1到平面BDE的距离为. 3 18.解: 设z=rcos60+rsin60),则复数z的实部为r.z-z=r,zz=r2由题设 2 |z-1|2=|z|⋅|z-2|即: (z-1)(z-1)=|z| (z-2)(z-2),∴r2-r+1=r r2-2r+4, 整理得r2+2r-1=0.解得: r= -1,r=- -1(舍去).即|z|= -1. 19.函数y=cx在R上单调递减⇔0 不等式x+|x-2c|>1的解集为R⇔函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1. x+|x-2c|=⎧2x-2c,x≥2c, ⎩ ⎨2c,x<2c, ∴函数y=x+|x-2c|在R上的最小值为2c. ∴不等式|x+x-2c|>1的解集为R⇔2c>1⇔c>1. 2 如果P正确,且Q不正确,则0 2 如果P不正确,且Q正确,则c≥1.所以c的取值范围为 1⋃[1,+∞). (0,] 2 20.解: 如图建立坐标系以O为原点,正东方向为x轴正向. ⎧ x=300⨯ -20⨯2t, 在时刻: (1)台风中心P(x, y)的坐标为⎪ 102 ⎨ ⎪y=-300⨯72+20⨯2t. ⎩⎪102 此时台风侵袭的区域是(x-x)2+(y-y)≤[r(t)]2, 其中r(t)=10t+60,若在t时刻城市O受到台风的侵袭,则有 (0-x)2+(0-y)2≤(10t+60)2.即(300⨯ 2-20⨯2t)2+(-300⨯72+20⨯2t)2 102102 ≤(10t+60)2,即t2-36t+288≤0,解得12≤t≤24 答: 12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21.根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在的两定点,使得点P到两点距离的和为定值. 按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)设BE=CF=DC(0≤k≤1) BCCDDA 由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak)直线OF的方程为: 2ax+(2k-1)y=0①直线GE的方程为: -a(2k-1)x+y-2a=0② 从①,②消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0 整理得x2 1 2 +(y-a)2= a2 当a2=1时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点. 2 当a2≠1时,点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长 2 当a2<1时,点P到椭圆两个焦点(- 2 1-a2,a),( 2 1-a2,a)的距离之和为定值 2 当a>时,点P到椭圆两个焦点(0,a- 2 a2-1),(0,a+ 2 a2-1) 2 的距离之和为定值2a. 2
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