西南大学线性代数作业答案.docx
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西南大学线性代数作业答案.docx
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西南大学线性代数作业答案
第一次
行列式部分的填空题
1.在5阶行列式中,项a13a24a32a45a51前的符号应取+号。
2.排列45312的逆序数为5。
3.行列式中元素x的代数余子式是 8 .
4.行列式中元素-2的代数余子式是—11。
5.行列式中,的代数余子式是—5。
6.计算=0
行列式部分计算题
1.计算三阶行列式
解:
原式=2×(—4)×3+0×(—1)×(—1)+1×1×8—1×(—1)×(—4)—0×1×3—2×(—1)×8=—4
2.决定i和j,使排列1234i6j97为奇排列.
解:
i=8,j=5。
3.(7分)已知,求的值.
解:
原式=3x2—x2—4x=2x2—4x=2x(x—2)=0
解得:
x1=0;x2=2
所以x={x│x≠0;x≠2x∈R}
4.(8分)齐次线性方程组
有非零解,求。
解:
由D=0得λ=1
5.用克莱姆法则求下列方程组:
解:
因为
所以方程组有唯一解,再计算:
因此,根据克拉默法则,方程组的唯一解是:
x=27,y=36,z=—45
第二次
线性方程组部分填空题
1.设齐次线性方程组Ax=0的系数阵A的秩为r,当r=n时,则Ax=0只有零解;当Ax=0有无穷多解时,其基础解系含有解向量的个数为n-r.
2.设η1,η2为方程组Ax=b的两个解,则η1-η2或η2-η1是其导出方程组的解。
3.设α0是线性方程组Ax=b的一个固定解,设z是导出方程组的某个解,则线性方程组Ax=b的任意一个解β可表示为β=α0+z.
4.若n元线性方程组Ax=b有解,R(A)=r,则当[r=n时,有惟一解;当,r<n时,有无穷多解。
5.A是m×n矩阵,齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<n.
6.n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是|A|不等于0。
7线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(Ab)=r(A)。
8.设是线性方程组Ax=b的一个特解,是其导出组的基础解系,则线性方程组Ax=b的全部解可以表示为=
1.求线性方程组
的通解.
答案:
通解为:
x=k1
2.求齐次线性方程组
的一个基础解系.
答案:
基础解系为v1=
3.求非齐次线性方程组的通解
答案:
同解方程组为
,通解为
4求方程组的通解
答案:
化为同解方程组
通解为
5.已知线性方程组
(1)求增广矩阵(Ab)的秩r(Ab)与系数矩阵A的秩r(A);
(2)判断线性方程组解的情况,若有解,则求解。
答案:
(1)r(Ab)=r(A)=4
(2)有唯一解。
x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1
第三次
向量的线性关系填空题
1.向量α=(1,3,5,7),β=(a,b,5,7),若α=β,则a=1,b=3.
2.已知向量=(1,2,3),=(3,2,1),则3+2=(9,10,11),-=(-2,0,2).
3.设向量组线性无关,则向量组,+,++线性无关 .
4.设向量线性无关,则线性无关。
5.设向量线性无关,则向量线性相关.
6.是3维向量组,则线性相关.
7.零向量是线性相关的,非零向量α是线性无关的.
线性关系部分证明题
1 证明:
如果向量组线性无关,则向量组亦线性无关.
证明:
设有一组数,使
成立,整理得
由于线性无关,所以
因为其系数行列式,所以方程组只有零解,即.向量组线性无关得证.
2.设向量β可由向量α1,α2,…,αr线性表示,但不能由α1,α2,…,αr-1线性表示,问向量组α1,α2,…,αr-1,αr与向量组α1,α2,…,αr-1,β是否等价?
为什么?
答案:
等价。
因为β可由α1,α2,…,αr线性表示,所以有λ1,λ2,…,λr,使
β=λ1α1+λ2α2+…+λrαr,λr≠0①
又α1=α1,…,αr-1=αr-1,故向量组α1,α2,…,αr-1,β可由向量α1,α2,…,αr线性表示。
由式①有
即α1,α2,…,αr也可由向量组α1,α2,…,αr-1,β线性表示,故两向量组等价。
3.设α1,α2是某个齐次线性方程组的基础解系,问α1+α2,2α1-α2是否也可构成该方程组的基础解系?
答案:
α1+α2,2α1-α2显然是方程组的解。
所以以下只证α1+α2,2α1-α2线性无关。
设有一组数λ1,λ2,使得
λ1(α1+α2,)+λ2(2α1-α2)=0,
即(λ1+2λ2)α1+(λ1-λ2)α2=0,
因α1,α2线性无关,故
而
所以λ1=λ2=0,则α1+α2,2α1-α2线性无关,仍是基础解系。
4.已知,判定此向量组是线性相关还是线性无关。
答案:
线性相关。
5.设
=(1,1,2)T,=(1,2,3)T,=(1,3,t)T
请问当t为何值时,,,线性相关?
并将用,线性表示.
答案:
当t=4时,,,线性相关。
=-+2..
6,设线性无关,而线性相关,则能由线性表示,且表示法惟一。
答案:
因线性相关,故有不全为零,使
要证可由线性表示,只要证明,假设k=0,则不全为零,且有
故线性相关,矛盾,所以。
设有个表示式
两式相减得
因线性无关,所以,即
所以表示法惟一。
第四次
特征值部分选择题
1.A是n阶正交矩阵,则[A ]
(A) (B) (C) (D)
2.A与B是两个相似的n阶矩阵,则[A]
(A)存在非奇异矩阵P,使(B)|A||B|
(C)存在对角矩阵D,使A与B都相似于D(D)
3下列结论中,错误的有(B)
(A)若向量与正交,则对任意实数a,b,与也正交
(B)若向量与向量都正交,则与的任一线性组合也正交
(C)若向量与正交,则与中至少有一个是零向量
(D)若向量与任意同维向量正交,则是零向量
4设矩阵,则A的特征值为[C]
(A)1,0,1(B)1,1,2(C)-1,1,2(D)-1,1,1
5n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[B]
(A)A有n个特征值
(B)A有n个线性无关的特征向量
(C)A的行列式不等于零
(D)A的特征多项式没有重根
《线性代数》
1.下列n阶(n>2)行列式的值必为0的有:
B:
行列式非零元素的个数小于n个。
2.有二阶行列式,其第一行元素是(1,3),第二行元素是(1,4),该行列式的值是:
B:
1
3有二阶行列式,其第一行元素是(2,3),第二行元素是(3,-1),则该行列式的值是:
A:
-11
4.有三阶行列式,其第一行元素是(0,1,2),第二行元素是(-1,-1,0),第三行元素是(2,0,-5),则该行列式的值是:
B:
-1
5.有三阶行列式,其第一行元素是(1,1,1),第二行元素是(3,1,4),第三行元素是(8,9,5),则该行列式的值是:
C:
5
6.行列式A的第一行元素是(k,3,4),第二行元素是(-1,k,0),第三行元素是(0,k,1),如果行列式A的值等于0,则k的取值应是:
C:
k=3或k=1
7.6.排列的逆序数是:
C:
8
8..行列式A的第一行元素是(-3,0,4),第二行元素是(2,a,1),第三行元素是(5,0,3),则其中元素a的代数余子式是:
B:
-29
9已知四阶行列式D中第三行元素为(-1,2,0,1),它们的余子式依次分别为5,3,-7,4,则D的值等于.C:
-15
10.矩阵A适合下面哪个条件时,它的秩为r.B:
A中线性无关的列向量最多有r个。
11矩阵A的第一行元素是(1,0,5),第二行元素是(0,2,0),则矩阵A乘以A的转置是:
C:
第一行元素是(26,0),第二行元素是(0,4)。
12.若矩阵A的行数不等于矩阵B的列数,则矩阵A乘以B没有意义。
正确答案:
错误
13.齐次线性方程组AX=0是线性方程组AX=b的导出组,则
C:
u是AX=0的通解,X1是AX=b的特解时,X1+u是AX=b的通解。
D:
V1,V2是AX=b的解时,V1-V2是AX=0的解。
14.n阶矩阵可逆的充要条件是:
A:
r(A)=nB:
A的列秩为n。
15.向量组a1,a2,...,as的秩不为零的充分必要条件是:
A:
a1,a2,…,as中至少有一个非零向量。
D:
a1,a2,…,as中有一个线性无关的部分组。
16向量组a1,a2,...,as线性相关的充分必要条件是:
C:
a1,a2,…,as中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
D:
a1,a2,…,as中至少有一部分组线性相关
17.矩阵A为三阶矩阵,若已知|A|=m,则|-mA|的值为C:
-m*m*m*m
18.若矩阵A可逆,则它一定是非奇异的。
正确答案:
正确
19.向量组a1,a2,...,as线性无关的必要条件是:
A:
a1,a2,…,as都不是零向量。
C:
a1,a2,…,as中任意两个向量都不成比例D:
a1,a2,…,as中任一部分组线性无关
20.若矩阵A的列数等于矩阵B的行数,则矩阵A乘以B有意义正确答案:
正确
.
《初等数论》>作业
1.如果a|b,b|c,则(C:
a|c)
2.360与200的最大公约数是(D:
40)。
3.如果a|b,b|a,则(C:
a=b或a=-b)。
4.下面的数是3的倍数的数是(C:
1119)
5.4除-39的余数是(C:
1)。
6.设n,m为整数,如果3整除n,3整除m,则9(A:
整除)mn。
7.整数6的正约数的个数是(D:
4)。
8.1到20之间的素数是(B:
2,3,5,7,11,13,17,19 )
9.
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