计算机代数系统第5章图形制作.docx

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计算机代数系统第5章图形制作

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第五章Maple图形绘制

图形无疑是数学中最令人着迷的部分,一些枯燥的公式可以从图形看出其美.历史上有许多学者利用函数图形解决了学科中的许多难题.

客观地说,Maple不是一种可视化的语言—它不会产生出版品质的图形.然后,它的图形功能非常强大,足以提供更多的关于函数的信息.当然,如果需要,它的图形作适当改进即可满足出版要求.

限于篇幅,本章所有图形未作打印,读者只需在计算机上按照书中语句操作即可观其效果,更多图形功能可通过Maple帮助获得.

1二维图形制作

Maple所提供的二维绘图指令plot可以绘制二维的函数图、参数图、极坐标图、等高线图、不等式图，等等.这些绘图指令有些已经内嵌在其核心程序里,Maple启动时即被装入，直接调用函数命令即可，有些则需要使用with（plots）调用plots函数库才能完成.

1.1基本二维绘图指令

plot（f（x）,x=xmin..xmax）;

plot（f（x）,x=xmin..xmax,y=ymin..ymax）;

plot（[f1（x）,f2（x）,…],x=xmin..xmax）;

plot（f（x）,x=xmin..xmax,option）;

其中，xmin..xmax为x的变化范围，ymin..ymax为y（即f（x））的变化范围.option选项参数主要有：

axes：

设定坐标轴的显示方式,一般有FRAME（坐标轴在图形的左边与下面）、BOXED（坐标轴围绕图形）、NORMAL（一般方式显示）或NONE（无）

color：

设定图形所要涂的颜色（可选用也可自设）

coords：

指定绘图时所用的坐标系（笛卡尔坐标系（cartesian，默认）、极坐标系（polar）、双极坐标系（bipolar）、logarthmic（对数坐标系）等

discont：

设定函数在不是否用线段连接起来（discont=true则不连接,默认是discont=false）

labels：

设定坐标轴的名称（labels=[x,y],x与y分别为x与y坐标轴的名称）

linestyle：

设定所绘线条的线型（linestyle=n,n为1是实线,2为点,3为虚线,4为虚线与点交错）

numpoints：

设定产生一个函数图形所需的最少样点

scaling：

设置x与y轴的比例（unconstrained非约束，constrained约束，比例为1:

1）

style：

设定图形的显示样式（LINE（线形）、POINT（点）、PATCH（显示多边形与边线）、PATCHNOGRID（只显示色彩而无边界）

symbol：

设定点的格式（主要有BOX（方块）、CROSS（十字）、CIRCLE（圆形）、POINT（点）、DIAMOND（菱形）等几项）

thickness：

设定线条的粗细（0、1、2、3几种参数,数值越大线条越粗）

tickmarks：

设定坐标轴刻度的数目（设定tickmarks=[m,n],则x轴刻度为m,y轴为n）

title：

定义图形的标题（要用""把标题引起来）

view：

设定屏幕上图形显示的最大坐标和最小坐标，缺省是整个曲线

下面通过一些实例学习：

>plot（sin（1/x）,x=-0.1..0.1,title="y=sin（1/x）",axes=normal）;

>plot（1/（2*sin（x））,x=-10..10,y=-30..30）;

试比较下述三图的效果:

>plot（tan（x）,x=-2*Pi..2*Pi）;

>plot（tan（x）,x=-2*Pi..2*Pi,y=-5..5）;

>plot（tan（x）,x=-2*Pi..2*Pi,y=-5..5,discont=true）;

（此处命令discont=true的作用是去除垂直渐近线）

>plot（sin（cos（6*x））/x,x=0..15*Pi,y=-0.6..0.5,axes=NONE）;

>plot（Zeta（x）,x=-3..3,y=-3..3,discont=true）;

除了绘制基本的函数图之外,plot还可绘制自定义函数的图形,也可以同时绘制多个函数图.

>f:

=x->sin（x）+cos（x）^2;

plot（f（x）,x=0..16）;

>plot（[sin（x）,sin（x^2）,sin（x^3/10）],x=-2*Pi..2*Pi）;

利用seq指令产生一个由函数所组成的序列,并将此函数的序列赋给变量,然后将函数序列绘于同一张图上.

>f:

=x->sin（x）+cos（x）;

fs:

=seq（f（x）^（n-1）+f（x）^n,n=1..4）:

plot（[fs],x=0..20）;

>f:

=x->x*ln（x^2）:

g:

=x->ln（x）:

plot（{f,g},0..2,-1.5..1.5）;

也可以直接把seq指令放在plot里来绘出一系列的函数图.

>plot（[seq（f（x）^（2/n）,n=1..3）],x=0..10）;

1.2二维参数绘图

更多情况下，我们无法把隐函数化成显函数的形式,因而plot指令无法在二维的平面里直接绘图.但是,在某些情况下,我们可以把平面上的曲线f（x,y）化成x=x（t）,y=y（t）的形式,其中t为参数（parameter）.据此即可绘图,其命令格式如下：

plot（[x（t）,y（t）,t=tmin..tmax]）；

plot（[x（t）,y（t）,t=tmin..tmax],xmin..xmax,y=ymin..ymax）；

plot（[x（t）,y（t）,t=tmin..tmax],scaling=CONSTRAINED）;

plot（[[x1（t）,y1（t）,t1=t1min..t1max],[x2（t）,y2（t）,t2=t2min..t2max],…]）;

>plot（[t*exp（t）,t,t=-4..1],x=-0.5..1.5,y=-4..1）;

>plot（[sin（t）,cos（t）,t=0..2*Pi]）;

>plot（[sin（t）,cos（t）,t=0..2*Pi],scaling=CONSTRAINED）;

上述两上语句都是绘制圆的命令,但由于后者指定的x、y坐标的比例为1:

1,所以才得到了一个真正的圆,而前者由于比例不同,则像个椭圆.下面则是内摆线的图形：

>x:

=（a,b）->（a-b）*cos（t）+b*cos（（a-b）*t/b）;

>y:

=（a,b）->（a-b）*sin（t）-b*sin（（a-b）*t/b）;

当a=1,b=0.58时，（x（a,b）,y（a,b））图形绘制命令为：

>plot（[x（1,0.58）,y（1,0.58）,t=0..60*Pi],scaling=CONSTRAINED）;

再作a,b取其它值时的情形：

>plot（[x（2,1.2）,y（2,1.2）,t=0..6*Pi],scaling=CONSTRAINED）;

>plot（[x（2,8）,y（2,8）,t=0..16*Pi],scaling=CONSTRAINED）;

>plot（[x（2,12）,y（2,12）,t=0..16*Pi],scaling=CONSTRAINED）;

下面再看同时绘制多个图形的情形.

>plot（[[cos（3*t）,sin（2*t）,t=0..2*Pi],[sin（t）,cos（3*t）,t=0..2*Pi]]）;

1.3数据点绘图

如果所绘的图形是间断性的数据,而不是一个连续的函数,那么我们可以把数据点绘在x-y坐标系中,这就是所谓的数据点绘图.其命令格式如下：

plot（[[x1,y1],[x2,y2],…],style=point）;

plot（[[x1,y1],[x2,y2],…]）;

>data1:

=seq（[2*n,n^3+1],n=1..10）:

plot（[data1],style=point）;

>data2:

=seq（[n,1+（-1）^n/n],n=1..15）:

plot（[data2],style=point,view=[0..20,0..2]）;

>data3:

=seq（[t*cos（t/3）,t*sin（t/3）],t=1..30）:

plot（[data3],style=point）;

1.4其它坐标系作图

由于所研究的问题的特殊性，常常需要选用不同的坐标系,在Maple中除笛卡尔坐标系（cartesian,也称平面直角坐标系,默认）外，还提供了polar（极坐标系）、elliptic（椭圆坐标系）、bipolar（双极坐标系）、maxwell（麦克斯韦坐标系）、logarithmic（双数坐标系）等14种二维坐标系，其中最常用的是极坐标系。

设定坐标系的命令是coords.

>plot（ln（x+1）^2,x=0..8*Pi,coords=polar,scaling=CONSTRAINED,thickness=2）;

>plot（sin（6*x）,x=0..68*Pi,coords=polar,scaling=CONSTRAINED,tickmarks=[3,3]）;

>plot（[sin（20*x）,cos（sin（2*x））],x=0..2*Pi,coords=elliptic,scaling=CONSTRAINED,

color=[red,blue]）;

>plot（exp（sin（68*t）+cos（68*t））,t=0..2*Pi,coords=polar,scaling=CONSTRAINED）;

>plot（[seq（sin（t）+n*cos（t）,n=-5..5）],t=0..Pi,coords=polar,scaling=CONSTRAINED）;

试比较y=sin（x）在不同坐标系中的图形显示：

>plot（sin（x）,x=0..2*Pi,coords=polar,scaling=CONSTRAINED）;

>plot（sin（x）,x=0..2*Pi,coords=bipolar,scaling=CONSTRAINED）;

>plot（sin（x）,x=0..2*Pi,coords=elliptic,scaling=CONSTRAINED）;

>plot（sin（x）,x=0..2*Pi,coords=maxwell,scaling=CONSTRAINED）;

>restart:

>with（plots,polarplot）:

>r:

=（n,theta）->cos（5*theta）+n*cos（theta）;

>plot（{seq（[r（n,t）*cos（t）,r（n,t）*sin（t）,t=0..Pi],n=-5..5）}）;

>polarplot（（exp（cos（theta））-2*cos（4*theta）+sin（theta/12）^5）,theta=0..24*Pi）;

2三维绘图

2.1基本三维绘图指令

三维空间的绘图比二维空间更有变化性和趣味性,其命令函数为plot3d,可直接调用.命令格式如下：

plot3d（f（x,y）,x=xmin..xmax,y=ymin..ymax）;

plot3d（{f（x,y）,g（x,y）,…},x=xmin..xmax,y=ymin..ymax）;

plot3d（f（x,y）,x=xmin..xmax,y=ymin..ymax,options）;

其中，xmin..xmax为x的变化范围，ymin..ymax为y（即f（x））的变化范围.Option选项参数与二维时的情形相似，这里只列示新增指令的意义：

cotours：

设定等高线的数目或者等高线的值

grid：

设定组成曲面的样点数或方形网格的数量

gridstyle：

设定网格的形状（rectangular—矩形，triangular—三角形）

orientation：

设定观看图形的视角（但设定视角的最佳方式是用鼠标拖动图形）

projection：

设定投影的模式

shading：

设定曲面着色的方式

与二维情形相同，在Maple中三维绘图坐标系的选定使用命令coords，缺省坐标系为笛卡尔坐标系（cartesian），此外还有：

bipolarcylindrical（双极坐标）,bispherical（双球面坐标）,cardioidal（心脏线坐标）,cardioidcylindrical（心形柱坐标）,casscylindrical（）,confocalellip（共焦椭球坐标）,confocalparab（共焦抛物线坐标）,conical（锥形坐标）,cylindrical（柱坐标）,ellcylindrical（椭柱坐标）,ellipsoidal（椭球坐标）,hypercylindrical（超圆柱坐标）,invcasscylindrical,invellcylindrical（逆椭球坐标）,invoblspheroidal（）,invprospheroidal（）,logcoshcylindrical（双数双曲余弦柱坐标）,logcylindrical（对数柱坐标）,maxwellcylindrical（麦克斯韦柱坐标）,oblatespheroidal（）,paraboloidal（抛物面坐标）,paracylindrical（参数柱坐标）,prolatespheroidal（扁类球坐标）,rosecylindrical（玫瑰形柱坐标）,sixsphere（六球坐标）,spherical（球坐标）,tangentcylindrical（正切柱坐标）,tangentsphere（正切球坐标）和toroidal（圆环面坐标）.

>plot3d（x*y^2/（x^2+y^4）,x=-1..1,y=-1..1,axes=boxed）;

>plot3d（x*y/（x^2+y^2+2*x*y）,x=-4..4,y=-4..4,axes=BOXED）;

>plot3d（sin（x*y）,x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi）;

>plot3d（{2*sin（x）*cos（y）,-6*x/（x^2+y^2+1）},x=-4..4,y=-4..4）;

>plot3d（sin（z/2）,t=0..3*Pi/2,z=-4..4,coords=spherical）;

>plot3d（1,t=0..2*Pi,p=0..Pi,coords=spherical,scaling=constrained）;

>plot3d（sin（t）*sin（p^2）,t=0..Pi,p=0..Pi,coords=spherical,grid=[35,35]）;

>plot3d（theta,theta=0..8*Pi,phi=0..Pi,coords=spherical,style=wireframe）;

>plot3d（theta,theta=0..8*Pi,phi=0..Pi,coords=toroidal

（2）,style=wireframe）;

>plot3d（theta,theta=0..8*Pi,z=-1..1,coords=cylindrical,style=patch）:

2.2三维参数绘图

当二元函数无法表示成

时,有时可以用一组参数方程表示,关于这类参数方程的Maple作图,指令如下：

plot3d（[fx,fy,fz],t=tmin..tmax,u=umin..umax）;

plot3d（[fx,fy,fz],t=tmin..tmax,u=umin..umax,options）;

>plot3d（[sin（（x+10）/2）,cos（y^3/3）,x],x=-4..4,y=1..4）;

>plot3d（[cosh（u）*cos（v）,cosh（u）*sin（v）,u],u=-2..2,v=0..2*Pi）;

>plot3d（[cos（u）*cos（v）,cos（u）*sin（v）,u^2],u=-2..2,v=0..2*Pi,axes=FRAME）;

>plot3d（[cos（u）*cos（v）,cos（u）*sin（v）,sin（u）],u=-1..1,v=0..2*Pi,orientation=

[146,21],scaling=CONSTRAINED）;

3特殊作图

3.1图形的显示与合并

>with（plots）:

g1:

=plot（cos（x）,x=-2*Pi..2*Pi）:

g2:

=plot（sin（x）,x=-2*Pi..2*Pi,thickness=5）:

display（g1,g2,axes=BOXED）;

>g3:

=plot3d（2*exp（-sqrt（x^2+y^2））,x=-6..6,y=-6..6）:

g4:

=plot3d（sin（sqrt（x^2+y^2））,x=-6..6,y=-6..6）:

display（g3,g4）;

3.2不等式作图

不等式作图基本上有4部分：

1解区间（feasibleregion）：

此区域完全满足所有的不等式;

2非解区间（excludedregion）：

此区域不完全满足所有不等式;

3开线（openlines）：

不等式的边界,但不包含此边界;

4闭线（closedlines）：

不等式的边界（包含此边界）

>with（plots）:

inequal（2*x-5*y<6,x=-3..3,y=-3..3）;

>ineqns:

={x-y+2>0,2*x+3*y+9>0,8*x+3*y-27<0};

sol:

=solve（ineqns,{x,y}）;

ans:

=map（convert,sol,equality）;

implicitplot（ans,x=-6..8,y=-10..10）;

>inequal（ineqns,x=-6..8,y=-10..10,optionsexcluded=

（color=wheat）,optionsopen=（color=red））;

>neweqs:

=ineqnsunion{x>=0,y>=0}:

>inequal（neweqs,x=-6..8,y=-10..10,optionsexcluded=

（color=wheat）,optionsopen=（color=red））;

3.3空间曲线绘图

>with（plots）:

spacecurve（[cos（t/2）,sin（t/2）,t,t=0..68*Pi],numpoints=500）;

>spacecurve（{[3*cos（t）,3*sin（t）,t,t=0..12*Pi],[2+t*cos（t）,2+t*sin（t）,t,t=0..

10*Pi]},numpoints=200）;

>spacecurve（{[t*cos（2*Pi*t）,t*sin（2*Pi*t）,2+t],[2+t,t*

cos（2*Pi*t）,t*sin（2*Pi*t）],[t*cos（2*Pi*t）,2+t,t*sin

（2*Pi*t）]},t=0..10,shading=none,numpoints=500,style=

line,axes=boxed）;

3.4隐函数作图

>with（plots）:

eqn:

=x^2+y^2=1;

sol:

=solve（eqn,x）;

plot（[sol],y=-1..1,scaling=constrained）;

>implicitplot（eqn,x=-1..1,y=-1..1,scaling=constrained）;

>implicitplot（（x^2+y）^2=x^2-y^2-1/60,x=-3..3,y=-3..3,grid=[100,100]）;

>implicitplot3d（x^3+y^3+z^3+1=（x+y+z+1）^3,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2）;

>implicitplot3d（r=（1.3）^x*sin（y）,x=-1..2*Pi,y=0..Pi,r=0.1..5,coords=spherical）;

>p:

=proc（x,y,z）ifx^2

implicitplot3d（p,-2..2,-1..3,0..3）;

3.5等高线与密度图

>with（plots）:

expr:

=6*x/（x^2+y^2+1）;

plot3d（expr,x=-6..6,y=-6..6,orientation=[-119,37]）;

上面是expr的三维图,试看其密度图（contourplot）、等高线图（densityplot）：

>densityplot（expr,x=-6..6,y=-6..6,grid=[60,60],style=patchnogrid,axes=boxed）;

>contourplot（expr,x=-6..6,y=-6..6,contours=[-2.7,-2,-1,1,2,2.7],grid=[60,60],thickness=2）;

还可以用display将等高线图与密度图绘制在同一张图上：

>display（%,%%）;

进一步,还可以为等高线图着色（用filled=true）,并以coloring来指定着色的方向.

>contourplot（expr,x=-10..10,y=-6..6,filled=true,grid=[50,50],coloring=

[white,red],axes=boxed）;

>contourplot3d（expr,x=-6..6,y=-4..4,axes=boxed,orientation=[-124,67],

filled=true,coloring=[navy,pink]）;

3.6对数作图

对数作图主要有三种情形：

logplot（线性-对数）、loglogplot（对数-对数）、semilogplot（对数-线性）.

>with（plots）:

logplot（x^2-x+4,x=1..12）;

>loglogplot（x^2-x+4,x=1..12）;

>semilogplot（x^2-x+4,x=1..12）;

>loglogplot（[cos（2*t）^2+3,sin（t^2）^2+1,t=0..3]）;

3.7高级作图指令

3.7.1在图形上加上文字

textplot和textplot3d指令可以分别在二维与三维图形上加上文字