北大版线性代数部分课后答案详解.docx
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北大版线性代数部分课后答案详解
习题1.2:
如如如如
1•写岀四阶行列式中幻I'2勺3"24含有因子的项
“3】a32a33a34
«41勺2«43仙
解:
由行列式的泄义可知,第三行只能从@2、中选,第四行只能从厲2、中选,所以所有的组合只有(-l)f(,324)如给角2知或(-1)"网aHa23a34a42,即含有因子勺]“23的项
为一如吹32%和aHa23a34a42
a2l
2•用行列式的泄义证明
证明:
第五行只有取他「山2整个因式才能有可能不为°,同理,第四行取“42,第三行取①I、©2,由于每一列只能取一个,则在第三第四第五行中,必有一行只能取0•以第五行为参考,含有的因式必含有0,同理,含有的因式也必含有0“故所有因式都为
0•原命题得证・。
3•求下列行列式的值:
0
1
0
♦•♦
0
0•…
0
1
0
0
0
2
♦••
0
0...
2
0
0
(1)
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
;
(2)
••
••
••
■
■
■
•
■
■
•
•
•
•
■
0
0
0
•••
”一1
〃一1•…
0
0
0
n
0
0
•••
0
0…
0
0
H
0
1
0
♦••
0
0
0
2
•••
0
解:
(1)
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
/lXr(234...nl)
=("1)
Ix2x3x--
•xn=(-1)*"1n\
0
0
0
・•・//-I
n
0
0
•••
0
«11
4.设n阶行列式:
A=:
%
证明:
A=Bo
E(T严•”%叫2…%沪Wi"叫z(T严%%…讣A叩2・・%和巾时2••叭和巾
命题得证。
5•证明:
如下2007阶行列式不等于6
1
2
…2006
2007
22
32
…20072
2OO82
D=
33
•
43
•
…20083
••
20083
■
•
■
20072(xn
■
•
2OO82007
••
••
...2OO82007
■
■
2OO82007
证明:
最后一行元素,除去2007*”是奇数以外,其余都是偶数,故含2008^7的因式也都是偶数。
若最后一行取2OO72007,则倒数第二行只有取2OO72006才有可能最后乘积为奇数,以此类推,只有次对角线上的元素的积为奇数,其余项的积都为偶数。
故原命题得证。
习题1.3
1求下列行列式的值:
3
1
1
1
0
1
1
1
a
b
c
d
1
3
1
1
1
0
1
1
a
a+b
a+b+c
a+b+c+d
⑴
1
1
3
1
;
(2)
1
1
0
1
;(3.)A=
a
2a+b
3d+2b+c
4a+3b+2c+d
1
1
1
3
1
1
1
0
a
3a+b
6a+3b+c
10a+6b+3c+d
解:
0111
0111
、
3321
1011
y^3+几4>
1-100
C4+C3,
0-100
1101
—An4-/I3
01-10
C3+C2
00-10
1110
一人+Ao
001—1
C2+Q
000-1
=-3;
abc
cl
aba+b+c
a+b+c+cl
ab6a+3b+c10"+6b+3c+〃
a0
0d
aa
a+ba+b+c+d
a2a
3a+2b4a+3b+2c+d
a3a
6a+3b10a+6b+3c+d
a2a+b3a+2b+c4a+3b+2c+d
a3a+b6a+3b+c10“+6b+3c+d
a0cd
a000
aaca+b+c+d
aau+ba+b+c
+
—
a2ac4a+3b+2c+d
a2a3a+2b4a+3b+2c
a3ac\Oa+6b+3c+d
a3a6a+3b\Oa+6b+3c
a00d
“000
«000
aaa+bd
aaaa+b+c
1
aaba+b+c
a2a3a+2bd
a2a3a4a+3b+2c
十
a2a2b4a+3b+2c
a3a6a+3bd
a3a6a10“+6Z?
+3c
a3a3b10"+6b+3c
a000
6/000
6/000
a000
aaaa+b
aaac
aaaa
aaab
+
二
+
a2a3a4a+3b
a2a3a2c
a2a3a4a
a2a3a3b
a3a6a\0a+6b
a3a6a3c
a3a6a10a
a3a6a6b
a
0
0
0
a
a
Cl
Cl
a
2a
3a
4“
a
3a
6a
10"
a
1
1
-a
2
Cl
a
Cl
ux—ax—ax\0a=a4
65
2.求下列n阶行列式的值:
1
2・••
n
n+\
n+2•…
2n
(1)
2n+\
■
In+2•…
••
3n
■
•
■
(〃-l”z+l
•♦
••
(77-1)/7+2・・・
■
■n"
(2)
3
2
2・••
2
2
3
2…
2
2
2
3…
2
■
■
••
■
2
2
2・••
3
(3)
1
2
3
…n
1
2
3
…n
-1
0
3
•…n
1
x+1
3
・・・n
-1
■
■
-2
•
■
0
■
…n
••
♦•
;(4)
1
■
■
2
•
■
x+1
■
・・・n
••
••
■
-1
•
-2
■
一3
…0
■
1
•
2
■
3
••
…x+1
解:
(1)Dn=
(1)
(2)
(3)
综上:
(2)
1
n+1
2n+l
2
n+2
2n+2
n
2n
3/2
(”一1)〃+1
(7?
-1)/7+2
若22;则卩严
1
2
•••
n
n+\
n+2
••・
2n
D严
2n+1
•
2/7+2
■
■
3〃
■
■
•
■
(n-l)n+l
•
■
(n-l)n+2
■
n2
1
2...
n
n
n・••
n
n
■
n•…
••
n
■
=0;
▼▼▼
♦••(7?
-1)/?
+1(77-l)77+2•…
■
•>ir
若幵n3,则
Dn=\
1
-2
0
—/L->+/tq
—儿+*^2
3
2
2
…2
2
3
2
…2
2
2
3
…2
■
2
■
2
■
2
••
…3
其中,
i先后取n,nT,・・・2、
一4-1+4
3
2
2
…2
-1
1
0
••・o
0
-1
1
•••o
■
0
0
■
0
••
-11
(3)
i依次取n,n-1…2
3+2(舁_1)
2x2
10
01
♦•
♦•
■
00
0
0=2n+l;
■
1
1
2
3
•…n
-1
0
3
…n
-1
-2
0
・••n
■
-1
•
-2
♦
-3
♦•
…0
i依次取n,n・l,…21
22x3…In
3・••2n
(4)
2
x+\
2
j依次取2、3、…n
1
1
1
1
x-2
X-72+1
=(x-l)(x-2)-••(%-/?
+1);
习题1.4
1.计算下列行列式:
X
a
b
0
c
0
y
0
0
d
1+x:
W2
…
(1)
0
c
乙
0
f
;
(2)
•
\+x;
■
…◎”
••
g
h
k
u
I
•
•
•
■
••
••
…1+兀
0
0
0
0
V
S/2
(3)
解:
u
0
0
0
0
7
9
7
5
()
()
4
3
0
0
5
8
9
6
5
6
3
4
0
0
0
0
2
3
()
0
0
0
;(4)
(1)
8
x
0
0
0
=xyzuv;
a
0
0
♦♦•
01
0
a
0
•♦•
00
0
0
a
♦••
00
■
0
■
0
■
0
♦♦•
a
■
0
1
0
0
♦♦•
0a
X
0
b
a
c
g
u
k
h
1
0
0
z
c
f
0
0
0
y
0
0
0
0
0
V
;ix;r
(2)
1+x;
“2
…W”
1+x:
...0
1+X;
力宀••
D=
•
1+JV;
•
…
••
=
爾
•
1+xj
■
・・•0
••
+
•
1+X;••
••
■
•
••
…1+尤
■
•
••
…1
•
■
g・•
•丙"
•花兀
1+X:
“2
…"n
1+X;
X宀・
••鬲
(-1厂
•
•
■
1+%2
■
■
■
…吃兀
♦•
••
••
+对
■
■
•
1+X;•
•♦
■
■
・・x2
■
♦•
••
兀一內
…1+E-1
尤2・
…I
1+X;
X宀
…召舛-
1+x;
“2
…巧_2
•Vl
■
■
■
1+€
•
•
■
…^2^.-1
••
••
••
+x;=
■
•
•
1+X;
■
■
•
…花兀-2
••
••
••
Vi^i
宀
…1+V2
1〒ah-1
心-2兀2
…1+理2
+•・•+益;
+G+X,;=・ul+
1+x;
2•依次取1、2、…n—1》
=1)
(3)
7
9
7
5
0
0
6
7
4
3
0
0
5
8
9
6
5
6
4
9
7
1
6
8
3
4
0
0
0
0
2
3
0
0
0
0
=(-9
(*6)+{3+4)
7
9
7
5
6
7
4
3
3
4
0
0
2
3
0
0
56
(订(3+4)+(】+2)
74
32
56
74
32
68
53
43
68
53
43
(4)
a
0
0
...0
1
0
a
0
...0
0
0
•
•
0
■
■
a
■
■
...0
••
••
0
■
■
■
0
•
0
■
0
■■
••
•…a
•
0
1
0
0
...0
a
E+(—l)g…(7)亍—2=/-2(/_]);
W:
2•试用拉普拉斯左理汁算:
nx/j
1
1
=0
0
0
■>
1110
1230
0111
0X]x2x3
0x[x;x;
0
0
1
X4
_(_])U+2”(l+2)
11
12
X
111
x2x3x4
111
+(j)(l+2)+(g1
X;X;xj
1
1
1
=("-七)[(勺72)(勺-勺)-2(^3-西)(兀4-xj]
2.利用范徳蒙行列式计算:
d”打-
■
■
■
(a_l)”...(―町”
(d-l)"“...(a-n)n~]
••
•••••
••
;
(2)
CI2
•
■
•
7J-1f
a2b2
■
■
•
…卅
;K-l
…a2b2
••
••
••
b:
■
•
■
a
a—1…a-n
n
an+l
"一1;
勺+Q+1
1
1…1
(1)
(40,i=l,2,・・・/+1)
j依次取n、
(-0"
/(仇_1)“
2)
n
n+l>r>;>l
n(Wj
n+l>/>y>l
习题1.5
L用克莱姆法则解下列方程:
2x}+x2-5x3+x4=8
(1)
xx_3x2_6x4=9
2x2-x3+2x4=-5
X|+4x2一7^3+6x4=0
解:
(_])(屮X(2+4)
121
-5
0
总复习题一
1•计算行列式D=
2
4
201
1
1
2
102
2
1
1
-99
1
1
-1
98
-2
2•计算行列式D=3•计算行列式D=4•计算行列式D=5•计算行列式D=
246
427
327
1014
543
443
■
-342
721
621
1+X
1
1
1
1
l—x
1
1
1
1
1+y
1
1
1
1
l-y
1
-1
1
x—l
1
-1
X+1
-1
1
x-1
1
-1
x+\
-1
1
-1
13
3...
3
32
3...
3
33
3...
3
33
3…
H
6•计算行列式A=
al+bi
5+2
…5+仇
勺+勺
■
■
^2+b2
■
…a2+hn
♦•
••
■
+也
■
5+b2
••
•••a+b
7•计算行列式
D=
1
1
1
-1
1+q
1
1
…1
1
\+a2
1
…1
8证明D=
1
■
■
1
♦
■
1+6
4
■
…1
♦•
••
•
1
■
1
■
1
♦•
…1+勺
2cosx
1
0•
1
2cosx
1•
0
1
2cosx•
9.证明:
•
■
•
•
■
■
••
■
■
0
0
0•
0
0
0•
•0
0
•0
0
•0
0
sin(n+l)x
•
■
••
■
■
■
sinx
•2cosx
1
•1
2cosx
轨卫)…孤⑴和2丿(?
)…a2n(0
••
••…•
••
轨⑴…碱)
11•一个n阶行列式9的元素满足,则称为反对称行列式,证明:
奇数阶反对称行列式为零。
12讣算由杨辉三角规律给出的n阶横列式
11111…
1233
136
D=.…
解:
1.
2
1
1
1
4
2
1
2
D=
4
2
1
-1
i依次取1、2、4
C3+Cl>
6
3
1
0
201
102
-99
98
=C3+q>
3
3
-99
-1
1
2
1
-2
3
3
1
-1
=246[(500+43)(600+21)-(400+43)(700+21)]
-427(1014x621+342x443)+327(1014x721+342x543)=246x17800+
1014[721(427-100)-427(721-100)]+342[543(427-100)-427(543-100)]=
4378800-29811600-3967200=-29400000
-1
-1
-1
\+x111
x001
11-x11
j依次取1、2、3、
0-x01
111+y1
=_q+q
00y1
1111一y
yyyi一y
一1
-1
=6(h-3)!
6•计算行列式A=
勺+勺
a2+hl
4+勺
q+
b?
…5+4
a2+bX
■
■
a2+b2
■
•
…勺+化
••
••
■
5+A
••
•••(i+b
…q
+4
4+2
6+4…^2+bn
1)
2)
若n=l,则A=«|+b{:
若1=2侧A=
«i+b2
a2+b2
=(。
2—4)(勺一优):
q+勺
ai+b2
…a\+bn
勺-优
…6+化
3)若n>3,5lijA=
①+勺
•
•
•
■
■
■
…5+“
••
••
••
=
bX~b2
•
■
•
b2~b3
■
■
■
…a2+bn
••
••
••
5+®
5+4
…ci+b
h\~b2
b2一$
…务+乞
5+也
・•・人=仲2-山)(*-仇)o
n=1
n=2
n>3
7•汁算行列式
D=
-A2+A3
_右+
-("-1)
-II
0
()
3
=(-l)
-(T
-II
(-l),+n+1(-1)
1+n+l
x2x
3
-1
-2
-72
一⑺一1)
(-1严)6x
8证明
一口
一(〃一1)
1+G]
1
1
…1
1
\+a2
1
…1
1
■
■
1
■
■
1+冬
■
…1
••
••
■
1
■
1
■
1
♦•
…1+色
D=
=(-i)
(/i+3)(;i+4)
3!
川=(—1)=35!
\/=1一]7
a\ar^anHO;
D=
1
\+a2
1
1
1
\+a3
i依次取n-1、m2、…、2、1》
一&・+备1
1+a〕
-5
,依次取n、n-1、…、2
A+A-i
/?
-i
2
5-
1
I+an
0
an
■
■
■
an
0
■
■
■
~an-l
an
qo,…幺
心+
1
1
…1
1
1
1
…1
an
一5
0
…0
()
0
...0
an
=
一a?
♦•
••
••
0
+
-«2
♦•
••
••
a„
0
•
•
•
0
■
■
■
~an.l
0
"an-l
an
i依次取2、
3、…、n
Un-\+
--1-1-1
1+a】+a2+・•・+6//r_|
0
0
山(一1广(1+石+砰+・・・+昭)(-1广
1
2cosx
1):
当n=l时,D]=2cosx="nJ”sinx
csin3x
=2cos"x+cos2x=
sinx
2COST
1
0…
0
0
1
2cosx
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9•证明:
_sin(n+l)xsinx
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- 北大 线性代数 部分 课后 答案 详解