完整版高等代数北大版第7章习题参考答案doc.docx
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第七章线性变换
1.判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:
1)在线性空间V中,A
其中
V是一固定的向量;
2)在线性空间V中,A
其中
V是一固定的向量;
3)在P3中,A(x1,x2,x3)
(x12,x2x3,x32);
4)在P3中,A(x1,x2,x3)
(2x1
x2,x2
x3,x1);
5)在P[x]中,Af(x)
f(x1);
6)在P[x]中,Af(x)
f(x0),其中x0
P是一固定的数;
7)把复数域上看作复数域上的线性空间,
A
。
8)在Pn
n中,AX=BXC
其中B,C
Pnn是两个固定的矩阵.
解1)当
0时,是;当
0时,不是。
2)当
0
时,是;当
0
时,不是。
3)不是.例如当
(1,0,0)
k
2时,kA(
)(2,0,0),A(k)(4,0,0),
A(k)
kA()。
4)是.因取(x1,x2,x3),
(y1,y2,y3),有
A(
)=A(x1
y1,x2
y2,x3
y3)
=(2x1
2y1
x2
y2,x2
y2
x3
y3,x1y1)
=(2x1
x2,x2
x3,x1)(2y1
y2,y2y3,y1)
=A+A,
A(k)
A(kx1,kx2,kx3)
(2kx1kx2,kx2kx3,kx1)
(2kx1kx2,kx2kx3,kx1)
=kA(),
故A是P3上的线性变换。
5)是.因任取f(x)
P[x],g(x)
P[x],并令
u(x)f(x)g(x)则
A(f(x)
g(x))=Au(x)=u(x
1)=f(x1)
g(x
1)=Af(x)+A(g(x)),
再令v(x)
kf(x)则A(kf(x))
A(v(x))
v(x
1)
kf(x1)
kA(f(x)),
故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)
P[x]则.
A(f(x)
g(x))=f(x0)g(x0
)A(f(x))
A(g(x)),
A(kf(x))
kf(x0)
kA(f(x))。
7)不是,例如取
a=1,k=I,则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。
8)是,因任取二矩阵X,Y
Pnn,则A(XY)
B(X
Y)C
BXC
BYCAX+AY,
A(kX)=B(kX)k(BXC)kAX,故A是Pnn上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的
变换,证明:
A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2,并检验(AB)2=A2B2是否成立。
解任取一向量a=(x,y,z),则有
1)因为
Aa=(x,-z,y),
A2a=(x,-y,-z),A3a=(x,z,-y),
A4a=(x,y,z),
Ba=(z,y,-x),
B
2
3
B
4
a=(-x,y,-z),B
a=(-z,y,x),
a=(x,y,z),
Ca=(-y,x,z),
C
2
3
C
4
a=(-x,-y,z),C
a=(y,-x,z),
a=(x,y,z),
所以A4
=B
4
=C
4
=E。
2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y),BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x),所以ABBA。
3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z),B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z),
所以A2
B
2
=B
2
A
2。
2
2
2
3)因为(AB)
(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x),A
B(a)=(-x,-y,z),
所以(AB)2
A
2
B
2。
3.在P[x]
中,Af(x)
f'(x),Bf(x)xf(x),证明:
AB-BA=E。
证任取f(x)
P[x],则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)
xf;(x)-xf'(x)=f(x)
所以
AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明:
AkB-BAk=kAk1
(k>1)。
证采用数学归纳法。
当
k=2时
A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA
2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=
2a,结论成立。
归纳假设k
m时结论成立,即
AmB-BAm=mAm1。
则当km1时,有
Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(A
mB-BAm)A=AmE+mA
m1A=(m
1)Am。
即k
m
1
时结论成立.故对一切k
1结论成立。
5.证明:
可逆变换是双射。
证设A是可逆变换,它的逆变换为
A1。
若ab
,则必有Aa
Ab,不然设Aa=Ab,两边左乘A1,有a=b,这与条件矛盾。
其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令A1b=a即可。
因此,A是一个双射。
6.设
1,
2,
n是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换。
证明:
A是可逆变换当且
仅当A
1,A
2,
A
n线性无关。
证因A(1,
2,
n)=(A1,A
2,
A
n)=(1,
2,
n)A,
故A可逆的充要条件是矩阵
A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,
A
n线性无
关,故A可逆的充要条件是
A
1,A
2,
An线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵
:
1)
第1
题4)中变换A在基1=(1,0,0),
2=(0,1,0),
3=(0,0,1)下的矩阵;
2)
[o;
1,
2]是平面上一直角坐标系
A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B是平面上的向量对
2的垂直投影,求
A,B,AB在基1,2下的矩阵;
3)
在空间P[x]n中,设变换A为f(x)
f(x
1)
f(x),
试求A在基
i=x(x
1)
(x
i
1)
1
(I=1,2,
n-1)下的矩阵A;
i!
4)
六个函数
1=eaxcosbx,
2=eaxsinbx,3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx,
1=
1x2eaxcosbx,
1=
1
eax
x2sinbx,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空
2
2
间,求微分变换
D在基
i
(i=1,2,
6)下的矩阵;
1
0
1
5)
已知P
3中线性变换A在基
1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),
3=(0,1,1)下的矩阵是
1
1
0,
1
2
1
求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
6)在P3中,A定义如下:
A
1
A2
A3
其中
(
5,0,3)
(0,
1,6)
,
(
5,
1,9)
1
2
3
(1,0,2)
(0,1,1),
(3,1,0)
求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
7)同上,求A在1,2,3下的矩阵。
解1)A1=(2,0,1)=21+3,A2=(-1,1,0)=-1+2,A3=(0,1,0)=2,
2
1
0
故在基
1,2,
3下的矩阵为0
1
1
。
1
0
0
2)取1=(1,0),2=(0,1),则A
1
1
1
1
1=
1+
2,A2=
1+2,
1
1
2
2
2
2
故A在基
1,2下的矩阵为A=
2
2
。
1
1
2
2
又因为B
1=0,B
2=
2,所以B在基
0
0
1,
2下的矩阵为B=
,另外,(AB)2=A
0
1
(B2)=A2
1
1+
1
2,
=
2
2
1
0
所以AB在基
1,
2下的矩阵为AB=
2
。
1
0
2
3)因为
1,1
x,
x(x1)
n
x(x1)[x(n2)]
0
2
2!
1
,
(n1)!
所以A
0
1
1
0,
A
1
(x
1)
x
0,
LLLL
A
n1
(x1)x[x(n3)]
x(x1)[x(n2)]
(n
1)!
(n1)!
x(x
1)
[x
(n
3)]
=
(n
1)!
{(x1)[x(n2)]}
=
n2,
0
1
0
1
所以A在基
0,
1,
n
1下的矩阵为A=
。
1
0
4)因为D1=a
1-b2,
D
2=b1-a
2,
6,
D
3=
1+a
3-b
4
D
4=
2+b
3+a
4
D
5=
3+a5-b
6,
D
6=
4+b
5+a
6
,
a
b
1
0
0
0
b
a
0
1
0
0
0
0
a
b
1
0
所以D在给定基下的矩阵为D=
0
b
a
0
0。
0
1
0
0
0
0
a
b
0
0
0
0
b
a
1
1
0
5)因为(1,2,3)=(1,
2,3)1
0
1
,所以
1
1
1
1
1
1
(1,2,3)=(1,2,3)0
1
1
=(1,2,3)X,
1
0
1
故A在基1,2,3下的矩阵为
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
B=X1AX=1
0
1
1
1
0
0
1
1
=
2
2
0
。
1
1
1
1
2
1
1
0
1
3
0
2
1
0
3
6)因为(
1,
2,
3)=(
1,
2,3)
0
1
1
,
2
1
0
1
0
3
所以A(
1,
2,
3)=A(
1,
2,3)
0
1
1
2
1
0
5
0
5
但已知A(
1,2,3)=(
1,2,3)
0
1
1
,
3
6
9
5
0
5
1
0
3
故A(1,
2,3)=(1,
2,3)0
1
1
0
1
1
1
3
6
9
2
1
0
1
3
3
5
0
5
7
7
7
=(
1,2,3)
0
1
1
2
6
1
7
7
7
3
6
9
2
1
1
7
7
7
5
20
20
7
7
7
=(
1,
2,3)
4
5
2
。
7
7
7
27
18
24
7
7
7
1
0
3
7)因为(
1,
2,3)=(
1,
2,
3)
0
1
1
1,
2
1
0
1
0
3
5
0
5
所以A(1,
2,
3)=(1,
2,
3)
0
1
1
1
0
1
1
2
1
0
3
6
9
2
3
5
=(1,2,3)
10
1。
1
1
0
8.在P
2
2中定义线性变换A
1
(X)=
a
b
X,A2(X)=X
a
b
A2(X)=
c
d
c
d
abab
X
cdcd
求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
解因A1E11=aE11+cE12,A1E12=aE12+cE22,
A1E21=bE11+dE21,A1E22=bE21+dE22,
a
0
b
0
故A1在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为A1
0
a
0
b
=
0
d
。
c
0
0
c
0
d
又因A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,
A2E21=aE21+bE22,A2E22=cE21+dE22,
a
c
0
0
故A2在基E11,E12
E21,E22
下的矩阵为A2
b
d
0
0
。
=
0
a
c
0
0
0
b
d
又因A3E11=a2E11+abE12+acE21+bcE22,
2
A3E12=acE11+adE12+cE21+cdE22,
A3E21=abE11+b
2
E12+adE21+bdE22,
A3E22=bcE11+bdE12+cdE21+d2E22,
a2
ac
ab
bc
故A3在基E11,E12,E21,E22
下的矩阵为A3
ab
ad
b2
bd
ac
c2
ad
。
cd
bc
cd
bd
d2
9.设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为
a11
a12
a13
A=a21
a22
a23
,
a31
a32
a33
1)求A在基3,2,1下的矩阵;
2)求A在基1,k2,3下的矩阵,其中且;
3)求A在基12,2,3下的矩阵。
解1)因A3=a333+a232
a13
1,
A2=a323
a222
a121,
A1=a313
a212
a111,
a33
a32
a31
故A在基
3,2,
1下的矩阵为B3
a23
a22
a21
。
a13
a12
a11
2)因A1=a111+a21(k2)a31
3,
k
A(k
2)=ka121+a22(k
2)+ka323,
A3=a131+a23(k
2)+a333,
k
a11
ka12
a13
故A在1,k
2,
3下的矩阵为
B2
a21
a22
a23
。
k
k
a31
ka32
a3
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