江苏专用版高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题教师用书理苏教版.docx
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高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题教师用书理苏教版
1.(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为________.
答案
解析 如图,设双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),则AB=2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1,y1)在第一象限内,过M作MN⊥x轴于点N(x1,0),
∵△ABM为等腰三角形,且∠ABM=120°,
∴BM=AB=2a,∠MBN=60°,
∴y1=MN=BMsin∠MBN=2asin60°=a,
x1=OB+BN=a+2acos60°=2a.将点M(x1,y1)的坐标代入-=1,可得a2=b2,∴e===.
2.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足OP=OF,且PF=4,则椭圆C的方程为______________.
答案 +=1
解析 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F′,连结PF′,如图所示,因为F(-2,0)为C的左焦点,所以c=2.
由OP=OF=OF′知,∠FPF′=90°,即FP⊥PF′.
在Rt△PFF′中,由勾股定理,
得PF′===8.
由椭圆定义,得PF+PF′=2a=4+8=12,
所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-
(2)2=16,所以椭圆的方程为+=1.
3.(2017·山西质量监测)已知A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆交于C,D两点,若四边形ACBD的面积的最大值为2c2,则椭圆的离心率为________.
答案
解析 设C(x1,y1)(x1>0),D(x2,y2),
将y=kx代入椭圆方程可解得
x1=,x2=,
则CD=|x1-x2|=.
又点A(a,0)到直线y=kx的距离d1=,点B(0,b)到直线y=kx的距离d2=,
所以S四边形ACBD=d1·CD+d2·CD
=(d1+d2)·CD=··
=ab·.
令t=,
则t2==1+2ab·
=1+2ab·≤1+2ab·=2,
当且仅当=a2k,即k=时,tmax=,
所以S四边形ACBD的最大值为ab.
由条件,得ab=2c2,
即2c4=a2b2=a2(a2-c2)=a4-a2c2,2c4+a2c2-a4=0,2e4+e2-1=0,
解得e2=或e2=-1(舍去),所以e=.
4.(2016·北京)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=________.
答案 2
解析 设B为双曲线的右焦点,如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2,
∴c=OB=2,
又∠AOB=,
∴=tan=1,即a=b.
又a2+b2=c2=8,∴a=2.
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.
答案 -=1
解析 由题意得,双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点坐标为(,0),(-,0),c=且双曲线的离心率为2×==⇒a=2,b2=c2-a2=3,
所以双曲线的方程为-=1.
题型一 求圆锥曲线的标准方程
例1 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,则椭圆的方程为______________.
答案 +=1或+=1
解析 设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,PF1=,PF2=.
由椭圆的定义,知2a=PF1+PF2=2,即a=.
由PF1>PF2知,PF2垂直于长轴.
故在Rt△PF2F1中,4c2=PF-PF=,
∴c2=,于是b2=a2-c2=.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,故所求的椭圆方程为+=1或+=1.
思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,主要利用圆锥曲线的定义、几何性质,解得标准方程中的参数,从而求得方程.
(2015·天津改编)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为________________.
答案 x2-=1
解析 双曲线-=1的一个焦点为F(2,0),
则a2+b2=4,①
双曲线的渐近线方程为y=±x,
由题意得=,②
联立①②解得b=,a=1,
所求双曲线的方程为x2-=1.
题型二 圆锥曲线的几何性质
例2
(1)(2015·湖南改编)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为________.
(2)(2016·天津)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若CF=2AF,且△ACE的面积为3,则p的值为________.
答案
(1)
(2)
解析
(1)由条件知y=-x过点(3,-4),∴=4,
即3b=4a,∴9b2=16a2,∴9c2-9a2=16a2,
∴25a2=9c2,∴e=.
(2)
由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2=2px(p>0),
∴F,
AB=AF=p,
可得A(p,p).
易知△AEB∽△FEC,∴==,
故S△ACE=S△ACF=×3p×p×
=p2=3,
∴p2=6,∵p>0,∴p=.
思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、双曲线渐近线,是常考题型,解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义,及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧,有助于提高运算能力.
已知椭圆+=1(a>b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有相同的焦点F,P,Q是椭圆与抛物线的交点,若PQ经过焦点F,则椭圆+=1(a>b>0)的离心率为____________.
答案 -1
解析 因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点F为,设椭圆另一焦点为E.
当x=时,代入抛物线方程得
y=±p,
又因为PQ经过焦点F,所以P且PF⊥OF.
所以PE==p,
PF=p,EF=p.
故2a=p+p,2c=p,e==-1.
题型三 最值、范围问题
例3 设椭圆M:
+=1(a>b>0)的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数,且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若直线y=x+m交椭圆M于A,B两点,P(1,)为椭圆M上一点,求△PAB面积的最大值.
解
(1)双曲线的离心率为,
则椭圆的离心率e==,
由⇒
故椭圆M的方程为+=1.
(2)由得4x2+2mx+m2-4=0,
由Δ=(2m)2-16(m2-4)>0,得-2 ∵x1+x2=-m,x1x2=, ∴AB=|x1-x2|=· =·=·. 又P到直线AB的距离d=, 则S△PAB=·AB·d=··· == ≤·=, 当且仅当m=±2∈(-2,2)时取等号, ∴(S△PAB)max=. 思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种: 一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线几何意义求最值与范围. (2016·盐城一模)如图,曲线Γ由两个椭圆T1: +=1(a>b>0)和椭圆T2: +=1(b>c>0)组成,当a,b,c成等比数列时,称曲线Γ为“猫眼”. (1)若“猫眼曲线”Γ过点M(0,-),且a,b,c的公比为,求“猫眼曲线”Γ的方程; (2)对于 (1)中的“猫眼曲线”Γ,任作斜率为k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆T1所得弦的中点为M,交椭圆T2所得弦的中点为N,求证: 为与k无关的定值; (3)若斜率为的直线l为椭圆T2的切线,且交椭圆T1于点A,B,N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A,B不重合),求△ABN面积的最大值. (1)解 由题意知,b=,==, ∴a=2,c=1, ∴T1: +=1,T2: +x2=1. (2)证明 设斜率为k的直线交椭圆T1于点C(x1,y1),D(x2,y2),线段CD的中点为M(x0,y0), ∴x0=,y0=, 由得 +=0. ∵k存在且k≠0,∴x1≠x2且x0≠0, 故上式整理得·=-, 即k·kOM=-. 同理,k·kON=-2,∴=. (3)解 设直线l的方程为y=x+m, 联立方程得 整理得(b2+2c2)x2+2mc2x+m2c2-b2c2=0, 由Δ=0,化简得m2=b2+2c2, 取l1: y=x+. 联立方程 化简得(b2+2a2)x2+2ma2x+m2a2-b2a2=0. 由Δ=0,得m2=b2+2a2, 取l2: y=x-, l1,l2两平行线间距离 d=, 又AB=, ∴△ABN的面积最大值为S=·AB·d =. 题型四 定值、定点问题 例4 (2016·全国乙卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明EA+EB为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围. 解 (1)因为AD=AC,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以EB=ED,故EA+EB=EA+ED=AD. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而AD=4,所以EA+EB=4. 由题设得A(-1,0),B(1,0),AB=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y≠0). (2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 则x1+x2=,x1x2=, 所以MN=|x1-x2|=. 过点B(1,0)且与l垂直的直线m: y=-(x-1), 点A到m的距离为, 所以PQ=2=4. 故四边形MPNQ的面积 S=MN·PQ=12. 可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8). 当l与x轴垂直时,其方程为x=1,MN=3,PQ=8,四边形MPNQ的面积为12. 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8). 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2016·北京)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程; (2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证: AN·BM为定值. (1)解 由已知=,ab=1. 又a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=. ∴椭圆方程为+y2=1. (2)证明 由 (1)知,A(2,0),B(0,1). 设椭圆上一点P(x0,y0),则+y=1. 当x0≠0时,直线PA方程为y=(x-2), 令x=0,得yM=. 从而BM=|1-yM|=. 直线PB方程为y=x+1. 令y=0,得xN=. ∴AN=|2-xN|=. ∴AN·BM=· =· = ==4.
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