广东省南澳县南澳中学届高三上学期第二次模拟考试数学理科试题.docx
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广东省南澳县南澳中学届高三上学期第二次模拟考试数学理科试题
南澳中学2014-2015学年第一学期第二次高考模拟考试
高三理科数学试题
考试时间:
120分钟。
满分:
150分
参考公式:
锥体体积公式;柱体体积公式
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1.复数=()
A.B.C.D.
2.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM=( )
A.UB.{1,3,5}C.{2,4,6}D.{3,5,6}
3.已知条件p:
,条件q:
<1,则q是p成立的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件
4.已知,,且,则()
A.B.
C.或D.
5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.B.
C.D.
6.已知直线与两个不同的平面,则下列每题正确的是()
A.若,则B.若则
C.若则D.若则
7.阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的S的值是( )
A.21B.39C.81D.102
8.对、,运算“”、“”定义为:
=,=,则下列各式其中不恒成立的是()
⑴⑵
⑶⑷
A.⑴、⑶B.⑵、⑷C.⑴、⑵、⑶D.⑴、⑵、⑶、⑷
二、填空题:
本题共7小题,作答6小题,每题5分,满分30分.
9.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高一年级抽取_;
10.已知数列,,则.
11的展开式中的系数为.(用数字作答)
12.已知满足约束条件,则最小值为。
13.定义在上的函数满足,则的值为_____.
14.在平面直角坐标系中,已知圆(为参数)和直线(为参数),则直线被圆C所截得弦长为;
15.如图,已知⊙O的割线PAB交⊙O于A,B两点,割线PCD经
过圆心,若PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O的半径为______________.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.在中,角、、的对边分别为、、,且,.
(1)求的值;
(2)设函数,求的值.
17.根据空气质量指数(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
(数值)
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
空气质量类别颜色
绿色
黄色
橙色
红色
紫色
褐红色
某市2013年10月1日—10月30日,对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如图(4)的条形图:
(1)估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中度污染的概率;
(2)在上述30个监测数据中任取2个,设为空气质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列.
18.(本题满分分)
已知数列的前项和是,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求适合方程的正整数的值.
19.如图,三棱柱中,侧面底面,,,
且,为中点.
⑴证明:
平面;
⑵求直线与平面所成角的正弦值;
⑶在上是否存在一点,使得平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点的位置.
20.已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为,过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段中点的横坐标为,求直线的方程;
(3)若线段的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.
21.已知函数.
(1)若,试确定函数的单调区间;
(2)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;
(3)设函数,求证:
.
南澳中学2014-2015学年第一学期第二次高考模拟考试
高三理科数学答题卡
题号
一
二
16
17
18
19
20
21
总分
得分
二、填空题(每题5分,共30分)
9.10.11.12.
13.14.15.
三、解答题:
(共80分)
16.(本题12分)
17.(本题12分)
18.(本题14分)
19.(本题14分)
20.(本题14分)
21.(本题14分)
南澳中学高三级理科班数学期末考试
参考答案
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.【解析】:
(1)由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6,-------------1分
所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率.---------------------4分
(2)随机变量的可能取值为,-----------------------------------------------5分
则,-----------------------------------------------------------7分
----------------------------------------------------------9分
-------------------------------------------------------11分
所以的分布列为:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------12分
19.⑴证明:
因为,且为的中点,所以.
又由题意可知,平面平面,交线为,且平面,
所以平面.
⑶设,
即,得.
所以,得
令平面,得,即,得,
即存在这样的点,为的中点.
(3)由
(2)知,所以的中点为
所以
……10分
直线的方程为,由,得,
则,所以…12分
所以
又因为,所以.所以.
所以的取值范围是…14分
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