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174反比例函数
17.4反比例函数
17.4.1.反比例函数
教学目标
知识目标:
1.理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式;2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式.
能力目标:
1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力;2.探求反比例函数的求法,发展学生的数学应用能力.
情感目标:
通过利用反比例函数解决简单问题,体验反比例函数与人类生活的密切联系,增强对反比例函数学习的求知欲,发展学生的探索与创新精神.教学过程
重点:
利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式
难点:
会用反比例函数的性质,处理简单的实际问题
教学过程
一、复习
1.什么是正比例函数?
2.复习小学已学过的反比例关系,例如
(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)
(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=s(s是常数)
3.创设问题情境
创设情境两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,如果两个数的积一定,这两个数的关系叫做反比例关系.
探究归纳
问题1:
甲、乙两地相距120千米,汽车匀速从甲地驶往乙地.显然,汽车的行驶时间由行驶速度确定,时间是速度的函数,试写出这个函数的关系式.
师:
这里的“汽车的行驶时间由行驶速度确定”是什么意思?
生:
展开讨论,举手回答个人的不同认识.
师:
归纳讨论的结果:
这里涉及时间和速度两个值,实际含义是指找出一个统一的表示时间和速度之间关系的函数关系式,给出其中任意一个速度,就可以通过这个函数关系式计算出与之相对应的时间.
现在你们能解答这个问题了.
生:
动手尝试,并交流解答的过程和结果.
明确和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,应先选用适当的字母表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式.
设汽车行驶的速度是v千米/时,从甲地到乙地的行驶时间是t小时.因为在匀速运动中,时间=路程÷速度,所以t=
.
问题2:
学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场.设它的一边长为x(米),求另一边的长y(米)与x的函数关系式.
生:
观察课件,讨论发现的问题,并解答问题.
明确根据矩形面积可知y=24,即y=
.
师:
上述函数
(1)、
(2)具有怎样的共同特征?
能否用一个统一的函数关系式把它们表示出来?
说出你的想法.
生:
相互交流自己的观点,逐渐达成共识.
明确上述函数中,两个变量的积等于一个非零常数,都可以写成y=
(k≠0)的形式.
一般地,形如y=
(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数(inverseproportionalfunction).
问:
自变量的取值范围有什么限制?
说明1.反比例函数与正比例函数定义相比较,本质上,正比例y=kx,即
,k是常数,且k≠0;反比例函数
,则xy=k,k是常数,且k≠0.可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系.
2.反比例函数的解析式又可以写成:
(k是常数,k≠0).
3.要求出反比例函数的解析式,只要求出k即可.
师:
请同学们把正比例函数与反比例函数进行比较,说出它们有哪些不同?
生:
讨论交流,逐个举手回答自己的观点.
明确从形式上来看,正比例函数是关于自变量的整式,反比例函数是关于自变量的分式;从内涵上来看,正比例函数两个变量的商是一个非零常数,反比例函数两个变量的积是一个非零常数;从自变量和函数的取值范围来看,正比例函数中的自变量和函数值都可以为零,反比例函数中的自变量和函数值都不能为零.
实践应用
例1下列函数中,哪些是反比例函数(x为自变量)?
说出反比例函数的比例系数:
y=
xy=-
x=-5y
分析:
函数y=
(k是常数,k≠0)叫做反比例函数。
若一个函数可写成y=
(k是常数,k≠0)的形式,则它是反比例函数;若y与x成反比例,则y可以写成y=(k≠0,k是常数),一个函数是否是反函数反比例函数,可以据此确定。
例2下列函数关系中,哪些是反比例函数?
(1)已知平行四边形的面积是12cm2,它的一边是acm,这边上的高是hcm,则a与h的函数关系;
(2)压强p一定时,压力F与受力面积s的关系;
(3)功是常数W时,力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.
(4)某乡粮食总产量为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式.
例3当m为何值时,函数
是反比例函数,并求出其函数解析式.
例4请解答下列问题.
(1)若y与x成正比例,x与z成反比例,则y与z成什么关系?
(2)y是x的反比例函数,当x=2时,y=3,求y与x之间的函数关系式.
(3)已知y1与x成正比,y2与x成反比,且y=y1+y2,当x=1时,y=3;当x=2时,y=3,求y与x之间的函数关系式.
生:
分组合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演,其余同学在座位上独立解答.
明确师生共同归纳完善学生板演结果.
(1)因为y与x成正比例,所以可设y=k1x(k1≠0),同样设x=
(k2≠0),则y=
由于k1k2≠0,所以y与z成反比例.
(2)设y=
(k≠0),则3=2k,解得k=1.5,所以函数解析式为y=
=
.
(3)设y1=k1x,y2=
则y=k1x+
依题题得
解方程组得k1=1,k2=2,所以y=x+
.
由上面的操作过程可知:
确定反比例函数解析式的条件是已知一对对应的自变量和函数值求几个简单函数的复合形式函数的解析式,常常首先分别设出这几个函数的一般形式,然后用待定系数法解决问题.
例5已知y与x2成反比例,并且当x=3时,y=2.求x=1.5时y的值.
检测反馈
1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式,指出哪些是正比例函数,哪些是反比例函数,哪些既不是正比例函数也不是反比例函数?
(1)小红一分钟可以制作2朵花,x分钟可以制作y朵花;
(2)体积为100cm3的长方体,高为hcm时,底面积为Scm2;
(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形,一边长为xcm时,面积为ycm2;
(4)小李接到长为100米的管道进行检修的任务,设每天能完成10米,x天后剩下的未检修的管道长为y米.
(5)火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距离安庆的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.
(6)火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距离合肥的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.
(7)某中学现有存煤20吨,如果平均每天烧煤y(吨),共烧了x(天),求y与x之间的函数关系式.
答案:
(5)s=60t(0≤t≤
);正比例函数(6)s=200-60t(0≤t≤
);一次函数(7)y=
(x>0);反比例函数.
2.已知y与x-2成反比例,当x=4时,y=3,求当x=5时,y的值.
3.已知y=y1+y2,y1与
成正比例,y2与x2成反比例.当x=1时,y=-12;当x=4时,y=7.
(1)求y与x的函数关系式和x的取范围;
(2)当x=
时,求y的值.
4.已知一个长方体的体积是100立方厘米,它的长是ycm,宽是5cm,高是xcm.
(1)写出用高表示长的函数式;
(2)写出自变量x的取值范围;(3)当x=3cm时,求y的值.
5.将下列各题中y与x的函数关系与出来.
(1)
,z与x成正比例;
(2)y与2z成反比例,z与
成正比例;(3)y与z成反比例,z与3x成反比例;
6.补充:
当m为何值时,函数y=
是反比例函数,并求出其函数的解析式。
7.
(1)若y与x成反比,x与z成反比,则y与z成正比关系.
(2)若y与x2-2成反比例,且当x=2时,y=1,则y与x之间的关系式为y=
.
(3)如果点(3,-1)在反比例函数y=
的图象上,那么一次函数y=kx-k的解析式为y=-3x+3.
(4)在电压一定时,通过用电器的电流与用电器的电阻之间成(B)
A.正比B.反比C.一次函数关系D.无法确定
(5)已知点(2,5)在反比例函数y=
的图象上,其中“
”是被污染的无法辨认的字迹,则下列各点在该反比例函数图象上的是(B)
A.(2,-5)B.(-5,-2)C.(-3,4)D.(4,-3)
交流反思
本堂课,我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数,一般地,形如
(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数。
要确定反比例函数解析式的条件是已知一对自变量和函数的对应值(或其图象上一点的坐标),可以利用待定系数法求出k值,即可确定反比例函数的解析式.
课后作业
17.4.2、反比例函数的图象和性质
教学目标
知识目标:
理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质;利用反比例函数的图象解决有关问题.
能力目标:
经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程,会说出它的性质;探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题.
情感目标:
体会用数形结合思想解数学问题.
重点:
作反比例函数的图象
难点:
理解反比例函数的性质。
教学过程
一、复习
1.什么是反比例函数?
2.反比例函数定义要注意什么?
(1)常数k称为比例系数,k是非零常数;
(2)自变量x次数是-1;x与y之积为一非零常数;(3)不含其他项。
创设情境探究归纳画出函数
的图象.
分析:
画出函数图象一般分为列表,描点、连线三个步骤,在反比例函数中自变量x≠0。
解:
1列表:
这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对应值;
2.描点:
用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各个点。
3.连线:
用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一分支。
这两个分支合起来,就是反比例函数的图象,如图所示。
这种图象通常称为双曲线。
提问:
(1)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?
为什么?
(2)请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定上下坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象?
由学生动手操作,并提出发现的问题.
试一试:
在课本图17.4.1所在坐标系中画出函数y=-
的图象.
由学生动手画图,交流画图的结果.
讨论:
(1)这个函数的图象在哪两个象限?
和函数y=
的图象有什么不同?
(2)反比例函数y=
图象在哪两个象限?
由什么确定?
由学生在小组内展开交流,然后各组推选代表回答提出的问题,在全班交流,让全体同学达成共识.
明确概括:
通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola).
反比例函数y=
图象的两个分支位居的象限与k的正负有关,当k>0时,函数的图象分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限.
利用多媒体演示课件:
反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动.
请同学们观察反比例函数y=
和y=-
图象上点的运动情况,然后回答下列问题.
(1)对于反比例函数y=
其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?
y的值随着x的变化将怎样变化?
(2)对于反比例函数y=-
其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?
y的值随着x的变化将怎样变化?
让学生在观察的基础上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题进行解答.
明确通过观察可知,反比例函数y=
有下列性质:
(1)当k>0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增加而减小;
(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而增大.
注1.双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点;2.双曲线的两个分支关于原点成中心对称.
实践应用
例1若反比例函数
的图象在第二、四象限,求m的值.
例2已知反比例函数
(k≠0),当x>0时,y随x的增大而增大,求一次函数y=kx-k的图象经过的象限.
例3已知反比例函数的图象过点(1,-2).
(1)求这个函数的解析式,并画出图象;
(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?
例4已知函数
为反比例函数.
(1)求m的值;
(2)它的图象在第几象限内?
在各象限内,y随x的增大如何变化?
(3)当-3≤x≤
时,求此函数的最大值和最小值.
例5一个长方体的体积是100立方厘米,它的长是y厘米,宽是5厘米,高是x厘米.
(1)写出用高表示长的函数关系式;
(2)写出自变量x的取值范围;(3)画出函数的图象.
例6.已知反比例函数y=
在第一象限内的图象如图所示,点M、N是图象上的两个不同点,分别过点M、N作x轴的垂线,垂足分别为A、B,试探究△MOA的面积S△MOA与△NOB的面积S△NOB之间的大小关系.
(点拨)如果设点M、N的坐标分别位(x1,y1)和(x2,y2),那么S△MOA与x1、y1之间存在怎样的关系?
x1·y1的值是多少?
S△NOB与x2,y2呢?
在讨论交流的基础上,回答问题,并着手尝试解决问题,最后交流解答的过程与结果.
明确因为点(x1,y1)在该反比例函数图象上,所以y1=
得x1·y1=3,
S△MOA=
OA·MA=
同理S△NOB=
所以S△MOA=S△NOB.
归纳可知:
过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线,那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值.
例7.已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)在双曲线y=-
上,请把a、b、c按从小到大的顺序进行排列.
让学生动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流.
让学生画出该双曲线的草图,验证你的结论,从中你发现什么问题?
由动手画图,验证各自解答的结果.
明确许多同学直接利用反比例函数的性质,得出错误的结论:
c
原因是没有理解反比例函数的性质“当k<0时,在每个象限内y随x的增加而增大”.在同一个象限内y随x的增加而增大,并不是说在整个坐标平面内y随x的增加而增大.因此,在比较反比例函数值的大小时,要分清对应的自变量的值是否在x轴的同一个方向上(或几个点是否在同一个象限),如果不在同一个方向上,不能直接应用反比例函数的性质.
检测反馈
1.填空与选择:
(1)写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为y=
(2)如图所示,直线y=kx与双曲线y=-
相交于点A、B,过点A作AC⊥y轴于点C,则△ABC的面积为6.
(3)已知反比例函数y=
的两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<0 A.m<0B.m>0C.m>3D.m<3 (4)下列四个函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(D) A.y=2xB.y=x+3C.y=- D.y= 2.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象: (1) ; (2) . 3.已知y是x的反比例函数,且当x=3时,y=8,求: (1)y和x的函数关系式; (2)当 时,y的值;(3)当x取何值时, ? 4.若反比例函数 的图象在所在象限内,y随x的增大而增大,求n的值. 5.已知反比例函数 经过点A(2,-m)和B(n,2n),求: (1)m和n的值; (2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),且x1<0<x2,试比较y1和y2的大小. 交流反思 本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质. 1.内容总结 反比例函数图象特征、画法 性质 (1)反比例函数的图象是双曲线(hyperbola). (2)反比例函数的图像性质: 当k>0时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增加而减少; 当k<0时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而增加. 2.方法归纳 画反比例函数的图象,只能用描点法,利用反比例函数的性质比较大小时,要注意对应的点是否在同一个象限内. 课后作业: 课本第58页练习第1题和第2题和习题17.4第3题. 17.4反比例函数(三) 教学目标 知识目标: 1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题. 能力目标: 进一步探求一次函数和反比例函数的性质,感受用待定系数法求函数解析式的方法; 情感目标: 通过培养学生看图(象)、识图(象)、读图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题. 重点综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题 难点借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题 教学过程 创设情境已知正比例函数y=ax和反比例函数 的图象相交于点(1,2),求两函数解析式. 分析根据题意可作出图象.点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上,把点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中,求出a和b. 探究归纳运用一次函数和反比例函数的知识解题,先根据题意画出图象,借助图象和题目中提供的信息解题. 实践应用 例1已知直线y=x+b经过点A(3,0),并与双曲线 的交点为B(-2,m)和C,求k、b值. 例2已知反比例函数 的图象与一次函数y=k2x-1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式; (2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系. 例3已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的 的图象上. (1)求a的值. (2)求一次函数的解析式,并画出它的图象. (3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围. (4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小. 分析 (1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值. (2)由 (1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题. 例4如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点. (1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围. 检测反馈1.已知一次函数y=kx+b的图象过点A(0,1)和点B(a,-3a)(a>0),且点B在反比例函数 的图象上,求a及一次函数式. 2.已知关于x的一次函数y=mx+3n和反比例函数 图象都经过点(1,-2),求这个一次函数与反比例函数的解析式. 3.如图,点P是直线 与双曲线 在第一象限内的一个交点,直线 与x轴、y轴的交点分别为A、C,过P作PB垂直于x轴于B,若AB+PB=9. (1)求k的值; (2)求△PBC的面积. 交流反思 1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往仍用待定系数法. 2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题. 课后作业
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