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选课策略模型论文
绍兴文理学院数学建模
题目:
选课策略数学模型
数学系数学与应用数学专业081班
学生徐贝贝姚慧张楚
指导老师胡金杰
摘要
为解决学生选课问题最优解,本文利用0-1规划模型先找出目标函数,再列出约束条件,分三步骤对最终问题逐层分析化多目标规划为单目标规划,分别建立不同的模型,运用LINGO软件求解。
从而解决学生既希望选修课程的数量少,又希望所获得的学分多的问题。
特点:
根据以上分析,特将模型分为以下四个
(1)只考虑尽可能多的学分,而不管所修课程的多少,可建立单目标规划模型。
显然,这个问题不必计算就知道最优解是选修全部课程。
(2)在考虑课程最少的情况下,使学分最多;
模型一,选修课的课程最少,不考虑学分多少;约束条件只有,每人至少学习5门数学,2门运筹学,2门计算机,1门物理学,1门经济学,2门艺术类和先修课的要求建立模型一。
模型二:
在科目最少的基本前提下,使获得的学分尽可能得多,约束条件没变,化单目标为多目标求解。
(3)同时考虑学分最多和选修科目最少,并且假设所占比例三七分。
在此假设情况下对模型二稍加调整形成新的目标函数,最终计算出结果。
模型三:
同时考虑课程最少和所获得的学分最多,并按3:
7的重要性建立模型。
关键词0-1规划选修课要求单目标规划多目标规划
一.问题的重述
某学校规定,运筹学专业的学生毕业时必须至少学过五门数学课,两门运筹学课,两门计算机,一门物理学,一门经济学和两门艺术类。
这些课程的编号,名称,学分,所属类别和选修课的要求如表所示。
那么,毕业时最少可以学习这些课程中的哪些课程。
如果某个学生即希望选修课程的数量最少,又希望所获得的学分最多,他可以选修哪些课程?
课程编号
课程名称
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
数学分析
5
数学
3
实变函数
4
数学
4
泛函分析
3
数学
数学分析;实变函数
5
线性代数
4
数学
6
最优化方法
4
数学;运筹学
微积分;线性代数
7
应用统计
4
数学;运筹学
微积分;线性代数
8
数据结构
3
数学;计算机
计算机编程
9
操作系统
4
数学;计算机
10
信号与系统
3
数学;物理学
数学分析
11
风险投资管理
2
运筹学
12
预测理论
4
运筹学
应用统计
13
计算机模拟
3
运筹学:
计算机
计算机编程
14
数学实验
3
运筹学;计算机
微积分;线性代数
15
西方经济学
3
运筹学;经济学
16
计算机编程
2
计算机
17
VB
4
计算机
计算机编程
18
大学物理
5
物理学
19
物理实验
3
物理学;
大学物理
20
固体物理学
3
物理学
21
会计学
4
经济学;
22
电影艺术赏析
3
艺术
23
青春期生理卫生
2
艺术
24
汉语言文化
3
艺术
25
体育舞蹈
3
艺术
二符号说明
符号说明
1)xi:
表示选修的课程(xi=0表示不选,xi=1表示选i=1,2,3,4,5,6,7,8,9…25);
三模型的假设
1)学生只要选修就能获得学分;
2)每个学生都必须遵守规定选修课程;
四问题分析
。
模型一:
只考虑课程最少,不考虑学分,计算求出结果。
模型二:
既考虑课程最少,又使学分最多,计算求出结果。
模型三:
同时考虑两者,并考虑二者的权重,计算求出结果。
五模型的建立与求解
模型一:
用xi=1表示选修表中按编号顺序的25门课程(xi=0表示不选;i=1,2,…,25).问题的目标为选修的课程总数最少,既
minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24+x25
(1)
约束条件包括两个方面:
第一,每个人每人至少学习5门数学,2门运筹学,2门计算机,1门物理学1门经济学,2门艺术类。
根据表中对每门课程所属类别的划分,这一约束可以表示为
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10>=5
(2)
x6+x7+x11+x12+x13+x14+x15>=2(3)
x8+x9+x13+x14+x16+x17>=2(4)
x10+x18+x19+x20>=1(5)
x15+x21>=1(6)
x22+x23+x24+x25>=2(7)
第二,某些课程有先修课程的要求。
例如“数据结构”的先修课是“计算机编程”,这意味着如果x8=1,必须想x16=1,这个可以表示为x8<=x16(注意x8=0对x16没有影响)“泛函分析”先修课是“数学分析”和“实变函数”的条件可以表示为x4<=x2,x4<=x3.而这两个不等式可以用一个约束表示为2x4-x2-x3<=0.这样,所有课程的先修课要求可表示为如下的约束:
2x4-x2-x3<=0(8)
2x6-x1-x5<=0(9)
2x7-x1-x5<=0(10)
x8-x16<=0(11)
x10-x2<=0(12)
x12-x7<=0(13)
x13-x16<=0(14)
x14-x1-x5<=0(15)
x17-x16<=0(16)
x19-x18<=0(17)
由上得到以
(1)为目标函数、以
(2)~(17)为约束条件的0-1规划模型。
将这一模型输入LINGO软件(见附录1),求解得到结果为x1=x2=x5=x9=x10=x14=x15=x22=x23=1,其他变量为0.对照课程编号它们是微积分,数学分析,线性代数,操作系统,信号与系统,数学实验,西方经济学,电影艺术赏析,青春期生理卫生,共9门课程,总学分为32.
下面我们会看到,这个解并不是唯一的,还可以找到与以上不完全相同的9门课也满足所给的约束条件。
模型二:
如果一个学生既希望选修课程少,又希望所得的学分尽可能的多,则除了目标一还可以根据已知数据写出另一个目标函数,即
MaxW=5*x1+5*x2+4*x3+3*x4+4*x5+4*x6+4*x7+3*x8+4*x9+3*x10+2*x11+4*x12+3*x13+3*x14+3*x15+2*x16+4*x17+5*x18+3*x19+3*x20+4*x21+3*x22+2*x23+3*x24+3*x25(18)
如果模型一得到的结果是唯一的,则他别无选择,只能选修上面的9门课,总学分为32.但是LINGO无法告诉我们一个优化问题的解是否唯一,所以还可能在选修9们课的条件下,使总学分多于32。
为探索这种可能,应在上面的规划问题中增加约束
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24+x25=9(19)
得到以(18)为目标函数、以
(2)~(17)和(19)为约束条件的另一个0-1规划模型(见附录2)。
求解后发现会得到不同于前面9门课程的最优解x1=x2=x5=x9=x10=x14=x15=x22=x24=1,其他变量为0,其中2学分的“青春期生理卫生”换成了3学分的“汉语言文化”,总学分由32增至33.注意这个模型的解任然不是唯一的,如x1=x2=x5=x9=x10=x14=x15=x22=x25=1,其他变量为0,也是最优解。
模型三:
不像模型一模型二那样,只考虑课程最少或学分最多,而是觉得学分和课程这两个目标大致应该三七开。
这时可以将目标函数Z和-W分别乘以0.7和0.3,组成一个新的目标函数Y,有
MinY=0.7Z-0.3W
=(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24+x25)*0.7-(5*x1+5*x2+4*x3+3*x4+4*x5+4*x6+4*x7+3*x8+4*x9+3*x10+2*x11+4*x12+3*x13+3*x14+3*x15+2*x16+4*x17+5*x18+3*x19+3*x20+4*x21+3*x22+2*x23+3*x24+3*x25)*0.3
=-0.8*x1-0.8*x2-0.5*x3-0.2*x4-0.5*x5-0.5*x6-0.5*x7-0.2*x8-0.5*x9-0.2*x10+0.1*x11-0.5*x12-0.2*x13-0.2*x14-0.2*x15+0.1*x16-0.5*x17-0.8*x18-0.2*x19-0.2*x20-0.5*x21-0.2*x22+0.1*x23-0.2*x24-0.2*x25
(20)
得到以(20)为目标、以
(2)~(17)为约束的0-1规划模型。
输入LINGO求解(见附录3)。
得到为x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x8=x9=x10=x12=x13=x14=x15=x16=x17=x18=x19=x20=x22=x24=x25=1,即只有“风险投资管理”“青春期生理卫生”没有选修,共82学分。
六.结果的检验与分析
经过检验输入式子正确,结果多次验证一样。
结果分析:
模型一分析:
模型一的结果为x1=x2=x5=x9=x10=x14=x15=x22=x23=1即选修编号为1,2,5,9,10,14,15,22,23的选修课时达到了,在选修课的课程最少。
最少为9门。
模型二分析:
模型二的结果为x1=x2=x5=x9=x10=x14=x15=x22=x24=1即选修编号为1,2,5,9,10,14,15,22,24的选修课时达到了,在选修课程最少的情况下,尽可能的分数最多,最多为33学分。
模型三分析:
课程数与学分数按权重三七分,结果为x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x8=x9=x10=x12=x13=x14=x15=x16=x17=x18=x19=x20=x22=x24=x25=1,即只有“风险投资管理”“青春期生理卫生”没有选修,共82学分。
六.模型的评价与推广
本文运用了0-1规划解决了学修课选择的难题,但是还没有建立满足不同需要的学生,还需要进一步的建立模型和计算。
如建立以学分最多为目标的模型,或建立以课程数和学分数等权重的模型。
解决不同的问题。
七.参考文献
【1】姜启源谢金星叶俊,数学模型,高等教育出版社,2003年8月第3版
附录1.
模型一的求解
本文运用LINGO软件求解
输入:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24+x25;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10>=5;
x6+x7+x11+x12+x13+x14+x15>=2;
x8+x9+x13+x14+x16+x17>=2;
x10+x18+x19+x20>=1;
x15+x21>=1;
x22+x23+x24+x25>=2;
2*x4-x2-x3<=0;
2*x6-x1-x5<=0;
2*x7-x1-x5<=0;
x8-x16<=0;
x10-x2<=0;
x12-x7<=0;
x13-x16<=0;
2*x14-x1-x5<=0;
x17-x16<=0;
x19-x18<=0;
@bin(x1);
@bin(x2);
@bin(x3);
@bin(x4);
@bin(x5);
@bin(x6);
@bin(x7);
@bin(x8);
@bin(x9);
@bin(x10);
@bin(x11);
@bin(x12);
@bin(x13);
@bin(x14);
@bin(x15);
@bin(x16);
@bin(x17);
@bin(x18);
@bin(x19);
@bin(x20);
@bin(x21);
@bin(x22);
@bin(x23);
@bin(x24);
@bin(x25);
输出:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
9.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X11.0000001.000000
X21.0000001.000000
X30.0000001.000000
X40.0000001.000000
X51.0000001.000000
X60.0000001.000000
X70.0000001.000000
X80.0000001.000000
X91.0000001.000000
X101.0000001.000000
X110.0000001.000000
X120.0000001.000000
X130.0000001.000000
X141.0000001.000000
X151.0000001.000000
X160.0000001.000000
X170.0000001.000000
X180.0000001.000000
X190.0000001.000000
X200.0000001.000000
X210.0000001.000000
X221.0000001.000000
X231.0000001.000000
X240.0000001.000000
X250.0000001.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
19.000000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
81.0000000.000000
92.0000000.000000
102.0000000.000000
110.0000000.000000
120.0000000.000000
130.0000000.000000
140.0000000.000000
150.0000000.000000
160.0000000.000000
170.0000000.000000
附录2.
模型二求解
本文运用LINGO软件求解
输入:
Max=5*x1+5*x2+4*x3+3*x4+4*x5+4*x6+4*x7+3*x8+4*x9+3*x10+2*x11+4*x12+3*x13+3*x14+3*x15+2*x16+4*x17+5*x18+3*x19+3*x20+4*x21+3*x22+2*x23+2*x24+3*x25;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10>=5;
x6+x7+x11+x12+x13+x14+x15>=2;
x8+x9+x13+x14+x16+x17>=2;
x10+x18+x19+x20>=1;
x15+x21>=1;
x22+x23+x24+x25>=2;
2*x4-x2-x3<=0;
2*x6-x1-x5<=0;
2*x7-x1-x5<=0;
x8-x16<=0;
x10-x2<=0;
x12-x7<=0;
x13-x16<=0;
2*x14-x1-x5<=0;
x17-x16<=0;
x19-x18<=0;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24+x25=9;
@bin(x1);
@bin(x2);
@bin(x3);
@bin(x4);
@bin(x5);
@bin(x6);
@bin(x7);
@bin(x8);
@bin(x9);
@bin(x10);
@bin(x11);
@bin(x12);
@bin(x13);
@bin(x14);
@bin(x15);
@bin(x16);
@bin(x17);
@bin(x18);
@bin(x19);
@bin(x20);
@bin(x21);
@bin(x22);
@bin(x23);
@bin(x24);
@bin(x25);
输出:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
33.00000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X11.000000-5.000000
X21.000000-5.000000
X30.000000-4.000000
X40.000000-3.000000
X51.000000-4.000000
X60.000000-4.000000
X70.000000-4.000000
X80.000000-3.000000
X91.000000-4.000000
X101.000000-3.000000
X110.000000-2.000000
X120.000000-4.000000
X130.000000-3.000000
X141.000000-3.000000
X151.000000-3.000000
X160.000000-2.000000
X170.000000-4.000000
X180.000000-5.000000
X190.000000-3.000000
X200.000000-3.000000
X210.000000-4.000000
X221.000000-3.000000
X230.000000-2.000000
X241.000000-3.000000
X250.000000-3.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
133.000001.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
81.0000000.000000
92.0000000.000000
102.0000000.000000
110.0000000.000000
120.0000000.000000
130.0000000.000000
140.0000000.000000
150.0000000.000000
160.0000000.000000
170.0000000.000000
180.0000000.000000
附录3.
模型三求解
输入:
min=-0.8*x1-0.8*x2-0.5*x3-0.2*x4-0.5*x5-0.5*x6-0.5*x7-0.2*x8-0.5*x9-0.2*x10+0.1*x11-0.5*x12-0.2*x13-0.2*x14-0.2*x15+0.1*x16-0.5*x17-0.8*x18-0.2*x19-0.2*x20-0.5*x21-0.2*x22+0.1*x23-0.2*x24-0.2*x25;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10>=5;
x6+x7+x11+x12+x13+x14+x15>=2;
x8+x9+x13+x14+x16+x17>=2;
x10+x18+x19+x20>=1;
x15+x21>=1;
x22+x23+x24+x25>=2;
2*x4-x2-x3<=0;
2*x6-x1-x5<=0;
2*x7-x1-x5<=0;
x8-x16<=0;
x10-x2<=0;
x12-x7<=0;
x13-x16<=0;
2*x14-x1-x5<=0;
x17-x16<=0;
x19-x18<=0;
@bin(x1);
@bin(x2);
@bin(x3);
@bin(x4);
@bin(x5);
@bin(x6);
@bin(x7);
@bin(x8);
@bin(x9);
@bin(x10);
@bin(x11);
@bin(x12);
@bin(x13);
@bin(x14);
@bin(x15);
@bin(x16);
@bin(x17);
@bin(x18);
@bin(x19);
@bin(x20);
@bin(x21);
@bin(x22);
@bin(x23);
@bin(x24);
@bin(x25);
输出:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
-8.500000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X11.000000-0.8000000
X21.000000-0.2000000
X151.000000-0.2000000
X161.0000000-0.8000000
X31.000000-0.5000000
X41.000000-0.2000000
X51.000000-0.5000000
X61.000000-0.5000000
X71.000000-0.5000000
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