垂线的专项练习30题有答案okdoc.docx

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垂线的专项练习30题有答案okdoc

垂线专项练习30题（有答案）

1．如图，

①过点Q作QD⊥AB，垂足为D，

②过点P作PE⊥AB，垂足为E，

③过点Q作QF⊥AC，垂足为F，

④连P、Q两点，

⑤P、Q两点间的距离是线段_________的长度，

⑥点Q到直线AB的距离是线段_________的长度，

⑦点Q到直线AC的距离是线段_________的长度，

⑧点P到直线AB的距离是线段_________的长度．

2．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点过点P画OB的垂线，交OA于点C；

（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；

（2）线段PH的长度是点P到_________的距离，_________是点C到直线OB

的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_________（用“＜”号连接）

3．

（1）画出表示点B到直线CD的距离的线段，结论：

_________

（2）A、C两点之间的距离为线段_________的长；

（3）画出表示两条平行线AD、BC之间的距离的线段，结论：

_________．

4．如图，DE∥BC，AF⊥DE于G，DH⊥BC于H，且AG=4cm，DH=4cm，试求点A到BC的

距离．

5．如图，过点A作BC的垂线，并指出那条线的长度是表示点A到BC的距离

6．如图，∠

C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，则点

A到直线

BC的距离为

_________

，

点B到直线

AC的距离为

_________

，A、B间的距离为

_________

，AC+BC＞AB，

其依据是

_________

，AB＞AC，其依据是

_________

．

7．如图所示，村庄A、村庄B分别要从河流L引水入庄，各需修筑一水渠，请你画出

修筑水渠的路线图．

8．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短画出

图形，并说明理由．

9．如图，王林和李明同学骑自行车同时从各自的家中出发去学校．如果他们的骑车速

度相同，那么谁先到达学校为什么

10．如图，是一条河，C是河边AB外一点：

（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．

（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少（本图比例尺为1：

2000）

11．如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．

（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；

（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．

12．如图，计划在河边建一水厂，可过C点引CD⊥AB于D，在D点建水厂，可使水厂

到村庄C的路程最短，这种设计的依据是_________．

13．如图，点P处有一个工厂，现拟修一条通往大路口a的公路，应如何修才能使所

修之路最短，试说明理由．

14．如图，直线AD和BE相交于点O，∠COD=90°，∠COE=60°，求∠AOB的度数．

15．如图，OF平分∠AOC，OE⊥OF，AB与CD相交于O，∠BOD=130°，求∠EOB的度数．

16．如图所示，已知∠AOB=∠COD=90°，

（1）若∠BOC=45°，求∠AOC与∠BOD的度数；

（2）若∠BOC=25°，求∠AOC与∠BOD的度数；

（3）由

（1）、

（2）你能得出什么结论说说其中的道理．

17．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM

的度数．

18．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠AOD的平分线，OF⊥CD，如果∠BOD=30°．

求：

（1）∠AOF的度数；

（2）∠POF的度数．

19．如图所示，OA丄OB，OC丄OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=15°，求∠BOD和∠AOC

的度数．

20．已知：

如图，直线AB、CD、EF相交于点0，∠1=20°，∠BOC=90°．求∠2的度

数．

21．说出日常生活现象中的数学原理：

日常生活现象相应数学原理

有人和你打招呼，你笔直向他走两点之间直线段最短过去

要用两个钉子把毛巾架安装在

墙上

桥建造的方向通常是垂直于河

两岸

人去河边打水总是垂直于河边

方向走

22．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路

最短画出线路图，并说明理由．

23．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．

（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C，

（2）过点P画OA的垂线，垂足为H，

（3）线段PH的长度是点

P到

_________

的距离，线段

_________

是点

C到直

线OB的距离．

（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC、PH、

OC这三条线段大小关系是_________（用“＜”号连接）

24．已知：

如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，GF⊥AB于G点，那么CD与AB是否互相垂

直试判断并说明理由．

25．如图，已知OA⊥OB，∠1与∠2互补，求证：

OC⊥OD．

26．你能用折纸的方法过一点作已知直线的垂线吗

27．先拿一张长方形的白纸，按如图所示的方式将∠A、∠E折叠，使A′B与BE′重

合，则BC与BD有什么关系说明理由．

28．分别过点P作线段MN的垂线．

29．如图，∠AOE与∠BOF互余，那么AO与BO是否垂直试说明理由．

30．对于平面上垂直的两条直线a和b，称（a，b）为一个“垂直对”，而a和b都是

属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直

对”

参考答案：

（2）线段PH的长度是点P到直线OA的

1．①②③④作图如图所示：

距离，

⑤根据两点之间距离即可得出P、Q两点

线段CP的长度是点C到直线OB的距离，

间的距离是线段PQ的长度，

根据垂线段最短可得：

PH＜PC＜OC，

⑥根据点到直线的距离可得出点

Q到直线

故答案为：

OA，线段CP，PH＜PC＜OC

AB的距离是线段QD的长度，

3．

（1）过B点作DC的垂线，交CD的延

⑦根据点到直线的距离可得出点

Q到直线

长线于E点，如，

AC的距离是线段QF的长度，

则线段BE的长为点B到直线CD的距离；

⑧根据点到直线的距离可得出点

P到直线

所以过直线外一点作直线的垂线，垂线段

AB的距离是线段PE的长度，

长就是这个点到直线的距离；

故答案为PQ，QD，QF，PE．

（2）A、C两点之间的距离为线段AC的长；

（3）过C点作AD的垂线，垂足为F点，

如图，

2．

（1）如图：

则线段CF的长即为两条平行线AD、BC之

间的距离．

故答案为过直线外一点作直线的垂线，垂

线段的长就是这个点到直线的距离；AC；

两条平行线之间的距离就是一条直线上

任意一点到另一条直线的距离．

4．∵AF⊥DE，DE∥BC，

∴AF⊥BC，

∵DH⊥BC，

∴DH∥GF，

∵DE∥BC，

∴四边形DHFG是平行四边形，

∴DH=GF=4cm，

∴AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm，

即点A到BC的距离是8cm．

5．过点A作BC的垂线，交CB的延长线

于E，

根据点到直线的距离的定义：

从直线外一

点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线

的距离．

可得AE的长度即为点A到BC的距离．

答：

AE的长度即为点A到BC的距离．

6．∵∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，

∴点A到直线BC的距离为4，点B到直线

AC的距离为3，A、B间的距离为5，

AC+BC＞AB，其依据是三角形任意两边之

和大于第三边长度，

AB＞AC，其依据是直角三角形中斜边长度

大于直角边长度．

7．如图所示，AE、BF就是村庄A、村庄B

修筑水渠的路线图．

8．如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，

在D处开沟，则沟最短．

因为直线外一点与直线上各点连线的所

有线段中，垂线段最短．

12．∵CD⊥AB，

∴线段CD的长度就是点C到直线AB的最

9．根据垂线段定理，可知王林先到达学短距离．

校．因为从他家到学校是垂线段，路程最

故答案为：

垂线段最短．

短．

13．如图，过点P作PD⊥a于D，则由点

10．如图：

P沿着PD修路，能使所修之路最短．

（1）过点C画一平行线平行于AB．

（2）过点C作CD垂直于AB交AB于点D．

然后用尺子量CD的长度，再按1：

2000

的比例求得实际距离即可．

11．如图所示

（1）沿AB走，两点之间线段最短；

（2）沿BD走，垂线段最短；

（3）沿AC走，垂线段最短．

14．∵已知∠COD=90°，∠COE=60°，

∴∠DOE=90°﹣60°=30°，

又∵∠AOB与∠DOE是对顶角，

∴∠AOB=∠DOE=30°．

15．∵∠AOC=∠BOD，∠BOD=130°，

∴∠AOC=130°．

∵OF平分∠AOC，

∴∠AOF=∠FOC=65°．

∵OE⊥OF，

∴∠EOF=90°．

∴∠BOE=180°﹣∠AOF﹣∠EOF

=180°﹣65°﹣90°=25°

16．

（1）∵∠AOB=∠COD=90°，且

∠BOC=45°，

∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=45°，

∠BOD=∠COD﹣∠BOC=45°；

（2）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=25°，

∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=65°，

∠BOD=∠COD﹣∠BOC=65°；

（3）∠AOC=∠BOD，等角的余角相等．

17．∵OE平分∠BON，

∴∠BON=2∠EON=40°，

∴∠COM=∠BON=40°，

∵AO⊥BC，

∴∠AOC=90°，

∴∠AOM=90°﹣∠COM=90°﹣

40°=50°．

18．

（1）∵∠AOC=∠BOD=30°，OF⊥CD，

∴∠AOF=90°﹣30°=60°；

（2）∵OP是∠AOD的平分线，

∴∠AOP=∠AOP=（180°﹣∠BOD）=

（180°﹣30°）=75°，

∴∠POF=∠AOP﹣∠AOF=75°﹣

60°=15°

19．∵OE为∠BOD的平分线，

∴∠BOE=∠BOC，

即∠BOD=2∠BOE=2×15°=30°；

∵OA丄OB，OC丄OD，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=360°﹣90°﹣90°﹣

30°=150°．

20．∵∠1=20°，∠BOC=90°，

∴∠BOE=∠BOC﹣∠1=90°﹣20°=70°，

∴∠2=∠BOE=70°．

21．这几种实际问题用数学原理解释分别

是：

24．相互垂直．

两点确定一条直线；

理由：

∵GF⊥AB，

夹在两平行线间的线段中，垂线段最短；

∴∠2+∠4=90°，

连接直线外一点与直线上各点的所有线

段中，垂线段最短．而∠1=∠2，∠3=∠4，

22．连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段∴∠1+∠3=90°，

AB和BC就是符合题意的线路图．

∴CD⊥AB

因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，

25．∵∠1与∠2互补，

垂线段BC最短，所以AB+BC最短．

∴∠1+∠2=180°，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB=90°，

23．

（1）如图

∴∠COD=360°﹣（∠1+∠2）﹣∠AOB

（2）如图，

=360°﹣180°﹣90°=90°，

（3）直线0A、PC的长．

∴OC⊥OD

（4）PH＜PC＜OC．

26．先沿已知直线折一下，再在已知点处

对折即可．

27．垂直；又∵∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°，

根据题意可得∠ABC=∠A′BC，

∴∠AOB=90°，

∠FBE=∠FBE′，

∴AO⊥BO，即AO与BO垂直

∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BF+∠FBE=180°

30．当二十条直线有10条互相平行；另

，

10条不仅互相平行而且与前10条垂直时

∴∠A′BC+∠E′BF=90°，

垂直对最多．答案是100对．

∴BC⊥FB

28．①延长NM，过点P作NM所在直线的垂

线．②延长NM，过点P作NM所在直线的

垂线．

③过点P作NM所在直线的垂线．④

延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．

29．AO与BO垂直．理由如下：

∵∠AOE与∠BOF互余，

∴∠AOE+∠BOF=90°，