全等三角形知识点总结及复习.docx
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全等三角形知识点总结及复习
全等三角形知识点总结及复习
一、知识网络
并击『对应角相等性质彳
[对应边相等
全等形>全等三角形
'边边边SSS
彳边角边SAS
判定J角边角ASA
角角边AAS
[斜边、直角边HL
r作图
角平分线性质与判定定理
二、基础知识梳理
(一)、基本概念
1、“全等”的理解
全等的图形必须满足:
(1)形状相同的图形;
⑵大小相等的图形;
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的
两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义:
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
(注:
全等三角形是相似三角形中的特殊情况)
当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
由此,可以得出:
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是
对应边;
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是
对应角;
(3)有公共边的,公共边一定是对应边;
(4)有公共角的,角一定是对应角;
(5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;
2、全等三角形的性质
(1)全等三角形对应边相等;
(2)全等三角形对应角相等;
3、全等三角形的判定方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定:
到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
(二)灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角
等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
(1)已知条件中有两角对应相等,可找:
①夹边相等(ASA②任一组等角的对边相等(AAS)
(2)已知条件中有两边对应相等,可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找
①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
(三)经典例题
例1.已知:
如图所示,AB=AC上1=/初,求证:
LAED=LACE.
例2.如图所示,已知:
AF=AEAC=ADCF与DE交于点B。
求证:
例3.女口图所示,AC=BDAB=DC求证:
z5=zc
例4.如图所示,「匸丄c---r-?
,垂足分别为DE,BE与CD相交于点
0,且」I二
求证:
BD=CE
例5:
已知:
如图,在四边形ABCD中,AC平分/BADCE!
AB于E,且
/B+ZD=180。
求证:
AE=AD+BE
分析:
从上面例题,可以看出,有时为了证明某两条线段和等于另一条线段,可以考虑“截长补短”的添加辅助线,本题是否仍可考虑这样
“截长补短”的方法呢?
由于AC是角平分线,所以在AE上截AF=AD连结FC,可证出^ADC^aAFC问题就可以得到解决。
证明
(一):
在AE上截取AF=AD连结FG
在.AFC和「ADC中
AF=AD已作
y2(已知)
AC=AC(公共边)
•••AFC^ADC(边角边)
•••/AFC玄D(全等三角形对应角相等)
•••/B+ZD=180(已知)
•/B=ZEFC(等角的补角相等)
在.CEB和.QEF中
B=-EFC已证
]》CEB=ZCEF=90°(已知)
CE=CE(公共边)
•CEB^CEF(角角边)
•BE=EF
vAE=AF+EF
•AE=AD+B(等量代换)
证明
(二):
在线段EA上截EF=BE连结FC(如右图)。
小结:
在几何证明过程中,如果现成的三角形不可以证明,则需要我们选出所需要的三角形,这就需要我们恰到好处的添加辅助线。
(四)全等三角形复习练习题
一、选择题
1如图,给出下列四组条件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;®AB=DE,B=/E,BC=EF;
③B=/E,BC=EF,C=/F;®AB=DE,AC=DF,B=/E.
其中,能使△ABC◎△DEF的条件共有()A.1组B.2组
C.3组D.4组
2.如图,D,E分别为△ABC的AC,BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,
使点C落在AB边上的点P处.若•CDE=48。
贝,APD等于()
3.如图(四),点P是AB上任意一点,.ABC—ABD,还应补充一个条件,才能推出△APC◎△APD.从下列条件中补充一个条件,不一定能推出
△APCAPD的是(
A.BC二BDB.AC二AD
1题图2题图
4.如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE还需添加两个条件才能
使厶AB3ADEF不能添加的一组条件是()
(A)/B=ZE,BC=E(B)BC=EffAC=DF(C)/A=ZD,/B=ZE(D)/A=ZD,
BC=EF
5.如图,AABC中,/C=90°,AC=BCAD是/BAC的平分线,DE!
AB
于E,
若AC=10cm,则厶DBE的周长等于()
A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm
6.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要
求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()A.1处
B.2处C.3处D.4处
4题图5题图
D.带①②③去
8.如图,在Rt△ABC中,.B=90,,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC
于点E.已知•BAE=10,贝「C的度数为()
8题图10题图
11.尺规作图作・AOB的平分线方法如下:
以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于-CD长为半径
2
画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP◎△ODP的根据是()
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
12.如图,/C=90,AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cn则点D到AB的距离为()A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定
13.如图,OP平分.AOB,PA_OA,PB_OB,垂足分别为A,B.下列结
论中不一定成立的是()A.PA二PBB.PO平分.APBC.OA=OB
D.AB垂直平分OP
14.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定
D./B二/D=90
11题图12题图
、填空题
1.如图,已知AB二AD,BAE—DAC,要使△ABC=△ADE,可补充的
条件是(写出一个即可).
2.如图,在厶ABC中,/C=90,AC=BC,AD平分/BAC交BC于D,DE丄AB于
E,且AB=5c口则厶DEB的周长为
3.如图,.BAC—ABD,请你添加一个条件:
,使OCOD(只
添一个即可).
4.
如图,在△ABC中,/C=90°ZABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10
1题图2题图3题图
4题图
5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角
形中白色三角形
6.已知:
如图,△OAD^AOBC且/O=70°,/C=25°,则/AEB=度.
7如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDEAD与BE交于点QAD与BC交于点P,
BE与CD交于点Q连结PQ•以下五个结论:
①AD=BE②PQ/AE;③AP=BQ④DE=DP⑤/AOB=60.
恒成立的结论有(把你认为正确的序号都
填上)。
8.
如图所示,AB=AD,/1=/2,添加一个适当的条件,使△ABC旦
6题图
8题图
三、解答题
1.如图,已知AB=ACAD=AE求证:
BD=CE.
2.如图,在△ABC中,AB二AC,•BAC=40°分别以AB,AC为边作两个等
腰直角三角形ABD禾口ACE,使.BAD=/CAE=90
(1)求.DBC的度数;
(2)求证:
BD=CE.
3.如图,在△ABE中,AB=AE,A»AC,/BAD=ZEAC,BGDE交于点O.
求证:
⑴△ABC^AAED
(2)OB=OE.
4.如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边
E
5.如图,在△ABC^n^DCB中AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M
(1)求证:
△ABC^ADCB;
(2)过点C作CN//BD过点B作BN//ACAD
CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,M并证明你的结论.
6.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于0点,.仁.2,3"4.
求证:
(1)△ABC◎△ADC;
(2)BO二DO.
7.如图,在△ABC和厶ABD中,现给出如下三个论断:
①AD二BC;
2.C-D;
3"-2.请选择其中两个论断为条件,另一个论断为结论,构造一个
命题.
你选择的真命题是:
证明:
8.已知:
如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,AB=DCBE=CF,/B
=ZC.求证:
OA=OD
9.如图,△ABC中,/BAC=90度,AB=ACBD/
的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:
BD=2CE
10.女口图,AB=AC,AD_BC于点D,AD=AE,AB平分.DAE交DE于点F,请你写出
11.已知:
如图,DC//AB,且DC=AEE为AB的中点,
(1)求证:
△AED^AEBC
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,
12.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DEIAC于E,BF丄AC于F,若AB=CDAF=CEBD交AC于点M
(1)求证:
MB=M,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论
能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
D
①
B
C
求证:
(1)DF//CE
E
13已知:
如图A、D
B
14.如图,已知在厶ABC中,BE、CF分别是ACAB两条边上的高,在BE
上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结ADAQ则AG
与AD有何关系?
试证明你的结论
15.如图,已知BE!
AC于E,CF丄AB于F,BECF相交于点D,若AB=AC求
证:
AD平分/BAC
16.
如图,/B=ZC=90°,M是BC中点,DM平分/ADC求证:
AM平分
17.如图,在△ABCffi^DBC中,/ACB士DBC=9Oo,E是BC的中点,
EF±AB,垂足为F,且AB=DE.
AD,CE相交于点
△ABC的角平分
F在BC上,且
18.如图,人。
是厶ABC的角平分线,DELABDF!
AC
垂足分别为E、F,连接EF,EF与AD交于G,AD与EG垂直吗?
证明你的结论。
19.如图,在△ABC中,/B=60°,AABC的角平分线
0.试说明AE+CD二AC如图,在△ABC中,/B=60°,线ADCE相交于点0.试说明AE+CD=AC
20.如图,已知E是正方形ABCD的边CD的中点,点
/DAE玄FAE.
求证:
AF=AD+CF
14.已知:
在厶ABC中,/BAC=90,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BDLAE于D,CE!
AE于E,
(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE青说明理由;
(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD,DE,CE的关系如何?
请说明理由;(3)归纳
(1)
(2),请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。
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