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综合国力的数学建模
Ξ
综合国力的数学建模
王树禾
(中国科学技术大学)
摘要
本文考虑社会文明与社会丑恶现象的制约机制,成立一个综合国力的非线性数学模型,从数学上讨论相应的二次微分系统的Hopf分叉、中心与细核心的判定、极限环的存在唯一性等问题,并对数学结论予以合理解释,把社会相平面划分成社会进展区域、社会动荡区域和社会崩溃区域,研讨社会走向,肯定纳入社会发展区域的途径.
关键词数学模型,二次微分系统,Hopf分叉,极限环,综合国力.
分类号(中图)O29;(1991MR)92H10.
一、数学建模
一个国家的物质文明与精神文明综合而成的社会文明或曰综合国力,其已有水平及其走向决定该国的强弱兴衰,定量地研究各国的综合国力,能够为本国内政与外交政策的制定,提供重要依据.做为现今重大科研课题,美国、日本、中国和欧洲各主要国家都组织科学家进行研究1.
1981年,乔治敦大学战略与国际研究中心主任、美国中央情报局前副局长Rr克莱因教授给出综合国力公式
Pp=(C+E+M)×(S+W),(Α)
其中Pp是综合国力,C是大体实体,E是经济实力,M是军事实力,S是战略用意,W是贯彻国家战略的意志.
Ξ本文1995年11月13日收到.1996年8月21日收到修改稿.
1987年,日本综合研究所出版《日本综合国力》一书,其国力方程为
P=(C+E+M)×(G+D),(Β)
其中G为国内政治能力,D为外交能力.
(Α)(Β)只对已有国力进行气宇,未考虑时刻因素引发的进展与转变,无预报功能.我国著名军事未来学家黄硕风教授,1988年在《美苏争霸战略问题》一文中引入国力转变的微分动力学模型,其国力主方程为Logistic方程
dyt
dt=Θyt1-
yt,(Χ)
M
其中yt是国力函数1,黄还给出国力要素中一系列子方程.
咱们基于社会进展的动力学思想,在本文中成立综合国力的二次微分系统来探讨综合国力的长消规律.
称X(t)为硬国力函数,X(t)是某国物质文明(资源、经济、军事、科技等)水平的一个综
合指标.X(t)越大,物质文明越繁荣.X=X0是正常数,表示X(t)的警戒线.
称y(t)为软国力函数,y(t)是某国精神文明问题(内政外交决策的失误与正确,官员的腐败与廉洁,国民教育的失败与成功,社会治安情形的严峻与良好等)的一个综合指标.
y(t)>0对应社会丑恶现象(决策失误、教育失败、官贪民盗等),这时软国力对社会进展有
阻滞作用;y(t)<0时,软国力优越(决策英明、国民素质高等),对社会进展有增进作用.
记x(t)=X(t)-X0,则-X0≤x(t)≤M=const..
在必然的简化层次上,咱们成立了下面的数学模型:
dx=ΑxM-xdtM
-Βy,
(1)
dy=-Χy+∆(m-x)x,
(2)
dt
其中Α,Β,Χ,∆,m,M皆为正的常数,m [T-1](T是时刻量纲),∆的量纲是[T-1S-1,m与M的量纲是[S. (1) (2)的建模思想如下: 物质文明的进展速度dxdt 与现有文明水准x(t)及进展潜力的份额M-x M 成正比,于是 有ΑxM-x M 这一项,Α称为增加系数. -Βy表示社会丑恶现象对物质文明进展的阻滞,Β称为丑恶系数. -Χy表示人民与政府对丑恶现象的抵制与治理力度,它与现存丑恶现象的多寡成正比,Χ称为统治系数. ∆(m-x)x表示物质文明不足(x(t) 令u(t)=x(t),v(t)=y(t),Βt=Σ,则 (1) (2)变成 MM du dΣ= Α Βu(1-u)-v,(3) dv dΣ=- 又令 Χ Βv+ ∆M Β m-uu.(4) M a=Α,b=Χ,c=∆M,Λ=m, 仍把Σ写成t,得 ΒΒΒM du=au(1-u)-v,(5) dt dv=-bv+c(Λ-u)u.(6) dt (1) (2)与(5)(6)的相图拓扑同胚. 二、数学分析 咱们来讨论方程组(5)(6)轨线的性质,以下总假设(Α+Χ) 4Β∆ 定理1若a≤b,则方程组(5)(6)无闭轨. 证明取Dulac函数B(u,v)=eku+lv,则 D=5{au(1-u)-v]eku+lv}+5{-bv+c(Λ-u)u]eku+lv} 5u5v =eku+lv{(a-b)+ka+clΛ-2a]u-(k+bl)v-(ka+cl)u2}, 令 ka+clΛ-2a=k+bl=0, 2 得(注意由(Α+Χ) 4Β∆ k=-2ab,l=2a, cΛ-ab 于是 cΛ-ab D=eku+lv[a-b-(ka+cl)u2, 而 ak+cl=2a(c-ab)>0, cΛ-ab 所以当a≤b时,D≤0,等号仅在a=b且u=0时发生,由Dulac准则,方程组(5)(6)无闭轨.定理1证毕. 定理2方程组(5)(6)有两个有限奇点(0,0)和(u0,v0)=ab-cΛau0(1-u0); ab-c (u0,v0)在第一象限,是鞍点;(0,0)当a 证明令 au(1-u)-v=0, -bv+c(Λ-u)u=0, 得有限奇点(0,0)与(u0,v0)=ab-cΛau0(1-u0).由于m> ab-c (Α+Χ)2 4Β∆ 于是ab-cΛ <0,ab-c<0,ab-cΛ>0,又Λ<1,故u0<1,au0(1-u0)>0,即(u0,v0)在第一象限 ab-c 内. 令Ν=u-u0,Γ=v-v0,则(5)(6)变成 dΝ=a(1-2u0)Ν-Γ-aΝ2,(7) dt dΓ=c(Λ-2u0)Ν-bΓ-cΝ2.(8) dt (7)(8)的线性近似系统的特征方程为 Κ2+b-a(1-2u0)]Κ+c(Λ-2u0)-ab(1-2u0)=0,(9) 其中常数项 c(Λ-2u0)-ab(1-2u0)=ab-cΛ<0, 故特征根是异号实数,(u0,v0)是鞍点. 对于(0,0)点,特征方程为Κ2+(b-a)Κ-ab+cΛ=0,特征根为 Κ1,2=1[a-b±(a-b)2+4(ab-cΛ), 2 由于m>(Α+Χ) 故(a-b)2+4(ab-cΛ)<0,即Κ与Κ是实部为1(a-b)<0的共 4Β∆ 122 轭复数,所以当a 定理3对于方程组(5)(6),当a=b时,(0,0)是稳固的一阶细焦点;当a>b时(0,0) 是不稳固粗焦点;当0 >a(cΛ-ab)时无极限环. c-ab 证明用x记u,y记v,(5)(6)变成 dx=ax(1-x)-y, dt 令x=x,z=bx-y,则 再令z=(ab-cΛ)Z,则 dy=-by+c(Λ-x)x. dt dx=(a-b)x-ax2+z, dt dz=(ab-cΛ)x+(c-ab)x2. dt dZ=x1+c-abx,(c-ab>0,ab-cΛ<0) dtab-cΛ dx=(a-b)x-ax2+(ab-cΛ)Z. dt x1+c-abx dZcΛ-ab= ab-cΛ (10) dxa-b cΛ-ab x-a cΛ-ab x2-cΛ-abZ 令Γ=cΛ-abZ,则 dΓ=x1+c-abx, dtab-cΛ 令Γ←-Γ,x←-x,则 dx=a-b dtcΛ-ab dx=a-b dtcΛ-ab x-a cΛ-ab x+a cΛ-ab x2-Γ. x2-Γ,(11) dΓ=x1+c-abx.(12) dt (1) (2)与(11)(12)的相图拓扑同胚. 记 cΛ-ab (11)(12)改写成 ∃=a-b cΛ-ab L=a cΛ-ab A=c-ab. cΛ-ab dx=∃x-Γ+Lx2,(13) dt dΓ=x(1+Ax).(14) dt (13)(14)的线性近似系统的特征方程为Κ2-∃Κ+1=0,由于m>(Α+Χ) 4∆Β b时,0<∃<2,特征根是实部∃>0的共轭复数,故(0,0)是不稳固粗焦点. 当a=b时,∃=0,(13)(14)是 2 所以当a> dx=-y+a20x2+a11xy+a02y2, dt dy=x+b20x2+b11xy+b02y2 dt 的特例,在(13)(14)中,a20=L,b20=A,a02=b02=a11=b11=0,求得第一核心量15 W1=(a20+a02)(a11+2b02)-(b20+b02)(b11+2a20)=-2AL<0, 由2定理12.2可得(0,0)是稳固的一阶细焦点. 由Hopf分叉理论,0 又(11)(12)是叶彦谦意义下第¦类二次微分系统 dx=-y+∃x+Lx2+mxy+ny2, dt dy=x(1+Ax)(A≠0) dt m=n=0的情形.由13定理2.2知,当∃≤0或∃≥LA 时,(13)(14)进而(5)(6)无极 限环,而当∃∈0,LA 时,(5)(6)最多有一个极限环,且若存在,必为原点外围的单重稳定 环.所以当0 L,即a-b>a(cΛ-ab)时,(5)(6)无极限环.定理3证毕. Ac-ab 三、社会意义 在(Α+Χ) 4Β∆ 图1图2 在图1—3中曲边梯形 DO′CGHD是社会进展区域,“麻点区”是社会动荡区域,其余为社会崩溃区域. 1.a≤b时,统治系数大于增长系数,原点在社会动荡区域;在社 会动荡区域,随着时刻的推移,社会状态螺旋式动荡,丑恶现象趋于无,但物质文明水平亦趋于贫困线(x =0),见图1. 2.a>b,0 区域内,物质文明的多寡,精神文明 的优劣,螺旋式振荡着趋于一个稳 定的极限环,顽固地进行拟周期或图3 周期动荡,见图2. 3.a-b>a(cΛ-ab),增加系数明显高于统治系数,则社会相平面只划分成社会进展 c-ab 区域和社会崩溃区域,而原点处于社会崩溃区域.在原点附近,社会丑恶现象并非严重,甚 至社会风气良好(y(t)<0),但社会仍然趋于崩溃! 在原点附近,即社会的物质文明与精神文明都不发达,这种国家,不可只追求进展经济与军事而对社会的治理相对割弱.即增加系 数明显高于统治系数,对这种国家的前途十分有害,见图3. 4.若是社会状态处于社会进展区域,则在有限时刻内,物质文明趋于上界M,社会丑恶现象收敛,进展成道德高贵的理想社会(y(t)<0). 5.若是社会状态处于社会崩溃区域,既使当初社会物质文明繁荣乃至在上界M附近, 随着时刻的推移,在有限时刻内,物质文明趋于崩溃线x=-X0(X=0). 6.若社会状态不在社会进展区域,则应进行社会变革,加大改革与治理的力度,能够考虑以下三种对策: 1)暂时停滞经济、军事等事业的进展,尽全力把社会丑恶现象打下去,即暂时使x(t)保 持不变,而使y(t)减小,使取得某时刻t1,(x(t1),y(t1))落在社会进展区域内,如图1“1号箭头”所示. 2)若社会丑恶现象的严峻程度尚在DI线以下,则只需维持其再也不加重,而全力发展经济等物质文明,使社会状态纳入社会进展区域,见图1“2号箭头”. 3)对策1)与2)的联合实施,见图1的“3号箭头”. 四、参数估计 不同的国家对应不同的参数组{Α,Β,Χ,∆,m,M},为了具体地定量研究某国的综合国力 (x(t),y(t)),必需第一把该国的参数组肯定出来. 设x1(t)=经济实力,x2(t)=军事实力,,则 n x(t)=∑Αixi(t), i=1 其中权Αi可用层次分析方式由比分矩阵的主特征向量给出11. 对历史上xi(t)的实况统计,可由问卷调查或专家评议等办法用百分制评分. k 对y(t)也可类似地处置,y(t)=∑Βiyi(t). i=1 把各个历史值(x(t),y(t))代入 (1) (2),可求得参数组{Α,Β,Χ,∆,m,M}的估量值. 参数组的肯定进程比较复杂,再也不详述. 衷心感激叶其孝教授、黄硕风教授及编辑和审稿同志,他们给予本文写作很多鼓励、指导和修改意见. (本文作者通信地址: 合肥市中国科学技术大学数学系邮码230026) 参考文献 1黄硕风,综合国力论,中国社会科学出版社,1992. 2叶彦谦,极限环论,上海科技出版社,1984. 3张芷芬等,微分方程定性理论,科学出版社,1985. 4Ray.S.Cline,WorldPowerAssesment,WestviewPress,Inc.,1975. 5保罗·肯尼迪,大国的兴衰,求实出版社,1988. 6理查德·尼克松,1999不战而胜,世界知识出版社,1989. 7伊滕宪一,国家与战略,军事科学出版社,1988. 8日本经济企划厅,日本的综合国力,1987. 9黄硕风,综合国力与国情研究,中国国情国力杂志,1(1992),13219. 10黄硕风,综合国力动态方程,科学,43∶4(1991),2832288. 11王树禾,数学模型基础,中国科大出版社,1995. 12蔡燧林,二次系统研究近况,数学进展,18∶1(1989),5221. 13蔡燧林,张平光,二次系统极限环的唯一性,高校应用数学学报,6∶3(1991),4502461. 14梁肇军,多项式微分系统全局分析导引,华中师大出版社,武汉,1989. 15李承治,关于平面二次系统的两个问题,中国科学,1981,9272938. MATHEMATICALMODELINGFORTHESYNTHETICALNATIONALPOWER WangShuhe (Dept.ofMath.,USTC,Hefei230026) Abstract Inthispaper,anonlinearmathematicalmodelfordescribingthesyntheticalnationalpowerisestablished.TheHopfbifurcation,decisionofcenterandfocus,existenceandu2niquenessoflimitcycleofthismodelarethoroughlystudied. Bydividingthesocialphaseplaneintosocialdevelopregion,socialturbulenceregion,andsocialcollapseregion,socialexplanationsaregiven. KeyWordsMathematicalModel,PolynomialDifferentialSystemofDegree2,Hopf Bifurcation,LimitCycle,SyntheticalNationalPower. SubjectClassification(CL)O29;(1991MR)92H10.
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