哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一.docx
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哈工大概率论与数理统计课后习题答案一
习题一
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:
(1)掷一颗骰子,记录出现的点数.A‘出现奇数点’;
(2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数.A‘两次点数之和为10’,B‘第一次的点数,比第二次的点数大2’;
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A‘球的最小号码为1’;
(4)将a,b两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A‘甲盒中至少有一球’;
(5)记录在一段时间
(1)S{e1,e2,e3,e4,e5,e6}其中ei‘出现i点’i1,2,,6,A{e1,e3,e5}。
(2)S{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)};
A{(4,6),(5,5),(6,4)};
B{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}。
(3)S{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}
A{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}
(4)S{(ab,,),(,ab,),(,,ab),(a,b,),(a,,b),(b,a,),(b,,a),(,a,b,),(,b,a)},其中‘’表示空盒;A{(ab,,),(a,b,),(a,,b),(b,a,),(b,,a)}。
(5)S{0,1,2,},A{0,1,2,3,4},B{3,4,}。
2.设A,B,C是随机试验E的三个事件,试用A,B,C表示下列事件:
(1)仅A发生;
(2)A,B,C中至少有两个发生;
·1·
(3)A,B,C中不多于两个发生;
(4)A,B,C中恰有两个发生;
(5)A,B,C中至多有一个发生。
解
(1)
(2)ABACBC或ABC;
(3)或;
(4);
(5)或;
3.一个工人生产了三件产品,以Ai(i1,2,3)表示第i件产品是正品,试用Ai表示下列事件:
(1)没有一件产品是次品;
(2)至少有一件产品是次品;
(3)恰有一件产品是次品;(4)至少有两件产品不是次品。
解
(1)A
(2)(3)1A2A3A12A3A1A23;1A2A3;123;
(4)A1A2A1A3A2A3。
4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率。
解设A‘任取一电话号码后四个数字全不相同’,则
4P12610P(A)40.50410250
5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求
(1)5只全是好的的概率;
(2)5只中有两只坏的的概率。
解
(1)设A‘5只全是好的’,则
5C37P(A)50.662;C40
(2)设B‘5只中有两只坏的’,则
3C32C37P(B)0.0354.5C40
6.袋中有编号为1到10的10个球,今从袋中任取3个球,求
(1)3个球的最小号码为5的概率;
(2)3个球的最大号码为5的概率.
解
(1)设A‘最小号码为5’,则
C521P(A)3;C1012
·2·
(2)设B‘最大号码为5’,则
2C41P(B)3.C1020
7.
(1)教室里有r个学生,求他们的生日都不相同的概率;
(2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率.
解
(1)设A‘他们的生日都不相同’,则
rP365P(A);r365
(2)设B‘至少有两个人的生日在同一个月’,则
21222321C4C12P4111C4C12C4P12C12P(B);12496
或
4P4112P(B)1P()14.1296
8.设一个人的生日在星期几是等可能的,求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天,但不是都在同一天的概率.
解设A‘生日集中在一星期中的某两天,但不在同一天’,则
2C7(262)P(A)0.01107.76
9.将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少?
解1设A‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件,所有的排法:
2字母C在7个位置中占两个位置,共有C7种占法,字母E在余下的5个位
2置中占两个位置,共有C5种占法,字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法
22共3!
种,故基本事件总数为C7C53!
1260,而A中的基本事件只有一个,
故
P(A)11;2C7C523!
1260
解2七个字母中有两个E,两个C,把七个字母排成一排,称为不尽相异元素的全排列。
一般地,设有n个元素,其中第一种元素有n1个,第二种元素有n2个…,第k种元素有nk个(n1n2nkn),将这n个元素排成一排
·3·
称为不尽相异元素的全排列。
不同的排列总数为
n!
,n1!
n2!
nk!
对于本题有
P(A)141.7!
7!
1260
2!
2!
10.从0,1,2,,9等10个数字中,任意选出不同的三个数字,试求下列事件的概率:
A1‘三个数字中不含0和5’,A2‘三个数字中不含0或5’,A3‘三个数字中含0但不含5’.
3C87解P(A1)3.C1015
333C9C9C814P(A2)333,C10C10C1015
或
1C814P(A2)1P
(2)13,C1015
C827P(A3)3.C1030
11.将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆,每堆两只,求事件A‘每堆各成一双’的概率.
解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题,不同的分法共
‘每堆各成一双’共有n!
种情况,故(2n)!
(2n)!
2!
2!
2!
(2!
)n
2nn!
P(A)(2n)!
12.设事件A与B互不相容,P(A)0.4,P(B)0.3,求P()与P(B)
解P()1P(AB)1P(A)P(B)0.3
因为A,B不相容,所以B,于是
P(B)P()0.6
13.若P(AB)P()且P(A)P,求P(B).
解P()1P(AB)1P(A)P(B)ABP()
·4·
由P()P(AB)得
P(B)1P(A)1p
14.设事件A,B及AB的概率分别为p,q,r,求P(AB)及P(A)解P(AB)P(A)P(B)P(AB)pqr
P(A)P(A)P()P()P(A)1P(B)P(A)P(AB)1qpqr1pr.
15.设P(A)P(B)0.7,且A,B仅发生一个的概率为0.5,求A,B都发生的概率。
解1由题意有
0.5P()P()P()
P(A)P(AB)P(B)P(AB)
0.72P(AB),
所以
P(AB)0.1.
解2A,B仅发生一个可表示为ABAB,故
0.5P(AB)P(AB)P(A)P(B)2P(AB),
所以
P(AB)0.1.
16.设P(A)0.7,P(AB)0.3,
所以
P(AB)0.4,
故
P(AB)0.6;
0.2P(B)P(AB)P(B)0.4.
所以
P(B)0.6
P()1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)0.1
17.设ABC,试证明P(A)P(B)P(C)1
[证]因为ABC,所以P(BA)0.2,求P(AB)与P().P(AB)P(A)P(AB)0.7P,A(B解0.3
P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)1
故
·5·
P(A)P(B)P(C)1.证毕.
18.对任意三事件A,B,C,试证
P(AB)P(AC)P(BC)P(A).
[证]P(AB)P(AC)P(BC)P(AB)P(AC)P(ABC)
P(ABAC)P{A(BC)}P(A).证毕.
19.设A,B,C是三个事件,且P(A)P(B)P(C),P(AB)P(BC)0,1
4
1P(AC),求A,B,C至少有一个发生的概率。
8
解P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)B(PA)C(PB)C(PABC
)因为0P(ABCP(AB),所以0P(ABC)0,于是
315P(ABC)488
20
.随机地向半圆0y(a为正常数)P(A)122半园的面积a221.把长为a的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率.
解1设A‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为x,y,axy,则0xa,0ya,0xya,不等式构成平面域S.
aaa,0y,xya222不等式确定S的子域A,所以A发生0xP(A)A的面积1S的面积4
解2设三段长分别为x,y,z,则0xa,0ya,0za且xyza,不等式确定了三维空间上的有界平面域S.
·6·
A发生xyz
xzy
yzx不等式确定S的子域A,所以P(A).S的面积422.随机地取两个正数和,这两个数中的每一个都不超过1,试求x与A的面积1y之和不超过1,积不小于0.09的概率.
S.A‘xy1,xy0.09’则A发生的充要条件为0xy1,1xy0.09不等式确定了S的子域A,故
0.9A的面积0.9P(A)(1x)dx0.1S的面积x0.40.18ln30.2
23.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离a(a0)的一些平行线,向平面上随机地投掷一根长l(la)的针,求针与任一平行线相交的概率.
解设A‘针与某平行线相交’,针落在平面上的情况不外乎图中的几种,设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角,则
0xa,0,不等式确定了平面上2
的一个区域S.
A发生xsin,不等式确定S的子域A2L
故P(A)a10L2Lsind2a
2
·7·
习题二
1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中任取一件,发现它不是三等品,求它是一等品的概率.
解设Ai‘任取一件是i等品’i1,2,,3
所求概率为
P(A1|3)
因为3A1A2
所以P(P(2A)3)P(A1)
P(A(A)13)P1
故
P(A1|3)60.P(A13),P(3)0.60.30.962.93
2.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件中有一件是不合格品,求另一件也是不
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