解直角三角形应用举例测试题附解析新人教版九年级下.docx
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解直角三角形应用举例测试题附解析新人教版九年级下
解直角三角形应用举例测试题(附解析新人教版九年级下)
应用举例
(满分100分,30分钟完成)
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、选择题(每题5分,共40分)
1.拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1:
,坝高BC=10m,则坡面AB的长度是()
A.15mB.mC.mD.20m
【答案】D.
【解析】
试题分析:
由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:
,可得到∠BAC=30°,所以求得AB=2BC,得出答案.
试题解析:
河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:
,
即tan∠BAC=,
∴∠BAC=30°,
∴AB=2BC=2×10=20m,
故选D.
考点:
解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
2.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°方向向海岛C靠近,同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行,20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为()
A.10海里/小时B.30海里/小时C.20海里/小时D.30海里/小时
【答案】D.
【解析】
试题解析:
∵∠CAB=10°+20°=30°,∠CBA=80°-20°=60°,
∴∠C=90°,
∵AB=20海里,
∴AC=ABcos30°=10(海里),
∴救援船航行的速度为:
÷=(海里/小时).
故选D.
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题.
3.我市正在进行轻轨九号线的建设,为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状,交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌如图所示,小明在离指示牌3米的点A处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为60°和30°,则路况指示牌DE的高度为().
A.3﹣B.2﹣3C.2D.3+
【答案】C.
【解析】
试题分析:
过A作AF⊥DC,交DC于点F,在直角三角形ADF中,利用锐角三角函数定义求出DF的长,在直角三角形AEF中,利用锐角三角函数定义求出EF的长,由DF﹣EF求出DE的长即可.过A作AF⊥DC,交DC于点F,∴AF=BC=3米,在Rt△ADF中,AF=3米,∠DAF=60°,∴tan60°=,即DF=米,在Rt△AEF中,AF=3米,∠EAF=30°,∴tan30°=,即EF=米,则DE=DF﹣EF=米,故选C.
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
4.从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼,探测器显示,看到教学楼底部点C处的俯角为45°,看到楼顶部点D处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平距离为6米,则教学楼的高CD是()
A.(6+6)米B.(6+3)米C.(6+2)米D.12米
【答案】A
【解析】
试题分析:
在Rt△ACB中,∠CAB=45°,AB⊥DC,AB=6,
∴BC=AB=6,
在Rt△ABD中,∵tan∠BAD=,
∴BD=ABtan∠BAD=6,
∴DC=CB+BD=6+6(m).
故选A.
考点:
解直角三角形的应用
5.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°方向向海岛C靠近,同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行,20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为()
A.10海里/小时B.30海里/小时
C.20海里/小时D.30海里/小时
【答案】D
【解析】
试题分析:
易得△ABC是直角三角形,利用三角函数的知识即可求得答案.
∵∠CAB=10°+20°=30°,∠CBA=80°﹣20°=60°,
∴∠C=90°,
∵AB=20海里,
∴AC=ABcos30°=10(海里),
∴救援船航行的速度为:
10÷=30(海里/小时).
故选D.
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题.
6.如图,一个小球由地面沿着坡度i=1∶2的坡面向上前进了10m,此时小球距离地面的高度为().
A.5mB.mC.4mD.2m
【答案】D.
【解析】
试题分析:
画出草图,根据题意用未知数表示相应的线段的长度,再运用勾股定理列方程求解即可.
试题解析:
如图:
Rt△ABC中,tanA=,AB=10.
设BC=x,则AC=2x,
∴x2+(2x)2=102,
解得,(负值舍去).
即此时小球距离地面的高度为米.
故选D.
考点:
1.解直角三角形—坡度;2.勾股定理
7.在△ACB中,∠C=90°,AB=10,,,.则BC的长为()
A.6B.7.5C.8D.12.5
【答案】A.
【解析】
试题分析:
∵∠C=90°,∴.
又∵AB=10,∴.
故选A.
考点:
1.解直角三角形应用;2.锐角三角函数定义.
8.河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:
,则AB的长为()
A.12米B.4米C.5米D.6米
【答案】A
【解析】
试题分析:
根据BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:
,可求出AC的长度,继而利用勾股定理求出AB的长度.
∵BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:
,
∴AC=6(米),
∴AB==12(米).
故选A.
考点:
解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
二、填空题(每题6分,共30分)
9.小聪有一块含有30°角的直角三角板,他想只利用量角器来测量较短直角边的长度,于是他采用如图的方法,小聪发现点A处的三角板读数为12cm,点B处的量角器的读数为74°和106°,由此可知三角板的较短直角边的长度为cm.(参考数据:
tan37°=0.75)
【答案】9.
【解析】
试题分析:
如图所示,连接圆心O和点B,则OA=OB,由题可知∠BOC=2∠CAB=74°.在直角三角形ABC中运用三角函数定义求出BC.
试题解析:
如图所示,连接圆心O和点B,
则OA=OB.
由意题可知∠BOC=2∠CAB=74°,
∴在直角三角形ABC中,
∠CAB=37°.
∵AB=12,tan∠BAC=,
∴BC=ABtan37°=12×0.75=9.
∴短直角边为9cm.
考点:
解直角三角形的应用.
10.如果人在一斜坡坡面上前行100米时,恰好在铅垂方向上上升了10米,那么该斜坡的坡度是.
【答案】1:
3.
【解析】
试题分析:
先求出这个人走的水平距离,再根据坡度的定义即可求解.
试题解析:
由题意得:
人在一斜坡坡面上前行100米时,恰好在铅垂方向上上升了10米,
则这个人走的水平距离=,
∴坡度i=10:
30=1:
3.
考点:
解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
11.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为海里/小时.
【答案】.
【解析】
试题分析:
设该船行驶的速度为x海里/时,3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,由题意得:
AB=80海里,BC=3x海里,在Rt△ABQ中,∠BAQ=60°,∴∠B=90°﹣60°=30°,∴AQ=AB=40,BQ=AQ=40,
在Rt△AQC中,∠CAQ=45°,∴CQ=AQ=40,∴BC=40+40=3x,解得:
.即该船行驶的速度为海里/时.
考点:
解直角三角形的应用.
12.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米.
【答案】9
【解析】
试题分析:
设AC=x,则AB=x,过点D作DE⊥AB,则DE=AC=x,BE=x,则AB-BE=AE=CD=6,即x-x=6,解得:
x=3,则AB=x=9.
考点:
三角函数的应用.
13.如图,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进20海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD等于________海里.
【答案】
【解析】设CD的长为x海里,由题意知∠CBD=60°,∠CAB=30°,则,,∴,解得.∴CD的长为海里.
三、解答题(每题15分,共30分)
14.如图,一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出,继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出,求海底黑匣子C点处距离海面的深度?
(精确到1米)
【答案】3098米.
【解析】
试题分析:
易证∠BAC=∠BCA,所以有BA=BC.然后在直角△BCE中,利用正弦函数求出CE.
试题解析:
由C点向AB作垂线,交AB的延长线于E点,并交海面于F点.
已知AB=3000(米),∠BAC=30°,∠EBC=60°,
∵∠BCA=∠EBC-∠BAC=30°,
∴∠BAC=∠BCA.
∴BC=BA=3000(米).
在Rt△BEC中,
EC=BCsin60°=3000×=1500(米).
∴CF=CE+EF=1500+500≈3098(米).
答:
海底黑匣子C点处距离海面的深度约为3098米.
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
15.某班数学兴趣小组为了测量建筑物AB的高度,他们选取了地面上一点E,测得DE的长度为8.65米,并以建筑物CD的顶端点C为观测点,测得点A的仰角为45°,点B的俯角为37°,点E的俯角为30°.
(1)求建筑物CD的高度;
(2)求建筑物AB的高度.
(参考数据:
≈1.73,sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈)
【答案】建筑物AB的高度约为11.67米
【解析】
试题分析:
(1)由在Rt△CDE中,tan∠CED=,DE=8.65,∠CED=30°,即可求得答案;
(2)首先过点C作CF⊥AB于点F,然后在Rt△CBF中,求得FC,在Rt△AFC中,求得AF,继而求得答案.
试题解析:
(1)在Rt△CDE中,tan∠CED=,DE=8.65,∠CED=30°,
∴tan30°=,
解得:
DC≈=5,
∴建筑物CD的高度约为5米;
(2)过点C作CF⊥AB于点F.
在Rt△CBF中,tan∠FCB=,BF=DC=5,∠FCB=37°,
∴tan37°=≈,FC≈6.67,
在Rt△AFC中,∵∠ACF=45°,
∴AF=CF=6.67,
∴AB=AF+BF≈11.67,
∴建筑物AB的高度约为11.67米.
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
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