偏微分方程数值习题解答.docx
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偏微分方程数值习题解答
偏微分方程数值习题解答
对于任意的,有
则称有阶广义导数,称为的阶广义导数,并记
注:
高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.
2.利用的完全性证明是空间.
证明:
只证的完全性.设为的基本列,即
因此知都是中的基本列(按的范数).由的完全性,存在,使
以下证明(关键证明)
由不等式,有
对于任意的,成立
由
取极限得到
即,即,且
故中的基本列是收敛的,是完全的.
3.证明非齐次两点边值问题
证明:
边界条件齐次化
令,则满足齐次边界条件.满足的方程为,即对应的边值问题为
(P)
由定理知,问题与下列变分问题等价
求
其中.而
而
从而
则关于的变分问题等价于:
求
使得
其中
4就边值问题(1.2.28)建立虚功原理
解:
令,,则满足
等价于:
应用分部积分,
还原,
于是,边值问题等价于:
求,使得,成立
注:
形式上与用去乘方程两端,应用分部积分得到的相同.
5试建立与边值问题
等价的变分问题.
解:
取解函数空间为,对于任意
用乘方程两端,应用分部积分,得到
而
上式为
定义,为双线性形式.
变分问题为:
求,
1-4
1.用方法求边值问题
的第次近似,基函数
解:
(1)边界条件齐次化:
令,,则满足齐次边界条件,且
第次近似取为,其中满足的方程为
又
由三角函数的正交性,得到
而
于是得到
最后得到
2.在题1中,用代替右边值条件,是用方法求解相应问题的第次近似,证明按收敛到,并估计误差.
证明:
对应的级数绝对收敛,由的完全性知极限就是解,其误差估计为
3.就边值问题(1.2.28)和基函数
写出
方程
解:
边界条件齐次化,取,,对应的微分方程为
对应的变分方程为
变分方程为
取,则方程为
取,具体计算
即解
:
得到方程组为
特别取,有
求解得到
其解为
Ch2 椭圆与抛物型方程有限元法
§1.1用线性元求下列边值问题的数值解:
此题改为
解:
取,,为未知数.
形式的变分方程为,
其中
又
因此
在单元中,应用仿射变换(局部坐标)
节点基函数为
取,则计算得
代数方程组为
代如求值.
取,未知节点值为,方程为
应用局部坐标表示,
系数矩阵为
取,
2.就非齐次第三边值条件
导出有限元方程.
解:
设方程为
则由
变分形式为:
记则上述变分形式可表示为
设节点基函数为
则有限元方程为
具体计算使用标准坐标.
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- 微分方程 数值 习题 解答