高联平面几何训练题附答案.docx
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高联平面几何训练题附答案
平几综合问题
例1】在ABC中,ABAC,其内切圆I分别切三边于点D,E,F,P为弧EF(不含点D的弧)上一
点.设线段BP交圆I于另一点Q.直线EP,EQ分别交直线BC于点M,N.证明:
1)P,F,B,M四点共圆;
EMBDENBP
例2】如图,在锐角△
ABC中,ABAC,cosBcosC
1.E、F分别是AB、AC延长线上的点,
且ABFACE90.⑴求证:
BECFEF;
⑵设EBC的平分线与EF交于点P,求证:
CP平分BCF.
例3】在三角形ABC中,ABAC,CAB和ABC的内角平分线分别与边BC和CA相交于点D和
E.设K是三角形ACD的内心.若BEK45,求CAB所有可能的值.
例4】(*)过圆外一点P向圆O作切线PA、PB及割线PCD,过C作PA的平行线,分别交AB、AD于E、F.求证:
CEEF.
F
例5】在△ABC中,BC,△ABC的内切圆⊙I与BC,CA,AB的切点分别为D,E,F.记AD与
⊙I的不同于点D的交点为P.过点P作AD的垂线交EF于点Q,X,Y分别是AQ与直线
DE,DF的交点.
求证:
A是线段XY的中点.
D
例6】如图,C为扇形AOB的弧?
AB上一点,在射线
OC上任取一点P,连结AP,过点B作直线
BQ∥AP交OC于点Q.证明:
五边形OAQPB的面积与点C、P的选取无关.
例7】给定圆1和2相交于点X和Y.l1是一条过1的圆心的直线且与2交于P、Q.l2是一条过2
的圆心的直线且与1交于R、S.求证:
若P、Q、R、S四点共圆,则此圆的圆心在直线XY
上.
O
大显身手
1.设不过平行四边形ABCD顶点的任意一条直线分别与直线AB、BC、CD、DA交于E、F、G、H,则圆
EFC与圆GHC的另一个交点Q必在定直线上
2.
已知⊙O与ABC的边AB、
AC分别相切于P和Q,与ABC外接圆相切于D,M是PQ的中点
如图).求证:
POQ2MDC.
3.两圆⊙O1、⊙O2相切于点M,⊙O2的半径不小于⊙O1的半径.点A是⊙O2上的一点,且满足O1、
O2和A三点不共线.AB、AC是点A到⊙O1的切线,切点分别为B、C,直线MB、MC与⊙O2的另一个交点分别为E、F,点D是线段EF和⊙O2的以A为切点的切线的交点.证明:
当点A在⊙O2上移动且保持O1、O2和A三点不共线时,点D沿一条固定的直线移动.
4.(*选做,不作要求)水平直线m通过圆O的中心,直线lm,l与m相交于M,点M在圆心的右侧,直线l上不同的三点A,B,C在圆外,且位于直线m上方,A点离M点最远,C点离M点最近,
AP,BQ,CR为圆O的三条切线,P,Q,R为切点.试证:
与圆O相切时,
AB
CR+BC
AP=AC
BQ;
与圆O相交时,
AB
CR+BC
AP BQ; 与圆O相离时, AB CR+BC AP>AC BQ. (1)l (2)l (3)l 提示与解: 1、画图可得到Q点应在在定直线AC上,即证A、C、Q共线. 连AQ、CQ、EQ、HQ,往证∠EQA=∠EQC, E、F、C、Q共圆→∠EQC=∠GFC, G、H、Q、C共圆→∠HQC=∠FGC,∠GFC+∠FGC+∠FCG=1800→∠EQC+∠HQC∠+GFC=1800,∵∠BAD=∠FCG,∴∠EQH+∠EAH=1800→A、E、Q、H共圆→∠EQA=∠EHA,而AH∥BC→∠GFC=∠EHA→∠EQA=∠EQC→A、C、Q共线,即Q必在定直线AC上. 2、如图,连接AO、AD、DO和DQ. ∵AP、AQ分别与⊙O相切于P、Q. ∴APAQ ∵OP和OQ都是⊙O的半径, ∴由对称性知 POQ 2 AOQ,且OAPQ于M 22 OD OA ∴OD2OQ2 OM OA, 即OD OM OD 又∵DOM AOD ,∴ DOM∽ AOD ∴ODM OAD APOAQO90 过D作两圆的公切线DE,则CDECAD 又∵ODDE,即ODE90 MDC90ODMCOE90 OADDAC 90OAQAOQ 故POQ2MDC. 图所示, 设⊙O1方程为 22 x1y21, ⊙O2方程为 2 2 2 rr1 xr y 设 Ar rcos, rsin,0, πUπ,2π 因为 BC是⊙O1的切点弦, 所 以 BC方 程为 r 1rcos x1yrsin 1, 即 1 rrcos xrsinyr 1cos0 3、以M为原点,O1O2为x轴建立直角坐标系,如 又易得EF∥BC, 设EF方程为1rrcosxrsinyt0. 又因为O1C∥ O2F,所以 yF xF r, yC xC 所以yC 1 1 yF,xC xF( 其中 FxF,yF, CxC, yC). r r 1所以1 1r rcosxF rsin 1 yFr 1cos 0, r r 所以1 rr cosxFr sin yF 2 r1cos 0, 所以直线 EF 方程为1r r cos xrsiny r21 cos0 又因为AD是⊙O2的以点A为切点的切线, 所以直线AD方程为rxrcosrsinyr20. 即rxcos 2 rsinyr(1cos)0 设DxD,yD ,因为点D在EF和AD上,所以 1rxD 0,即xD 0, 所以点D在定直线y轴上移动. 4、其实只要第一问完成了,后面两问可类似完成.本题实际上是一道计算题,先设基本量然后代入计 算,通过漫长的化简得到显然成立的等价式.具体过程略.
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- 平面几何 训练 答案