高三数学高考一轮复习资料 圆的方程.docx

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高三数学高考一轮复习资料圆的方程

　圆的方程

[最新考纲]

1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

2．初步了解用代数方法处理几何问题.

知识梳理

1．圆的定义和圆的方程

定义

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

方

程

标准

（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）

圆心C（a，b）

半径为r

一般

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

充要条件：

D2＋E2－4F＞0

圆心坐标：

半径r＝

2.点与圆的位置关系

（1）确定方法：

比较点与圆心的距离与半径的大小关系．

（2）三种关系：

圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2，点M（x0，y0）．

①（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2⇔点在圆上；

②（x0－a）2＋（y0－b）2>r2⇔点在圆外；

③（x0－a）2＋（y0－b）2

辨析感悟

1．对圆的方程的理解

（1）确定圆的几何要素是圆心与半径．（√）

（2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．（×）

（3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．（×）

（4）（·江西卷改编）若圆C经过坐标原点和点（4,0）且与直线y＝1相切，则圆C的方程是（x－2）2＋2＝.（√）

2．对点与圆的位置关系的认识

（5）若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.（√）

（6）已知圆的方程为x2＋y2－2y＝0，过点A（1,2）作该圆的切线只有一条．（×）

[感悟·提升]

1．一个性质　圆心在任一弦的中垂线上，如（4）中可设圆心为（2，b）．

2．三个防范　一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如

（2）中半径应为|a|；

二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如（3）；

三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如（6）.

考点一　求圆的方程

【例1】根据下列条件，求圆的方程．

（1）求过P（4，－2），Q（－1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4的圆的方程．

（2）已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4.

解　

（1）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）．①

将P，Q点的坐标分别代入①得

令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④

由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根，

所以（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤

解②、③、⑤组成的方程组得或

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.

（2）法一　设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝10.

由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a.①

由圆在直线x－y＝0上截得的弦长为4，

将y＝x代入（x－a）2＋（y－b）2＝10，

整理得2x2－2（a＋b）x＋a2＋b2－10＝0.

由弦长公式得＝4，

化简得a－b＝±2.②

解①、②得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.

故所求圆的方程为（x－2）2＋（y－4）2＝10或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.

法二　根据图形的几何性质：

半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．如图，

由勾股定理，可得弦心距

d＝＝＝.

又弦心距等于圆心（a，b）到直线x－y＝0的距离，

所以d＝，即＝.③

又已知b＝2a.④

解③、④得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.

故所求圆的方程是（x－2）2＋（y－4）2＝10

或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.

规律方法求圆的方程，主要有两种方法：

（1）几何法：

具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

（2）待定系数法：

根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

【训练1】

（1）（·济南模拟）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　）．

A．（x－2）2＋（y－1）2＝1B．（x－2）2＋（y＋1）2＝1

C．（x＋2）2＋（y－1）2＝1D．（x－3）2＋（y－1）2＝1

（2）已知圆C经过A（5,1），B（1,3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．

解析　

（1）由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为（a,1），又由圆与直线4x－3y＝0相切，得＝1，解得a＝2或－（舍去）．故圆的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝1.故选A.

（2）依题意设所求圆的方程为（x－a）2＋y2＝r2，将A，B点坐标分别代入方程得

解得所以所求圆的方程为（x－2）2＋y2＝10.

答案　

（1）A　

（2）（x－2）2＋y2＝10

考点二　与圆有关的最值问题

【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

（1）求的最大值和最小值；

（2）求y－x的最大值和最小值；

（3）求x2＋y2的最大值和最小值．

解　原方程可化为（x－2）2＋y2＝3，表示以（2,0）为圆心，为半径的圆．

（1）的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±（如图1）．

所以的最大值为，最小值为－.

（2）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，

纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±（如图2）．

所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

（3）x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，

在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图3）．

又圆心到原点的距离为＝2，

所以x2＋y2的最大值是（2＋）2＝7＋4，x2＋y2的最小值是（2－）2＝7－4.

规律方法与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：

（1）形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

（2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

（3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

【训练2】（·金华十校联考）已知P是直线l：

3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.B．2C.D．2

解析　圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，圆心为C（1,1），半径为r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：

3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.

答案　C

考点三　与圆有关的轨迹问题

【例3】在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.

（1）求圆心P的轨迹方程；

（2）若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．

审题路线　

（1）设圆心P为（x，y），半径为r⇒由圆的几何性质得方程组⇒消去r可得点P的轨迹方程．

（2）设点P（x0，y0）⇒由点到直线的距离公式可得一方程⇒点P在第

（1）问所求曲线上可得一方程⇒以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径⇒得到圆P的方程．

解　

（1）设P（x，y），圆P的半径为r.

由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.

故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.

（2）设P（x0，y0），由已知得＝.

又P在双曲线y2－x2＝1上，从而得

由得此时，圆P半径r＝.

由得此时，圆P的半径r＝.

故圆P的方程为x2＋（y－1）2＝3或x2＋（y＋1）2＝3.

规律方法求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：

（1）直接法：

根据题设条件直接列出方程；

（2）定义法：

根据圆的定义写出方程；（3）几何法：

利用圆的性质列方程；（4）代入法：

找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

【训练3】已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A（－1,0），B（3,0），求：

（1）直角顶点C的轨迹方程；

（2）直角边BC中点M的轨迹方程．

解　

（1）法一　设顶点C（x，y），因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.

又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，

所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（x≠3且x≠－1）．

法二　设AB中点为D，由中点坐标公式得D（1,0），由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1,0）为圆心，2为半径长的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）．所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3且x≠－1）．

（2）设点M（x，y），点C（x0，y0），因为B（3,0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝（x≠3且x≠1），y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.

由

（1）知，点C在圆（x－1）2＋y2＝4（x≠3且x≠－1）上运动，将x0，y0代入该方程得（2x－4）2＋（2y）2＝4，

即（x－2）2＋y2＝1.

因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（x≠3且x≠1）．

1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．

2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．

3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算　　　　　　　　　　　　　　　　　　

量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．

方法优化7——利用几何性质巧设方程求半径

【典例】在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．

[一般解法]（代数法）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴交点是（3＋2，0），（3－2，0），

设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则有解得

故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.

[优美解法]（几何法）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3＋2，0），（3－2，0）．

故可设C的圆心为（3，t），则有32＋（t－1）2＝

（2）2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3，

所以圆C的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9.

[反思感悟]一般解法（代数法）：

可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．

优美解法（几何法）：

利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．

【自主体验】

1．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|＝，则该圆的标准方程是________．

解析　根据|AB|＝，可得圆心到x轴的距离为，故圆心坐标为，故所求圆的标准方程为（x－1）2＋2＝1.

答案　（x－1）2＋2＝1

2．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．

解析　设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是（1,0），则圆C的圆心坐标是（0,1），圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则r2＝d2＋2＝10，因此圆C的方程是x2＋（y－1）2＝10.

答案　x2＋（y－1）2＝10

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．（·长春模拟）已知点A（1，－1），B（－1,1），则以线段AB为直径的圆的方程是（　　）．　　

A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝

C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4

解析　AB的中点坐标为（0,0），

|AB|＝＝2，

∴圆的方程为x2＋y2＝2.

答案　A

2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过（　　）．

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析　圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，

则a＜0，b＞0.直线y＝－x－，k＝－＞0，－＞0，直线不经过第四象限．

答案　D

3．（·银川模拟）圆心在y轴上且过点（3,1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（　　）．

A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0

解析　设圆心为（0，b），半径为r，则r＝|b|，

∴圆的方程为x2＋（y－b）2＝b2，∵点（3,1）在圆上，

∴9＋（1－b）2＝b2，解得b＝5，

∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.

答案　B

4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆（x－1）2＋（y－1）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（　　）．

A.B.∪（1，＋∞）

C.D.∪[1，＋∞）

解析　联立解得P（a,3a），

∴（a－1）2＋（3a－1）2＜4，∴－＜a＜1，故应选A.

答案　A

5．（·东营模拟）点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（　　）．

A．（x－2）2＋（y＋1）2＝1B．（x－2）2＋（y＋1）2＝4

C．（x＋4）2＋（y－2）2＝4D．（x＋2）2＋（y－1）2＝1

解析　设圆上任一点为Q（x0，y0），PQ的中点为M（x，y），则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，

化简得（x－2）2＋（y＋1）2＝1.

答案　A

二、填空题

6．已知点M（1,0）是圆C：

x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．

解析　过点M的最短弦与CM垂直，圆C：

x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C（2,1），∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1（x－1），即x＋y－1＝0.

答案　x＋y－1＝0

7．（·南京调研）已知直线l：

x－y＋4＝0与圆C：

（x－1）2＋（y－1）2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．

解析　由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心（1,1）到直线l的距离减去半径，即－＝.

答案　

8．若圆x2＋（y－1）2＝1上任意一点（x，y）都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析　据题意圆x2＋（y－1）2＝1上所有的点都在直线x＋y＋m＝0的右上方，所以有

解得m≥－1＋.故m的取值范围是[－1＋，＋∞）．

答案　[－1＋，＋∞）

三、解答题

9．求适合下列条件的圆的方程：

（1）圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：

x＋y－1＝0相切于点P（3，－2）；

（2）过三点A（1,12），B（7,10），C（－9,2）．

解　

（1）法一　设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

则有

解得a＝1，b＝－4，r＝2.

∴圆的方程为（x－1）2＋（y＋4）2＝8.

法二　过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为（1，－4）．

∴半径r＝＝2，

∴所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋4）2＝8.

（2）法一　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），

则

解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.

∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.

法二　由A（1,12），B（7,10），

得AB的中点坐标为（4,11），kAB＝－，

则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0.

同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.

联立得

即圆心坐标为（1,2），半径r＝＝10.

∴所求圆的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100.

10．设定点M（－3,4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

解　如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为

，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，

故＝，＝.

从而

N（x＋3，y－4）在圆上，

故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.

因此所求轨迹为圆：

（x＋3）2＋（y－4）2＝4，

但应除去两点和（点P在直线OM上时的情况）．

能力提升题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1．（·东莞调研）已知圆C：

x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为（　　）．

A．8B．－4

C．6D．无法确定

解析　圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.

答案　C

2．（·烟台二模）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为（　　）．

A．（x－1）2＋（y－4）2＝1

B．（x－1）2＋（y＋4）2＝1

C．（x－1）2＋（y－4）2＝16

D．（x－1）2＋（y＋4）2＝16

解析　抛物线的焦点为F，准线方程为x＝－，所以|MF|＝1－＝5，解得p＝8，即抛物线方程为y2＝16x，又m2＝16，m＞0，所以m＝4，即M（1,4），所以半径为1，所以圆的方程为（x－1）2＋（y－4）2＝1.

答案　A

二、填空题

3．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．

解析　由题意知，此平面区域表示的是以O（0,0），P（4,0），Q（0,2）所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点（2,1），半径为＝，∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.

答案　（x－2）2＋（y－1）2＝5

三、解答题

4．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．

解　法一　将x＝3－2y，

代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，

得5y2－20y＋12＋m＝0.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则y1，y2满足条件：

y1＋y2＝4，y1y2＝.

∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.

而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.

∵x1x2＝9－6（y1＋y2）＋4y1y2＝.

故＋＝0，解得m＝3，

此时Δ＝（－20）2－4×5×（12＋m）＝20（8－m）＞0，圆心坐标为，半径r＝.

法二　如图所示，设弦PQ中点为M，且圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0的圆心为O1，

设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2，

∴x0＝＝－1，y0＝＝2.

即M的坐标为（－1,2）．

则以PQ为直径的圆可设为（x＋1）2＋

（y－2）2＝r.

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．

∴（0＋1）2＋（0－2）2＝r，即r＝5，|MQ|2＝r.

在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.

∴＝2＋（3－2）2＋5.

∴m＝3，∴圆心坐标为，半径r＝.