一次函数反比例函数和二次函数.docx

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一次函数反比例函数和二次函数

　　一、重要考点：

　　1.会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象；

　　2.掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质；

　　3.能根据条件确定函数的解析式；

　　4.能用函数解决实际问题。

　　二.重点提示：

　　1．一次函数

定义

　　如果y=kx+b（k，b为常数，k≠0）那么y叫做x的一次函数

　　当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx（k≠0），y叫x的正比例函数

图象

k>0

k<0

k>0，b=0

k<0，b=0

　　经过点（0，b），（-

，0）两点的一条直线

　　经过（0，0）、（1，k）两点的直线

性质

　　y随x增大而增大

　　y随x增大而减小

　　图象在一、三象限内y随x增大而增大

　　图象在二、四象限内y随x增大而减小

b决定直线与y轴交点的位置

　　2．二次函数

　　抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）位置由a、b、c决定

（1）a决定抛物线的开口方向：

（2）c决定抛物线与y轴交点的位置

　　（3）a、b决定抛物线对称轴的位置，对称轴x=-

　　①a、b同号

对称轴在y轴左侧

　　②b=0

对称轴是y轴

　　③a、b异号

对称轴在y轴右侧

　　（4）顶点（-

，

）

　　（5）Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况

　　①Δ>0

抛物线与x轴有两个不同交点

　　②Δ=0

抛物线与x轴有一个公共点（相切）

　　③Δ<0

抛物线与x轴无公共点

　　（6）二次函数的最大最小值由a决定：

　　当a>0时，函数在x=-

时，有最小值，y最小=

。

　　当a<0时，函数在x=-

时，有最大值，y最大=

。

　　3.反比例函数

（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．

（2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内．且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．

　　注意：

不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大。

”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立。

　　（3）反比例函数解析式的确定：

反比例函数的解析式y=

（k≠0）中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式。

　　二、考题精选

　　1．（南京）如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=

，直线FE交AB的延长线于G。

过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M、N。

设HM=x，矩形AMHN的面积为y。

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）求x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？

　　解：

（1）∵正方形ABCD的边长为4，CE=1，CF=

，∴CF//AG，BE=3，

　　∴

，∴BG=4，

　　∵HM⊥AG，CB⊥AG，∴HM//BE，∴

，∴MG=

x。

　　∴y=x（4+4-

x）=-

x2+8x。

（2）∵y=-

x2+8x=-

（x-3）2+12。

　　∴当x=3时，y最大，最大面积是12。

　　解题点拨：

（1）．要写出y关于x的函数关系式，就要在图形中寻找对应关系，把对应关系中的量分别用y、x或已知量来替换，就可以找到y与x的关系式。

（2）．这类题目，注意自变量x的取值范围。

　　2．（北京东城区）已知：

如图一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。

OB=

，tan∠DOB=

。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

　　（3）当△OCD的面积等于

时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。

如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。

　　解：

（1）过点B作BH⊥x轴于点H。

　　在Rt△OHB中，

　　∵tan∠HOB=

，

　　∴HO=3BH。

　　由勾股定理，得BH2+HO2=OB2。

　　又∵OB=

，

　　∴BH2+（3BH）2=（

）2。

　　∵BH＞0，

　　∴BH=1，HO=3。

　　点B（-3，-1）。

　　设反比例函数的解析式为y=

（k1≠0）。

　　∵点B在反比例函数的图象上，

　　∴k1=3。

　　∴反比例函数的解析式为：

y=

。

（2）设直线AB的解析式为y=k2x+b（k2≠0）。

　　由点A在第一象限，得m＞0。

　　又由点A在函数y=

的图象上，可求得点A的纵坐标为

。

　　∵点B（-3，-1），点A（m，

），

　　∴

　解关于k2、b的方程组，得

　　∴直线AB的解析式为y=

。

　　令y=0，求得点D的横坐标为x=m-3。

　　过点D的横坐标为x=m-3。

　过点A作AC⊥x轴于点G。

　　S=S△BDO+S△ADO

　　=

DO·BH+

DO·GA

　　=

DO（BH+GA）

　　=

|m-3|（1+|

|）。

　　由已知，直线经过第一、二、三象限，

　　∴b＞0，即

＞0。

　　∵m＞0，∴3-m＞0。

　　由此得：

0＜m＜3。

　　∴S=

（3-m）（1+

）。

　　即S=

（0＜m＜3）。

　　（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。

　　证明如下：

　　S△OCD=

DO·OC=

|m-3|·|

|=

。

　　由S△OCD=

，得

=

·

。

　　解得m1=1，m2=3。

　　经检验，m1=1，m2=3都是这个方程的根。

　　∵0＜m＜3，

　　∴m=3不合题意，舍去。

　　∴点A（1，3）。

　　设过A（1，3）、B（-1，-3）两点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）。

　　∴

　由此得

　　即y=ax2+（1+2a）x+2-3a。

　　设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1、x2。

　　则x1+x2=-

　x1·x2=

　　令|x1-x2|=3。

　　则（x1+x2）2-4x1x2=9。

　　即（-

）2-4·

=9。

　　整理，得　7a2-4a+1=0。

　　∵△=（-4）2-4×7×1=-12＜0，

　　∴方程7a2-4a+1=0无实根。

　　因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。

　　3、（北京西城区）（本题9分）

　　已知：

抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，4），其顶点的横坐标是

，与x轴分别交于B（x1，0），C（x2，0）两点（其中x1＜x2），且x12+x22=13。

（1）求此抛物线的解析式及其顶点E的坐标；

（2）设此抛物线与y轴交于点D，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的

倍，求点M的坐标。

　　解：

（１）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，4），

　　∴a-b+c=4，即c=4-a+b。

①

　　∵抛物线顶点的横坐标是

　　∴

　即b=-a。

②

　　∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于B（x1，0），C（x2，0）两点（其中x1

　　∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根。

　　∵x1+x2=

，x1x2=

　　由已知x12+x22=13，

　　∵（x1+x2）2-2x1x2=x12+x22

　　∴（

）2-

=13。

　　③

　　由①②③解得

　　经检验，a、b、c的值使△＞0，符合题意。

　　∴抛物线的解析式为y=-x2+x+6。

　　∵当x=

时，y=

，

　　∴抛物线y=-x2+x+6的顶点E的坐标为（

）。

（2）由

（1）得y=-x2+x+6，（如图，画草图帮自己分析）

　　令x=0，∴y=6，得D（0，6）。

　　令y=0，∴-x2+x+6=0，

　　解得：

x1=-2，x2=3。

　　∴B（-2，0），C（3，0）。

　　设点M的坐标为（x，y），则点M到x轴的距离为│yM│。

　　∵Ｓ△MBO=

S△DOC，

　　∴

·BO·│yM│=

×

·OC·OD

　　∴

　　得│yM│=6，

　　∴yM=±6。

　　因为抛物线y=-x2+x+6开口向下，顶点Ｅ的坐标为（

），对称轴是直线x=

　　若yM=6，因为6<

，有-x2+x+6=6，

　　解得x1=0，x2=1。

　　∴点M的坐标是（0，6）或（1，6）。

　　若yM=-6，　则-x2+x+6=-6，

　　解得x3=-3，x4=4。

　　∴点M的坐标是（－3，－6）或（4，－6）。

　　答：

所求点M的坐标分别是（0，6），（1，6）（-3，-6），（4，-6）。

　　四.实战练习

　　1．（山西）在函数y=

中，自变量x的取值范围是___________。

　　答案：

x≥-1且x≠2

　　2．（天津）抛物线y=x2-6x+4的顶点坐标为____________。

　　答案：

（3，-5）

　　3．（天津）若点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，-n）在：

　　A、第一象限　　　B、第二象限　　　C、第三象限　　　D、第四象限

　　答案：

D

　　4．（天津）函数y=

的自变量x的取值范围是：

　　A、全体实数　　　B、x≠0　　　C、x>0　　　D、x≥0

　　答案：

B

　　5．（山西）将二次函数y=

x2+x-1化成y=a（x+m）2+n的形式是（　　）

　　A、y=

（x+2）2-2　　　B、y=

（x+2）2+2

　　C、y=

（x-2）2-2　　　D、y=

（x-2）2+2

　　答案：

A

　　6．平面直角坐标系中，反比例函数y=

的图象只可能是（　）

　　答案：

B

　　7．图象经过点（0，-1）、点（2，3）的一次函数解析式是（　）

　　A、y=-2x+1　　B、y=-2x-1　　C、y=

x-1　　D、y=2x-1

　　答案：

D

　　8．（天津）（本题8分）

　　已知：

在RtΔABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点。

若P为AB边上的一个动点，PQ//BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公

共部分的面积为y。

（1）如图，当AP=3cm时，求y的值；

（2）设AP=xcm，试用含x的代数式表示y（cm2）；

　　（3）当y=2cm2时，试确定点P的位置。

　　答案：

本题满分8分

　　解

（1）∵PQ//BC，　∴

=

，

　　∵BC=4，AB=8，AP=3，

　　∴PQ=

　　　　1分

　　∵D为AB的中点，

　　∴AD=

AB=4，PD=AD-AP=1

　　∵PQMN为正方形，DN=PN-PD=PQ-PD=

，

　　∴y=MN·DN=

×

=

（cm2）。

　　　2分

（2）∵AP=x，由

=

得：

PQ=

x=PN

　　∴AN=AP+PN=

x。

　　当AN

时，y=0；

　　当AP

≤x<4时，y=

（

x-4）=

x2-2x；

　　当AD≤AP且AN

时，y=2×

x=x；

　　当AP≤AB

≤x≤8时，y=2（8-x）=-2x+16。

　　　6分

　　（3）将y=2代入y=-2x+16（

≤x≤8）时，得x=7，

　　即P点距A点7cm；

　　将y=2代入y=

x2-2x（

≤x<4）时，得x=

，

　　即P点距A点

cm。