高中数学学年人教B版高中数学选修45教学案第一章 绝对值的三角不等式 可直接打印.docx
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高中数学学年人教B版高中数学选修45教学案第一章绝对值的三角不等式可直接打印
1.4绝对值的三角不等式
[读教材·填要点]
绝对值的三角不等式
(1)定理1:
若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|.
当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:
设a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,等号成立⇔(a-b)(b-c)≥0,即b落在a,c之间.
①推论1:
||a|-|b||≤|a+b|
②推论2:
||a|-|b||≤|a-b|
[小问题·大思维]
1.|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具有什么关系?
提示:
|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.
2.不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么?
提示:
不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
3.绝对值不等式|a-c|≤|a-b|+|b-c|的几何解释是什么?
提示:
在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|AC|=|AB|+|BC|;当点B不在点A,C之间时,|AC|<|AB|+|BC|.
绝对值的三角不等式的应用
[例1]
(1)以下四个命题:
①若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;
②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1;
③若|x|<2,|y|>3,则||<;
④若AB≠0,则lg≥(lg|A|+lg|B|).
其中正确的命题有( )
A.4个 B.3个
C.2个D.1个
(2)不等式≥1成立的充要条件是________.
[思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题.解答问题
(1)可利用绝对值的三角不等式定理,结合不等式的性质、基本定理等一一验证;解答问题
(2)应分|a|>|b|与|a|<|b|两类讨论.
[精解详析]
(1)|a+b|=|(b-a)+2a|≤|b-a|+2|a|
=|a-b|+2|a|,∴|a+b|-2|a|≤|a-b|,①正确;
1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,②正确;
|y|>3,∴<.
又∵|x|<2,∴<.③正确;
2=(|A|2+|B|2+2|A||B|),
≥(2|A||B|+2|A||B|)=|A||B|,
∴2lg≥lg|A||B|.
∴lg≥(lg|A|+lg|B|),④正确.
(2)当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0,
∴|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|.
∴必有≥1.
即|a|>|b|是≥1成立的充分条件.
当≥1时,由|a+b|>0,
必有|a|-|b|>0.
即|a|>|b|,故|a|>|b|是≥1成立的必要条件.
故所求为:
|a|>|b|.
[答案]
(1)A
(2)|a|>|b|
(1)绝对值的三角不等式:
|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|的几何意义是:
三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边.
(2)对|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的诠释:
定理的构
成部分
特征
大小
关系
等号成立的条件
左端|a|-|b|
可能是负的
≤中间部分
中间部分为|a+b|时,ab≤0,且|a|≥|b|时,左边的等号成立;中间部分为|a-b|时,ab≥0,且|a|≥|b|时,左边等号成立.
中间部分|a±b|
肯定是非负的
≥左端
≤右端
用“+”连接时,ab≥0,右端取等号,ab≤0,且|a|≥|b|时,左端取等号;用“-”连接时,ab≥0,且|a|≥|b|时,左端取等号,ab≤0,右端取等号.
右端|a|+|b|
是非负的
≥中间部分
中间部分为|a+b|时,ab≥0,等号成立;中间部分为|a-b|时,ab≤0,等号成立.
1.
(1)若x<5,n∈N+,则下列不等式:
①|xlg|<5|lg|;
②|x|lg<5lg;
③xlg<5|lg|;
④|x|lg<5|lg|.
其中,能够成立的有________.
(2)已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是( )
A.m>nB.m<n
C.m=nD.m≤n
解析:
(1)∵0<<1.
∴lg<0.
由x<5,并不能确定|x|与5的关系,
∴可以否定①②③,而|x|lg<0,④成立.
(2)∵|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,
∴m=≤=1,
n=≥=1.∴m≤1≤n.
答案:
(1)④
(2)D
利用绝对值的三角不等式证明不等式
[例2] 已知a,b∈R且a≠0,
求证:
≥-.
[思路点拨] 本题的特点是绝对值符号较多,直接去掉绝对值符号较困难.从所证的不等式可以看出,不等式的左边为非负值,而不等式右边的符号不定.如果不等式右边非正,这时不等式显然成立;当不等式右边为正值时,有|a|>|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手,结合作差比较法,可以使问题得以解决.
[精解详析] ①若|a|>|b|,
左边=
=≥
=.
∵≤,≤,
∴+≤.
∴左边≥=右边.
②若|a|<|b|,
左边>0,右边<0,∴原不等式显然成立.
③若|a|=|b|,原不等式显然成立.
综上可知原不等式成立.
含绝对值不等式的证明题主要分两类:
一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式性质定理:
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.
2.
(1)已知ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε,
求证:
|(x+y)-(a+b)|<2ε.
(2)设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1,求证:
|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
证明:
(1)|(x+y)-(a+b)|=|(x-a)+(y-b)|≤|x-a|+|y-b|.①
∵|x-a|<ε,|y-b|<ε,
∴|x-a|+|y-b|<ε+ε=2ε.②
由①②得:
|(x+y)-(a+b)|<2ε.
(2)∵f(x)=x2-x+13,
∴|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a|
=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|.
又∵|x+a-1|=|x-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
利用绝对值的三角不等式求最值
[例3] 已知a,b∈R,且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4.
求|a|+|b|的最大值.
[思路点拨] 本题考查绝对值三角不等式的应用.解答本题可先求出|a+b|,|a-b|的最值,再通过|a|+|b|与它们相等时进行讨论求出最大值.
[精解详析] |a+b|=|(a+b+1)-1|
≤|a+b+1|+|-1|≤2,
|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|
≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5
≤3+2×4+5=16.
①若ab≥0,则|a|+|b|=|a+b|≤2;
②若ab<0,则|a|+|b|=|a-b|≤16.
而当即a=8,b=-8时,
|a|+|b|取得最大值,且|a|+|b|=|a-b|=16.
(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强,本题直接求|a|+|b|的最大值比较困难,可采用|a+b|,|a-b|的最值,及ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|,ab<0时,|a|+|b|=|a-b|的定理,达到目的,其巧妙之处令人赞叹不已.
(2)求y=|x+m|+|x+n|和y=|x+m|-|x+n|的最值,其主要方法有:
①借助绝对值的定义,即零点分段;
②利用绝对值几何意义;
③利用绝对值不等式性质定理.
3.对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为( )
A.5B.4
C.8D.7
解析:
由题易得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,
即|x-2y+1|的最大值为5.
答案:
A
[对应学生用书P15]
一、选择题
1.已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是( )
A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|
解析:
∵ab<0,
∴|a-b|=|a|+|b|,
又|a+b|<|a|+|b|,
∴|a+b|<|a|+|b|=|a-b|.
答案:
B
2.“|x-a|<m且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
解析:
∵|x-a|<m,|y-a|<m,
∴|x-a|+|y-a|<2m.
又∵|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|,
∴|x-y|<2m.但反过来不一定成立,
如取x=3,y=1,a=-2,m=2.5,|3-1|<2×2.5,
但|3-(-2)|>2.5,|1-(-2)|>2.5,
∴|x-y|<2m不一定有|x-a|<m且|y-a|<m,故“|x-a|<m且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的充分非必要条件.
答案:
A
3.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( )
A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2
C.|a+b|+|a-b|=2D.不能比较大小
解析:
当(a+b)(a-b)≥0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2,
当(a+b)(a-b)<0时,
|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.
答案:
B
4.若|a-c|<b,则下列不等式不成立的是( )
A.|a|<|b|+|c| B.|c|<|a|+|b|
C.b>|c|-|a|D.b<||a|-|c||
解析:
∵|a-c|<b,令a=1,c=2,b=3.
则|a|=1,|b|+|c|=5,∴|a|<|b|+|c|成立.
|c|=2,|a|+|b|=4,∴|c|<|a|+|b|成立.
||c|-|a||=||2|-|1||=1,∴b>||c|-|a||成立.
故b<||a|-|c||不成立.
答案:
D
二、填空题
5.已知p,q,x∈R,pq≥0,x≠0,则________2.(填不等关系符号)
解析:
当p,q至少有一个为0时,≥2,
当pq>0时,p,q同号,则px与同号,
∴=|px|+≥2,
故≥2.
答案:
≥
6.(重庆高考)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析:
|2x-1|+|x+2|=+≥0+=,当且仅当x=时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a2+a+2≤,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤
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