小学数学解题方法解题技巧之约数与倍数.docx
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小学数学解题方法解题技巧之约数与倍数
第一章小学数学解题方法解题技巧之约数与倍数
【约数问题】
例1用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形,有______种不同的拼法。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:
不论拼成怎样的长方形,它们的面积都是1155。
而长方形的面积等于长乘以宽。
所以,只要将1155分成两个整数的积,看看有多少种方法。
一般来说,约数都是成对地出现。
1155的约数共有16个。
16÷2=8(对)。
所以,有8种不同的拼法。
例2说明:
360这个数的约数有多少个?
这些约数之和是多少?
(全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题)
讲析:
将360分解质因数,得
360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
所以,360的约数个数是:
(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)
这24个约数的和是:
例3一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积。
这个数当然有许多约数是两位数,这些两位的约数中,最大的是几?
(全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题)
讲析:
这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。
把两位数从99、98、……开始,逐一进行分解:
99=3×3×11;98=2×7×7;
97是质数;96=2×2×2×2×2×3。
发现,96是上面数的约数。
所以,两位数的约数中,最大的是96。
例4有8个不同约数的自然数中,最小的一个是______。
(北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
一个自然数N,当分解质因数为:
因为8=1×8=2×4=2×2×2,
所以,所求自然数分解质因数,可能为:
27,或23×3,或2×3×5,……
不难得出,最小的一个是24。
【倍数问题】
例16枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高,6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高,如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高,这些硬币的币值为4元4角2分,那么这三种硬币总共有______枚。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:
因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高,所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。
6枚2分的硬币与5枚5分的一样高,所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。
因此,36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度,也等于25枚5分的高度。
它们共有:
1×36+2×30+5×25=221(分)。
4元4角2分=442(分),442÷221=2。
所以,1分的硬币共36×2=72(枚),2分的硬币共30×2=60(枚),5分的硬币共25×2=50(枚),即总共有182枚。
例2从1、2、……、11、12中至多能选出______个数,使得在选出的数中,每一个数都不是另一个数的2倍。
(1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:
1、3、5、7、9、11是奇数,不可能是任何整数的2倍。
剩下的数有2、4、6、8、10、12六个数,且6是3的2倍,10是5的2倍。
如取2,则4、8、12就都不能取;如取4,则2、8不能取,故只可取12;如取8,则2、4不能取,故只可取8。
所以至多能选取8个数。
例3小明的两个衣服口袋中各有13张卡片,每张卡片上分别写着1、2、3、……13。
如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积,可以得到许多不相等的乘积,那么,其中能被6整除的乘积共有______个。
(北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
因为6=2×3,所以能被6整除的因数中,至少含有一个2和一个3。
当一边取6,另一边取1、2、……、13时均成立,有13个积;
当一边取7、8、9、10、11、12、13,另一边取12时,有7个积;
当一边取10,另一边取9时,有1个积。
所以,不相等的乘积中,被6整除的共有:
13+7+1=21(个)。
例4设a与b是两个不相等的自然数。
如果它们的最小公倍数是72,那么a与b之和可以有______种不同的值。
(北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题)
讲析:
因为72=23×32,它共有约数
(3+1)×(2+1)=12(个)
这12个约数,每个约数与72的最小公倍数都是72,a、b之和有12种不同的值;
当a=22×32=36时,b可取23=8或23×3=24,a、b之和有2种不同的值;
当a=23×3=24时,b可取32=9或2×32=18,a、b之和有2种不同的值。
当a=2×32=18时;b可取23=8,a、b之和有1种不同的值。
所以,满足条件的a与b之和共有17种不同的值。
10、余数问题
【求余数】
(1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题)
一组,就可得到331组,尚余4个6。
而6666÷7=952……2。
所以,原式的余数是2。
例29437569与8057127的乘积被9除,余数是__。
(《现代小学数学》邀请赛试题)
讲析:
一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。
9437569各位数字之和除以9余7;8057127各位数字之和除以9余3。
7×3=21,21÷9=2……3。
所以,9437569与8057127的乘积被9除,余数是3。
例3在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中,选出一些数,使得这些数中的每两个数的和都能被26整除,那么这样的数最多能选出_______个。
(1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题)
讲析:
可将1、2、3、……、1994这1994个数,分别除以26。
然后,按所得的余数分类。
要使两个数的和是26的倍数,则必须使这两个数分别除以26以后,所得的余数之和等于26。
但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数,故26的倍数符合要求。
这样的数有1994÷26=76(个)……余18(个)。
但被26除余13的数,每两个数的和也能被26整除,而余数为13的数共有77个。
所以,最多能选出77个。
【同余问题】
例1一个整数,除300、262、205,得到相同的余数(余数不为0)。
这个整数是_____。
(全国第一届“华杯赛”初赛试题)
讲析:
如果一个整数分别除以另两个整数之后,余数相同,那么这个整数一定能整除这两个数的差。
因此,问题可转化为求(300—262)和(262—205)的最大公约数。
不难求出它们的最大公约数为19,即这个整数是19。
例2小张在计算有余数的除法时,把被除数113错写成131,结果商比原来多3,但余数恰巧相同。
那么该题的余数是多少?
(1989年上海市小学数学竞赛试题)
讲析:
被除数增加了131-113=18,余数相同,但结果的商是3,所以,除数应该是18÷3=6。
又因为113÷6的余数是5,所以该题的余数也是5。
例3五只猴子找到一堆桃子,怎么也平分不了,于是大家同意去睡觉,明天再说。
夜里,一只猴子偷偷起来,吃掉一只桃子,剩下的桃子正好平分五等份,它拿走自己的一份,然后去睡觉;第二只猴子起来,也吃掉一只桃子,剩下的桃子也正好分成五等份,它也拿走了自己的一份,然后去睡觉。
第三、四、五只猴子也都这样做。
问:
最初至少有______个桃子。
(哈尔滨市小学数学竞赛试题)
讲析:
因为第一只猴子把桃5等分后,还余1个桃;以后每只猴子来时,都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份,且每次余1个桃子。
于是,我们可设想,如果另加进4个桃子,则连续五次可以分成5等份了。
加进4个桃之后,这五只猴每次分桃时,不再吃掉一个,只需5等份后,拿走一份。
因为4与5互质,每次的4份能分成5等份,这说明每次等分出的每一份桃子数,也能分成5等份。
这样,这堆桃子就能连续五次被5整除了。
所以,这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121(个)。
例4在1、2、3、……、30这30个自然数中,最多能取出______个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数。
(上海市第五届小学数学竞赛试题)
讲析:
我们可将1到30这30个自然数分别除以7,然后按余数分类。
余数是0:
7、14、21、28
余数是1:
1、8、15、22、29
余数是2:
2、9、16、23、30
余数是3:
3、10、17、24
余数是4:
4、11、18、25
余数是5:
5、12、19、26
余数是6:
6、13、20、27
要使两数之和不是7的倍数,必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。
所以,可以取余数是1、2、3的数,不取余数是4、5、6的数。
而余数为0的数只取一个。
故最多可以取15个数。
51、有关数的法则或方法
【数的读写方法】(整数中多位数的读写方法,以及小数、分数、百分数的读、写方法,见小学数学课本,此处略。
)
“成数”、“折数”即“十分数”,它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示,并根据其文字去读。
它们也常用分母为十的分数,或者用百分数去表示,这时便可按分数、百分数的方法去读。
“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数,它常用“千分号”--“‰”来写千分数,如某地人口出生率为千分之七,写作“7‰”,读作“千分之七”。
【科学记数法】用带一位整数的小数,去乘以10的整数次幂来表示一个数的方法,叫做“科学记数法”。
利用小数点移动的规律,很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a×10n(1≤a≤10,n是整数)”的形式。
例如:
25700,把小数点向左移动四位,得1<2.57<10,但2.57比25700小了10000倍,所以
25700=2.57×104。
0.00867,把小数点向右移动三位,得1<8.67<10,但8.67比0.00867大了1000倍,所以
【近似数截取方法】截取近似数的方法,一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。
四舍五入法──省略一个数的一部分尾数,取它的近似数的时候,如果要舍去的尾数的最高位上的数是4,或者是比4小的数,就把尾数舍去;如果要舍去的尾数的最高位上的数是5,或者是比5大的数,把尾数舍去以后,要向它的前一位进一。
这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。
例如,把8,654,000四舍五入到万位,约等于865万;把7.6239四舍五入保留两位小数约等于7.62;把2,873,000,000四舍五入到亿位,约等于29亿;把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。
去尾法──要省略的尾数不论是多少,一律舍去不要,这种求近似数的方法叫做“去尾法”。
进一法──省略某一个数某一位后面的尾数时,不管这些尾数的大小,都向它的前一位进一。
这种求近似数的方法,叫做“进一法”。
显然,用“进一法”和“五入”方法截取的近似值,叫做“过剩近似值”,而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值,叫做“不足近似值”。
值得注意的是:
在近似数的取舍结果中,小数点后最右一位上的零必须写上。
例如,把1.5972四舍五入,保留两位小数得1.60,即1.5972≈1.60,最后的“0”不可去掉,否则,它只精确到十分位了。
【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数,一般有两种方法。
(1)查表法。
用查质数表的方法,可以较快地判断一个数是否为质数:
质数表上有的是质数,同一范围内的质数表上没有这个数,那它便是个合数。
(2)试除法。
如果没有质数表,也来不及制作一个质数表,可以用试除来判断。
例如,要判定161和197是不是质数,可以把这两个数依次用2、3、5、7、11、13、17、19……等质数去试除。
这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积,若161或197不能被这个合数的质因数整除,那么也一定不能被这个合数整除。
所以,我们只要用质数去试除就可以了。
由161÷7=23,可知161的约数除了1和它本身外,至少还有7和23。
所以,161是合数,而不是质数。
由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除,而197÷17=11……10,这时的除数17已大于不完全商11,于是可以肯定:
197是质数,而不是合数。
因为197除了它本身以外,不可能有比17大的约数。
假定有,商也一定比11小。
这就是说,197同时还要有比11小的约数。
但经过试除,比11小的质数都不能整除197,这说明比11小的约数是不存在的,所以197是质数,不是合数。
【最大公约数求法】最大公约数的求法,一般可用下面四种方法。
(1)分解质因数法。
先把各数分解质因数,再把各数公有的一切质因数连乘起来,就是所求的最大公约数。
例如,求2940、756和168的最大公约数:
∵2940=22×3×5×72,
756=22×33×7,
168=23×3×7;
∴(2940,756,168)=22×3×7=84。
注:
“(2940,756,168)=84”的意思,就是“2940、756和168的最大公约数是84”。
(2)检验公约数法。
“检验公约数法”即“试除法”,也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法,此处略。
(3)辗转相减法。
较大的两个数求最大公约数,可以用“辗转相减法”:
用大数减小数,如果减得的差与较小的数不相等,便再以大减小求差,直到出现两数相等为止。
这时,相等的数就是这两个数的最大公约数。
例如,求792和594的最大公约数。
∵(792,594)=(792-594,594)
=(198,594)=(594-198,198)
=(198,396)=(198,396-198)
=(198,198)=198,
∴(792,594)=198。
用辗转相减法求两个数的最大公约数,可以推广到求n个数的最大公约数,具体做法是:
可以不拘次序地挑选最方便的,从较大的数里减去较小的数。
这样逐次做下去,直到所得的差全部相等为止。
这个相等的差,就是这些数的最大公约数。
例如,求1260、1134、882和1008的最大公约数。
∵(1260,1134,882,1008)
=(1260-1134,882,1008-882,1134-882)
=(126,126,882,252)
=(126,126,882-126×6,252-126)
=(126,126,126,126)=126,
∴(1260,1134,882,1008)=126。
(4)辗转相除法(欧几里得算法)。
用辗转相除法求两个数的最大公约数,步骤如下:
光用较小数去除较大的数,得到第一个余数;
再用第一个余数去除较小的数,得到第二个余数;
又用第二个余数去除第一个余数,得到第三个余数;
这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止。
这时,余数“0”前面的那个余数,便是这两个数的最大公约数。
求两个较大的数的最大公约数,用上面的第一、二种方法计算,是相当麻烦的,而采用“辗转相除法”去求,就简便、快速得多了。
例如,求437和551的最大公约数。
具体做法是:
先将437和551并排写好,再用三条竖线把它们分开。
然后依下述步骤去做:
(1)用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外,并求得余数为114。
(2)用余数114去除437,把商数“3”写在比114大的数(437)的线外,并求得余数为95。
(3)用余数95去除114,把商数“1”写在114右边的直线外,并求得余数为19。
(4)用余数19去除95,把商数“5”写在95左边的直线外面,并求得余数为0。
(5)当余数为0时,就可断定余数0前面的那一个余数19,就是437和551的最大公约数。
又如,求67和54的最大公约数,求法可以是
由余数可知,67和54的最大公约数是1。
也就是说,67和54是互质数。
辗转相除法,虽又称作“欧几里得算法”,实际上它是我国最先创造出来的。
早在我国古代的《九章算术》上,就有“以少减多,更相减损”的方法求最大公约数的记载。
一般认为,“辗转相除法”即源于此。
这比西方人欧几里得等人的发现要早600年以上。
辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。
如果要求三个或三个以上数的最大公约数,可以用它先求出其中两个数的最大公约数,再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。
这样依次下去,直到最后一个数为止。
最后的一个最大公约数,就是这几个数所要求的最大公约数。
【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义,可以扩展到分数。
一组分数的最大公约数一定是分数,而这组分数分别除以它们的最大公约数,应得整数。
求一组分数的最大公约数的方法是:
(1)先将各个分数中的带分数化成假分数;
(2)再求出各个分数分母的最小公倍数a;
(3)然后求出各个分数分子的最大公约数b;
再求出三个分母的最小公倍数,得72;
然后求出三个分子35、21和56的最大公约数,得7;
【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。
(1)分解质因数法。
先把各数分解质因数,在所有相同的质因数中,每一个取出指数最大的,跟所有不同的质因数连乘起来,就是所求的最小公倍数。
例如,求120、330和525的最小公倍数。
∵120=23×3×5,
330=2×3×5×11,
525=3×52×7;
∴[120,330,525]=23×3×52×7×11=46200
注:
“[120,330,525]=46200”表示“120、330和525三个数的最小公倍数是46200”。
(2)检验公约数法。
“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”,也就是小学数学课本上介绍的一般方法,此处略。
(3)先求最大公约数法。
由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”,即
a·b=(a,b)·[a,b]
所以,两个数的最小公倍数,可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。
即
例如,求[42,105]。
若要求三个或三个以上的数的最小公倍数,可以先求其中两个数的最小公倍数,再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数,再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数,……,如此依次做下去,直到最后一个数为止。
最后求得的那个最小公倍数,就是所要求的这几个数的最小公倍数。
例如,求[300,540,160,720]
∴[300,540,160,720]=21600
【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义,可以推广到分数。
一组分数的最小公倍数,可能是分数,也可能是整数,但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。
求一组分数的最小公倍数,方法是:
(1)先将各个分数中的带分数化成假分数;
(2)再求出各个分数分子的最小公倍数a;
(3)然后求出各个分数分母的最大公约数b;
再求各分数分子的最小公倍数,得
[35,21,56]=840;
然后求各分数分母的最大公约数,得
(6,8,9)=1
【数的互化方法】整数、小数和分数,整数、假分数和带分数,整数、小数、分数和百分数,成数(或折数)、分数和百分数,它们之间可以互化,互化的方法见小学数学课本,此处略。
化循环小数为分数,还可以用移动循环节的方法。
例如
由这些实例,可以得循环小数化分数的法则如下:
(1)纯循环小数化分数的法则。
纯循环小数可以化成这样的分数:
分子是一个循环节的数字所组成的数;分母的各位数字都是9,“9”的个数同循环节的位数相同。
(2)混循环小数化分数的法则。
混循环小数可以化成这样的分数:
分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差;分母的头几个数字是9,末几位数字是0,“9”字的个数同循环节的位数相同,“0”字的个数和不循环部分的位数相同。
【分数化有限小数判断法】
若进一步研究,它又有以下的三种情况:
5(即与10互质),或者除2和5以外,还包含其他的质因数,那么,这样的分数就不能化成有限小数,而只能化成无限循环小数。
这里,又有以下的两种情况:
和5时,这样的分数就可以化成纯循环小数。
循环节内数字的个数,跟数列
9,99,999,9999,……
各项中,能被分母b整除的最小的数所含“9”字的个数相同。
分母37去除9,99,999,9999,……,能整除的
最小的数是999,即
99937(即“999能被37整除”,“”是整除符号;亦可逆读为“37能整除999”)
也可以表示为37|999(即“37能整除999”,“|”也是整除符号;亦可逆读为“999能被37整除”。
)
这里“999”,含有3个“9”,所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是3个:
=0.513
以外的质因数,那么这样的分数就可以化成混循环小数。
它的不循环部分数字的个数,跟2和5在分母内最高乘方的指数相同;循环节内数字的个数,跟数列
9,99,999,9999,……
各项中,能被分母内2和5以外的质因数的积所整除的最小的数,所含“9”字的个数相同。
质因数11,所以这分数可以化成混循环小数。
不循环部分数字的个数是3个(最高乘方23的指数为3),循环部分的循环节数字是两个(11|99,“9”的个数为2个):
概括起来,把分数化成小数,判断其得数的情况,不外乎以下三种:
(1)若分母只含质因数2,5,则化得的小数是有限小数;
(2)若分母不含质因数2,5,则化得的小数是纯循环小数;
(3)若分母既含质因数2,5,又含2和5以外的质因数,则化得的小数是混循环小数。
注意:
判断的前提是分数必须是既约(最简)分数,否则很容易出错。
【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度,叫做溶液的百分比浓度。
求法是
例如,用白糖(溶质)1千克,开水(溶剂)4千克混合以后,所得的糖水(溶液)的百分比浓度是
用对称关系找约数
【用对称关系找约数】找某一合数的约数,常有找不全的情况发生,而利用约数的对称关系去找,就能解决这一问题。
方法是:
(1)若某个合数为某一个自然数的平方,则它的所有约数的“中心数”就是这个自然数;再把比“中心数”小的几个约数找出来,其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。
例如,找出36的全部约数:
因为36=62,6是所有约数的“中心数”。
比中心数6小的约数很容易找到,它们是1、2、3、4四个,于是比中心数大的约数,也就可依据对应关系,成对地找出来了,它们是36(与1对应)、18(与2对应)、12(与3对应)和9(与4对应)。
如下图(图4.7):
(2)若某个合数不是某一自然数的平方,则可先找出一个“近似中心数”。
例如,找出102的全部约数:
因为102<102<112,所以可选10或11为“近似中心数”。
然后找出比这个近似中心数小的
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- 小学 数学 解题 方法 技巧 约数 倍数